福建省三明市沙縣金沙高級(jí)中學(xué) 黃含笑

解決數(shù)學(xué)抽象性的幾種思維策略

福建省三明市沙縣金沙高級(jí)中學(xué) 黃含笑

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)相比初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，思維層次提高了不少。如何通過(guò)思維引導(dǎo)，幫助學(xué)生擺脫抽象思維的困擾，盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呢？筆者認(rèn)為，提升學(xué)生的思維能力，加強(qiáng)思維方法引導(dǎo)，幫助他們掌握一些特殊的思維策略是一條有效途徑。本文對(duì)于幫助學(xué)生擺脫數(shù)學(xué)抽象思維困擾有一定的指導(dǎo)意義。

系統(tǒng)化；具體化；幾何化；極限化；多樣化

帶著對(duì)高中學(xué)習(xí)的期待，伴著對(duì)高中生活的向往，初中的優(yōu)秀學(xué)子們進(jìn)入了高中數(shù)學(xué)課堂。隨著學(xué)習(xí)的深入，他們都感覺(jué)到了“理想很豐滿(mǎn)，現(xiàn)實(shí)很骨感”，相當(dāng)多的同學(xué)出現(xiàn)了嚴(yán)重的學(xué)習(xí)障礙，甚至談數(shù)色變，影響了他們學(xué)習(xí)的積極性。為了幫助學(xué)生擺脫抽象思維的困擾，可以從如下幾個(gè)方面開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

一、零散知識(shí)系統(tǒng)化

很多時(shí)候，大家往往都認(rèn)為是學(xué)習(xí)內(nèi)容多導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。這是一個(gè)誤解，困擾學(xué)生的不是學(xué)習(xí)內(nèi)容多，而是學(xué)習(xí)內(nèi)容雜亂，沒(méi)有形成知識(shí)系統(tǒng)。單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)學(xué)習(xí)，學(xué)生只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林，因而學(xué)習(xí)的意義不夠明顯；系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)通過(guò)把知識(shí)融會(huì)貫通，既見(jiàn)樹(shù)木也見(jiàn)森林，實(shí)現(xiàn)的不僅僅是簡(jiǎn)單的知識(shí)積累，而且是一個(gè)數(shù)學(xué)能力的飛躍過(guò)程。學(xué)習(xí)的意義一下子得到彰顯，學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力也更加充足。

在函數(shù)學(xué)習(xí)中周期性與對(duì)稱(chēng)性是學(xué)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)，但學(xué)生往往容易搞混淆，這時(shí)我們就要進(jìn)行系統(tǒng)化的歸納，讓學(xué)生做學(xué)習(xí)筆記如下：

1.函數(shù)周期性的常見(jiàn)形式

2.函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性辨析

一般的，我們有奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)關(guān)于y軸軸對(duì)稱(chēng)。函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱(chēng)，我們可以借助正弦函數(shù)來(lái)幫助理解，它的對(duì)稱(chēng)中心是；函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)軸對(duì)稱(chēng)，我們也可以借助正弦函數(shù)來(lái)幫助理解，它的對(duì)稱(chēng)軸為從正弦函數(shù)看，周期性和對(duì)稱(chēng)性雖然不相同，但有一定的聯(lián)系。

函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性在表達(dá)式方面，學(xué)生很容易混淆，我們可以從下面的整理中幫助學(xué)生辨析清楚：

為了區(qū)分函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性，可以用口訣歸納為： 同號(hào)是周期， 異號(hào)變對(duì)稱(chēng)。

3.周期性與對(duì)稱(chēng)性之間的關(guān)系

利用函數(shù)周期性對(duì)稱(chēng)性解題的例子比較多，這里舉一個(gè)例子。

當(dāng)然，系統(tǒng)化整理好的筆記也是開(kāi)放性的，要隨著學(xué)習(xí)與認(rèn)識(shí)的深入進(jìn)一步補(bǔ)充完善。學(xué)生通過(guò)對(duì)比、推理、總結(jié)等一系列思考過(guò)程，就能夠真正掌握這些知識(shí)要點(diǎn)。

二、抽象表達(dá)具體化

高中同學(xué)感到數(shù)學(xué)難學(xué)，主要是數(shù)學(xué)的抽象性太強(qiáng)，克服抽象性的對(duì)應(yīng)辦法就是具體化。具體化在選擇填空題中常常表現(xiàn)為取特殊值。我們看下面一個(gè)例子。

由于這是一道選擇題，因此，我們也可以通過(guò)特殊值代入進(jìn)行具體化處理。如，我們令則；再令，則有解得這與題中的矛盾，故排除C答案。再令則有：

如果不進(jìn)行具體化的特殊值處理，很多學(xué)生就不知道從哪里入手解決問(wèn)題。當(dāng)然，在特殊值具體化的基礎(chǔ)上，還要慢慢引導(dǎo)學(xué)生抽象化地書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程。當(dāng)學(xué)生真正理解了抽象性的表達(dá)，就能夠在具體與抽象之間自由地展開(kāi)思維的翅膀。

