李強(qiáng)

摘要：在平面解析幾何中，通過坐標(biāo)法把平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序數(shù)對(duì)應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題.空間解析幾何也是按照類似方法建立起來的.高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題的設(shè)計(jì)，注意到求解方法既可以用傳統(tǒng)的幾何方法，又可用向量方法來處理，但是高中數(shù)學(xué)用向量方法處理時(shí)計(jì)算量比較大，容易出錯(cuò)是很多高中生頭痛的問題，尤其是在求平面法向量時(shí)過程較為復(fù)雜，本文結(jié)合高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的內(nèi)容，給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；高考；立體幾何；空間解析幾何

1.兩向量的向量積

定義1.1 兩個(gè)向量 與 的向量積（外積）是一個(gè)向量，記作 ，它的模是

其中 為 與b間的夾角. 的方向與 與 都垂直.（圖1）.

（圖1）

定理1.1 兩個(gè)不共線向量 與 的向量積的模，等于以 與 為邊所構(gòu)成的平行四邊形的面積.

定理1.2 兩向量 與 共線的充要條件是 0.

證 當(dāng) 與 共線時(shí)，由于sin=0，所以 |ab|=|a||b| = 0，從而ab0；反之，當(dāng)ab 0時(shí)，由定義知，a =0 ，或b =0，或sin = 0，a ∥ b，因零矢可看成與任向量都共線，所以總有a // b，即a與b共線.

定理1.3 向量積滿足下面的運(yùn)算律

（1）反交換律 a b b a，

（2） 分配律（a b） c a c b c，c （a b） c a c b.

（3） 數(shù)因子的結(jié)合律（a） b a （b） （a b） （為數(shù)）.

定理1.4 設(shè)定理1..4 設(shè) ，則

為了幫助記憶，可利用三階行列式符號(hào)將上式形式地寫成

使用時(shí)可按第一行展開.

例1 設(shè)a （2 1 1），b（1 1 2），計(jì)算ab

解

2.高中向量解空間立體幾何基本思想

2.1平行與垂直的判斷

（1）平行：設(shè) 的法向量分別為 ，則直線 的方向向量分別為 ，平面

線線平行 ∥ ∥ ；線面平行 ∥ ；

面面平行 ∥ ∥

（2）垂直：設(shè)直線 的方向向量分別為 ，平面 的法向量分別為 ，則

線線垂直 ⊥ ⊥ ；線面垂直 ⊥ ∥ ；

面面垂直 ⊥ =0

2.2夾角與距離的計(jì)算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐標(biāo)運(yùn)算

（1）夾角：設(shè)直線 的方向向量分別為 ，平面 的法向量分別為 ，則

①兩直線 ， 所成的角為 （ ）， ；

②直線 與平面 所成的角為 （ ）， ；

③二面角 ─l ─ 的大小為 （ ），

（圖2）

例3、如題圖3，在五面體 中， ∥ ， ， ，四邊形 為平行四邊形， 平面 ， .求：

（Ⅰ）直線 到平面 的距離；

（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值.

（圖3）

解（Ⅰ）如圖以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?的正方向建立空間直角坐標(biāo)系數(shù)，則

A（0，0，0） C（2，2，0） D（0，2，0）設(shè) 得 ，由 .即 ，解得 ∥ ，

面 ，所以直線AB到面 的距離等于點(diǎn)A到面 的距離。設(shè)A點(diǎn)在平面 上的射影點(diǎn)為 ，則 因 且 ，而 ，此即 解得 ①，知G點(diǎn)在 面上，故G點(diǎn)在FD上. ， 故有 ② 聯(lián)立①，②解得， . 為直線AB到面 的距離. 而 所以 .

（Ⅱ）因四邊形 為平行四邊形，則可設(shè) ， .由 得 ，解得 .即 .故

由 ， 因 ， ，故 為二面角 的平面角，又 ， ， 所以 .

3向量積在高考立體幾何中的應(yīng)用

在第一節(jié)中我介紹了向量積的大小和方向問題，向量積的方向就是兩個(gè)向量的所在平面的法向量，而我們?cè)诘诙?jié)中介紹了在高考中用向量法解立體幾何時(shí)重點(diǎn)是如何去求法向量，在這個(gè)基礎(chǔ)上我把兩個(gè)內(nèi)容有機(jī)的結(jié)合起來就得到我們的“秒求法”求法向量。

在例題3中設(shè)A點(diǎn)在平面 上的射影點(diǎn)為 ，則 因 且 ，而 ，此即 從而求解出法向量 .

我們可以用求兩個(gè)向量向量積的方法求法向量，

法向量在不為零向量的情況下與長(zhǎng)度無關(guān)，亦可?。?，1，2）作為平面的法向量.

4結(jié)論

本文通過對(duì)高等數(shù)學(xué)的深入研究與高考數(shù)學(xué)立體幾何解答題的設(shè)計(jì)有機(jī)結(jié)合，用高等數(shù)學(xué)中空間解析幾何的內(nèi)容，給出了一種“秒求法”解立體幾何的方法.對(duì)即將參加高考的同學(xué)有很大的幫助，同時(shí)為準(zhǔn)大學(xué)生們對(duì)高等數(shù)學(xué)有一定認(rèn)識(shí)，提高了即將要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣.

參考文獻(xiàn)：

[1]王福楹等.高等數(shù)學(xué)第七版冊(cè)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)，2014：17-20.

[2]文尚平.5年高考三年模擬[M].北京：首都師范大學(xué)，2016：129-152.