浙江省義烏市赤岸小學(xué) 朱惠霞

從“一維”到“二維”的長(zhǎng)方形面積教學(xué)

浙江省義烏市赤岸小學(xué) 朱惠霞

關(guān)于“長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算”教學(xué)會(huì)有這樣的爭(zhēng)論：有的人認(rèn)為長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可以通過推導(dǎo)得出：長(zhǎng)幾表示長(zhǎng)邊可以放幾個(gè)面積單位，寬幾可以表示寬邊可以放幾個(gè)面積單位，最后通過乘法計(jì)算出面積。通過教學(xué)要讓學(xué)生明白為什么長(zhǎng)乘寬等于長(zhǎng)方形的面積。也有另一撥人認(rèn)為長(zhǎng)方形的面積公式怎么可能在小學(xué)被推導(dǎo)出來？長(zhǎng)度不夠整數(shù)怎么辦？假設(shè)長(zhǎng)度是怎么辦？它的推導(dǎo)需要應(yīng)用極限的知識(shí)。長(zhǎng)方形的面積計(jì)算在小學(xué)里只能視作一種公理，無法推導(dǎo)。因此，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算的設(shè)計(jì)思路應(yīng)該是實(shí)驗(yàn)——猜想——驗(yàn)證——概括，像這樣的不完全歸納。我在教學(xué)操作中，同樣把長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式作為公理對(duì)待，同樣啟發(fā)學(xué)生明白為什么長(zhǎng)乘寬（整數(shù)數(shù)據(jù)）等于長(zhǎng)方形的面積。在側(cè)重培養(yǎng)“空間觀念”、“空間能力”的思考下演繹出了不一樣的課。

一、在操作中積累空間知覺，強(qiáng)化面積單位的表象

上課開始，我引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了兩個(gè)重要的操作。

操作1：我們學(xué)具袋里有小方塊，打開看看，你覺得這里有1平方厘米嗎？怎樣才能驗(yàn)證它是1平方厘米？

操作2：用這些小方塊去求出1號(hào)長(zhǎng)方形的面積是多少。方法越簡(jiǎn)單越方便越好。

【這兩個(gè)操作可謂是整節(jié)課的基礎(chǔ)。它讓學(xué)生再次感知了長(zhǎng)度單位和面積單位的關(guān)系，面積和面積單位的關(guān)系，同時(shí)也強(qiáng)化了之前建立起來的面積單位的表象?！?/p>

二、在反饋中形成表象，為發(fā)展想象做準(zhǔn)備

1.交流鋪滿。

師：面積是多少？

生：15平方厘米。

師：也就是說這個(gè)長(zhǎng)方形里可以擺滿15個(gè)1平方厘米。這15個(gè)怎樣數(shù)比較方便？

生：三五十五。

師：三五十五說明這里有3個(gè)5。你看到了沒有？我們一起來數(shù)數(shù)看：1個(gè)5,2個(gè)5,3個(gè)5?！驹谶@個(gè)反饋交流中，學(xué)生形成幾個(gè)幾排列的表象?！?.交流半鋪。

師：剛才我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)是沒有鋪滿的，也能求出15平方厘米，是怎么回事？

生：橫著擺3個(gè)，豎著擺5個(gè)就能知道有多少了。

師：誰聽明白他的意思了？（停頓）能用一個(gè)算式表示它的想法嗎？生：3×5=15（平方厘米）。

師：乘法一般表示幾個(gè)幾，它表示幾個(gè)幾？第一個(gè)5在哪里？第二個(gè)5呢？還有一個(gè)呢？

師小結(jié)：沒有鋪滿，我們可以推斷出它鋪滿是多少，厲害！這樣我們就可以不用擺那么多1平方厘米了。

3.交流用一個(gè)小方塊去量。

師：他只用了8個(gè)，還有沒有用得更少的？

生：1個(gè)。

生：1個(gè)都沒有！

師：用1個(gè)？你是怎么想的？

生：就用1個(gè)小方塊先橫著擺過去，再豎著擺過去，就知道面積是多少了。

師：誰懂他的意思了？這樣擺怕一下子忘了橫著擺幾個(gè)了，誰有好辦法？

生：擺一個(gè)做一個(gè)記號(hào)。

4.交流不鋪。

師：一個(gè)都沒有是怎么回事？

生：用尺子量。

師：用尺子量能量出面積嗎？你們也用尺子量量看，認(rèn)為能量出來的舉手？

師：誰來說說你是怎么想的？

【操作反饋的教學(xué)從“全鋪——半鋪——用一個(gè)面積單位量——不鋪”四個(gè)層次展開。雖然小方塊是一塊一塊地拿走，但其“3個(gè)5”全鋪的動(dòng)態(tài)過程被不斷地重現(xiàn)。最后雖然不鋪了，用尺子量，孩子也會(huì)自動(dòng)呈現(xiàn)全鋪的動(dòng)態(tài)過程。這為接下來“幾個(gè)幾”的想象奠定了表象基礎(chǔ)，同樣為幫助長(zhǎng)方形的面積計(jì)算實(shí)質(zhì)是面積度量奠定了意義基礎(chǔ)?！?/p>