在具體化的運(yùn)用中，有個(gè)很典型的運(yùn)用，就是抽象函數(shù)具體化。四種抽象函數(shù)：它們具體化后對(duì)應(yīng)為一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)。這樣具體化后可以很容易地畫(huà)出抽象函數(shù)的草圖，對(duì)于解決抽象函數(shù)問(wèn)題具有很大的幫助。

三、代數(shù)問(wèn)題幾何化

數(shù)形結(jié)合是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。如例1，通過(guò)對(duì)稱(chēng)性使問(wèn)題變得直觀(guān)可解。一般地，數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系、集合中的韋恩圖、向量、對(duì)稱(chēng)性、周期性，這些都是我們數(shù)學(xué)形象化的有效工具。

數(shù)形結(jié)合得以實(shí)現(xiàn)，往往是要賦予代數(shù)表達(dá)一個(gè)幾何的意義，如距離、斜率、面積等。

四、復(fù)雜對(duì)象極限化

有個(gè)數(shù)學(xué)游戲是這樣的：兩個(gè)人輪流往圓桌上放一元的硬幣，誰(shuí)最后一個(gè)放上去恰好鋪滿(mǎn)圓桌，誰(shuí)就算贏(yíng)。如果你來(lái)參與游戲，你選擇先放還是選擇后放？極端化的思考是硬幣和圓桌一樣大小，先放的放上去，后放的沒(méi)有地方放，所以先放的贏(yíng)！但桌子比硬幣大很多呀？這時(shí)，我們先放的可以放最中央，然后根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性，不論后放的放哪里，先放的都可以在對(duì)稱(chēng)位置放，確保最后恰好鋪滿(mǎn)圓桌。

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常要面對(duì)的是一個(gè)復(fù)雜的變化過(guò)程，這時(shí)我們往往需要了解其變化的趨勢(shì)，根據(jù)變化趨勢(shì)的極限值來(lái)判斷結(jié)果。如趨近于0的正數(shù)，其倒數(shù)就趨近于正無(wú)窮大，而趨近于0的負(fù)數(shù)，其倒數(shù)則趨近于負(fù)無(wú)窮大等等。

因?yàn)檫@是一個(gè)奇函數(shù)，所以首先可以排除選項(xiàng)A。接下來(lái)就需要有極限的思維了。當(dāng)時(shí)，由于是有界的，分母趨近于無(wú)窮大，故函數(shù)值趨近于0，所以排除C。為了篩選B、D中的正確選項(xiàng)，我們?nèi)∮袕亩懦薆，最后選出正確選項(xiàng)D。這里雖然是用了不太嚴(yán)格的極限化推理，但從變化趨勢(shì)看，是沒(méi)有問(wèn)題的。

我們?cè)賮?lái)看一道例題。

極限化的思考對(duì)于填空、選擇等小題很有效。思考干脆利落，思路敏捷，節(jié)省了大量的解題時(shí)間，因此，我們要學(xué)會(huì)很好地利用這一思考工具。對(duì)于數(shù)學(xué)大題，我們很多時(shí)候也可以通過(guò)極限情況尋找到解題的最終結(jié)果，并啟發(fā)解題思路。

五、思考角度多樣化

解數(shù)學(xué)題時(shí)若能換個(gè)角度思考，常常會(huì)有一些新的發(fā)現(xiàn)，或者有一些巧妙的解法。很多同學(xué)看到選擇題都是先分析題干，再看選項(xiàng)。如果我們先分析選項(xiàng)，再回頭看題干，很多時(shí)候節(jié)約的不僅僅是閱讀題目的時(shí)間，還可以找到快捷的解法。

這是分段函數(shù)與不等式結(jié)合的選擇題。如果直接解不等式，就需要同時(shí)考慮定義域這一前提，而且容易出錯(cuò)。如果我們從選項(xiàng)來(lái)思考，發(fā)現(xiàn)A、C選項(xiàng)的差別只是有沒(méi)有包含0，令代入符合題意，因此，是需要取值的。排除了不包含0的C、D。再令由也是符合題意的。因此排除B，選A。

所以解選擇題這種客觀(guān)題的時(shí)候，我們可以改變一下常規(guī)思路，不著急從題干到選項(xiàng)，而是直接先分析選項(xiàng)，這樣常常會(huì)有快捷的解答方法。

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)還有一種逆向思維，即從結(jié)果出發(fā)尋找原因，這也是換個(gè)角度思考，這在數(shù)學(xué)分析法解題中有大量的運(yùn)用，這里不再贅述。

高中數(shù)學(xué)思維能力提升的途徑很多，本文無(wú)意追求面面俱到的論述，只是選取擺脫數(shù)學(xué)抽象化困擾中比較典型的幾個(gè)方面展開(kāi)論述，提出一些應(yīng)對(duì)思維抽象性的解決策略，以起到拋磚引玉的作用。

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