張孟++吳常虹

摘要：本文結(jié)合例題總結(jié)不定積分計(jì)算換元積分法的幾種常見(jiàn)的技巧，幫助學(xué)生理清解題思路，提高解題能力。

不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，不定積分的計(jì)算方法多，題型靈活；在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)許多的同學(xué)很難熟練靈活地運(yùn)用所學(xué)方法進(jìn)行解題，一方面是由于練習(xí)不夠，另一方面是由于同學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)每種方法的解題原理、適用范圍以及處理辦法和技巧并不了解，因此本人結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)地介紹不定積分計(jì)算換元積分法的常見(jiàn)方法與技巧。

一、第一類換元積分法（湊微分法）

定理 若 ， 可導(dǎo)，則

適用題型：第一類換元積分法主要是用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題；

處理方法與技巧：

把被積函數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)函數(shù)的乘積 ；

（1）選擇相對(duì)復(fù)雜函數(shù)（比如 ），對(duì)其求導(dǎo)（或?qū)ζ渲饕糠智髮?dǎo)）；

（2）若求導(dǎo)后得到的是簡(jiǎn)單函數(shù)（ ）的倍數(shù)，此時(shí)表示湊微分成功。

①常數(shù)倍

②函數(shù)倍 在這種情形下可以考慮將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以某個(gè)函數(shù)倍因子。

[例]求不定積分

分析：

=

的主要部分求導(dǎo)后剛好等于 ，湊微分成功

解：原式= = =

[例]計(jì)算不定積分

[分析]由于 ，所以考慮將分子分母同時(shí)乘以函數(shù)

解：原式

二、第二類換元積分法

定理 設(shè) 單調(diào)、可導(dǎo)，并且 ，又設(shè) 具有原函數(shù)，則

在第二類換元積分法中，關(guān)鍵在于如何找到合適的變換 ，常見(jiàn)的情形有

（1）被積函數(shù)含有二次根號(hào)式 ， ， ， 利用三角代換

令

令

令

令

注意：在利用三角代換解題時(shí)，進(jìn)行變量回代，要用構(gòu)造三角形法。

[例]求

[分析]被積函數(shù)中含有二次根式 ，因此采用三角代換

解： ，則

原式

（2）如果被積函數(shù)含有 ， ，

令整個(gè)根式

如果同時(shí)含有 ， ，設(shè) ，令

[例]計(jì)算

[分析]被積函數(shù)含有一次根式 ，因此采用整體代換去除一次根式

解：令 ，

原式

[例]計(jì)算

[分析]同時(shí)含有 ， ，令

解：令 ，

原式

（3）當(dāng)分母的冪次比分子的冪次至少高一次時(shí)用倒代換

[例]計(jì)算 （ ）

[分析]被積函數(shù)中分母的冪次比分子的冪次高三次，因此采用倒代換

解：令 ，

原式=

=

參考文獻(xiàn)：

[1]李永樂(lè).2014年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).北京：中國(guó)政法大學(xué)出版社，2013

[2]陳文燈 黃先開(kāi).考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南。北京：世界圖書(shū)出版公司北京公司，2008

通訊作者：吳常虹