三、在想象中促成兩次飛躍

1.有了3個(gè)5這個(gè)表象基礎(chǔ)，緊接著我出示了長(zhǎng)5厘米，寬2厘米的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生量出它的面積。思考：為什么寬少了1厘米，面積會(huì)少了5個(gè)？這樣的練習(xí)促成了孩子初步的想象，促進(jìn)直接度量到間接度量的過渡。

2.出示一個(gè)長(zhǎng)方形，用尺子量出這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是10厘米。你想到了什么？（根據(jù)學(xué)生回答依次出示后兩張幻燈片）

3.出示寬8厘米，你想到了什么？（根據(jù)學(xué)生回答，依次出示后兩張幻燈片）

【今后我們碰到解決長(zhǎng)方形的面積問題都是提供數(shù)據(jù)的“間接計(jì)算”得出結(jié)果，很少會(huì)再碰到用面積單位的直接度量。但尺子幾乎每天都陪伴著學(xué)生們，是最便捷的直觀工具，它是完成直接度量到間接計(jì)算飛躍很好的認(rèn)知材料。尺子像小方塊一樣從有到無，目的就是為了把尺子這種印象刻畫在腦海里，形成長(zhǎng)度單位的表象，建立長(zhǎng)度單位和面積單位的關(guān)系，從而很好地銜接了這次飛躍。】

四、在想象推理中建立二維空間觀念，突破一個(gè)難點(diǎn)

1.二維空間的建立。

師：這里有一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是9厘米，你能想到什么？（只出示數(shù)據(jù)不出示圖形）

生：橫著可以擺9個(gè)。

師：能想到它的面積嗎？為什么？

生：不能。寬不知道。

師：寬不知道，就不知道要擺幾行了？那么告訴你寬是4厘米，你能想到什么？

【我們要注重二維、三維空間觀念的建立。在六年級(jí)“常見的量”總復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種觀念欠缺的孩子會(huì)出現(xiàn)下面這樣的錯(cuò)例?！?/p>

認(rèn)為面積單位的進(jìn)率如圖（1），體積單位間的進(jìn)率如圖（2）。

圖（1）

圖（2）

2.借助“間接度量”到“間接計(jì)算”的思維提升，突破“統(tǒng)一長(zhǎng)度單位計(jì)算”的難點(diǎn)。

師出示：長(zhǎng)9分米，寬4分米的長(zhǎng)方形（只有數(shù)據(jù)沒有圖）。師：這個(gè)跟剛才的長(zhǎng)方形有什么不同？你能想到什么？長(zhǎng)9米，寬4米呢？

師：比較這三個(gè)長(zhǎng)方形有哪些共同點(diǎn)。不同點(diǎn)在哪里？它們的單位和什么有關(guān)？有什么關(guān)系？

師：能用2×3=6來算嗎？為什么？

師：你覺得這個(gè)長(zhǎng)方形用哪個(gè)面積單位去量比較合適？

根據(jù)學(xué)生的回答出示這樣的幻燈片。

【以前我們只知道要求學(xué)生統(tǒng)一單位計(jì)算，而為什么要統(tǒng)一單位，學(xué)生對(duì)此還是很困惑的?！伴L(zhǎng)2分米，寬3厘米的長(zhǎng)方形面積為什么不是3×2？”這道題說明了“間接計(jì)算”比起用尺子“間接度量”它更加抽象，有尺子的長(zhǎng)方形相對(duì)來說是直觀的?！伴g接度量”到“間接計(jì)算”是需要以尺子的表象為支點(diǎn)（或者說單位的表象）跨過來的。這個(gè)跨越分成了三個(gè)層次：（1）有尺子的10厘米到?jīng)]尺子的8厘米的出現(xiàn)。（2）由長(zhǎng)和寬是什么長(zhǎng)度單位去想象相應(yīng)的面積單位。（3）思考單位不一樣，選擇怎樣的面積單位比較合適。相信借助“尺子”表象的建立，通過想象推理，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)用什么長(zhǎng)度單位隨之會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)什么樣的面積單位。當(dāng)長(zhǎng)和寬的單位不一樣時(shí)，需要統(tǒng)一單位才能想象推理出它的面積是多少?！?/p>

3.練習(xí)二維和一維的轉(zhuǎn)化，強(qiáng)化一維和二維的聯(lián)系。

到課最后出示了這樣一個(gè)開放式練習(xí)：

根據(jù)這幅圖你想到了什么？想得越多，說明你這節(jié)課學(xué)得越好。孩子會(huì)想到面積，想到邊長(zhǎng)，又進(jìn)而想到周長(zhǎng)。

從一維的長(zhǎng)度想到二維的面積是這節(jié)課的難點(diǎn)，整堂課通過操作、建立表象、想象推理，借助尺子等材料突破了“直接度量”到“間接計(jì)算”的飛躍，同時(shí)培養(yǎng)了孩子的空間能力，最后從二維想到一維又是認(rèn)識(shí)的升華。當(dāng)思維能自如地在一維和二維之間互相轉(zhuǎn)化時(shí)，長(zhǎng)方形面積公式的歸納也是水到渠成的事。在度量幾何的教學(xué)中，這樣的一節(jié)課的意義是非凡的。