崔紅珍, 周盛凡

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

?

帶可乘白噪聲的Schr?dinger格點(diǎn)系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子*

崔紅珍, 周盛凡

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

主要考慮帶可乘白噪聲的隨機(jī)Schr?dinger格點(diǎn)系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性.首先,利用Ornstein-Uhlenbeck過程將具白噪聲的隨機(jī)Schr?dinger格點(diǎn)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成以隨機(jī)變量為系數(shù)而無噪聲的隨機(jī)格點(diǎn)系統(tǒng);其次,研究該隨機(jī)系統(tǒng)的初值問題的整體解的存在唯一性,其解映射可以生成隨機(jī)動力系統(tǒng);最后,證明該隨機(jī)動力系統(tǒng)的有界隨機(jī)吸收集和隨機(jī)吸引子的存在性.

隨機(jī)吸引子;可乘白噪聲;Schr?dinger格點(diǎn)系統(tǒng)；存在性

0 引 言

格點(diǎn)動力系統(tǒng)(LDS)在生物學(xué)、化學(xué)、模式識別、圖像處理、電子工程及材料科學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛.近年來,具有不確定噪聲擾動的隨機(jī)格點(diǎn)動力系統(tǒng)(SLDS)也是研究的熱門課題.文獻(xiàn)[1-7]研究了一些自治和非自治的LDS、SLDS的吸引子的存在性.

本文主要考慮如下兩類無窮格點(diǎn)上帶可乘白噪聲的Schr?dinger系統(tǒng):

(1)

(2)

對于沒有噪聲擾動的Schr?dinger格點(diǎn)系統(tǒng)(即式(1)中a=0),Karachalios等[7]研究了它的整體吸引子的存在性;Chen等[8]證明了帶時滯項時它的整體吸引子的存在性;周盛凡等[9-10]證明了它的指數(shù)吸引子的存在性.當(dāng)a≠0,即系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)存在可乘白噪聲擾動時，其吸引子未見有任何研究.本文將結(jié)合文獻(xiàn)[11]給出的隨機(jī)吸引子存在的判據(jù)來證明系統(tǒng)(1)和(2)存在隨機(jī)吸引子.

1 系統(tǒng)(1)的隨機(jī)吸引子

1.1 方程轉(zhuǎn)化

系統(tǒng)(1)可以寫成如下等價的向量形式:

(3)

式(3)中:u=(uk)k∈Z;g=(gk)k∈Z;h(|u|2)u=(h(|uk|2)uk)k∈Z.

對系統(tǒng)(1)中的g與h(s)作如下假設(shè):

(A1)g=(gk)k∈Z∈l2;

(A2)h(s)∈C(R,R),且關(guān)于s局部Lipschitz連續(xù),即對R上的任一有界區(qū)間I,存在L=L(I)>0,使得?s1,s2∈I,|h(s1)-h(s2)|≤L(I)|s1-s2|;

令x=ue-aη(θtω),則x與u在l2上同構(gòu),系統(tǒng)(3)等價于

(4)

1.2 全局解的存在唯一性

定理1 若假設(shè)(A1)～(A2)成立,則對?ω∈Ω,x0∈l2,系統(tǒng)(4)存在唯一解x(·)=x(·,ω,x0)∈C([0,+∞),l2)∩C1((0,+∞),l2),x(·)關(guān)于x0連續(xù),且解x(t,ω,·)生成一個由(Ω,F,P,(θt)t∈R)驅(qū)動取值于l2的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng){x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω(隨機(jī)動力系統(tǒng)的定義見文獻(xiàn)[2]).

證明 1)令Q(θtω,x)=ih(|x|2e2aη(θtω))x-ige-aη(θtω)+aη(θtω)x,則?ω∈Ω,t∈[0,p]?R+,Q(θtω,x)在l2的有界集B上關(guān)于x是Lipschitz連續(xù)的.

C2(B,ω)‖x(1)-x(2)‖2.

由于η(θtω)關(guān)于t連續(xù),所以Q(θtω,x)關(guān)于t連續(xù).又知g∈l2,由解的存在唯一性可得，系統(tǒng)(4)存在唯一局部解x(·,ω,x0)∈C([0,Tmax),l2)∩C1((0,Tmax),l2),其中x0=x(0,ω,x0)且[0,Tmax)是解的最大存在區(qū)間.

2)證明Tmax=+∞.令系統(tǒng)(4)與x作內(nèi)積,取實(shí)部可得

(5)

經(jīng)計算可得,

(6)

(7)

綜合式(5)～式(7)可得

(8)

對式(8)從0到t應(yīng)用Gronwall不等式可得

(9)

從而當(dāng)t為有限數(shù)時，‖x(t)‖2有限,即Tmax=+∞.故x(t)是系統(tǒng)(4)的全局解.

3)結(jié)合1)和2)易得x(·,ω,x0)關(guān)于x0連續(xù).定理1證畢.

1.3 隨機(jī)吸引子的存在性

下面主要討論{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω在l2上的隨機(jī)吸收集和隨機(jī)吸引子的存在性.

定理2 若假設(shè)(A1)～(A3)成立,則{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在一個緩增隨機(jī)吸收集

其中,

則K(ω)滿足:對于l2上任一緩增隨機(jī)集Γ(ω),存在TΓ(ω)≥0,使得對?t≥TΓ(ω),ω∈Ω,均有x(t,ω,Γ(θ-tω))?K(ω).

證明 令Γ(ω)是l2中的一個緩增集,x0∈Γ(ω),對式(9)應(yīng)用拉回映射θ-t:ω|→θ-tω及積分變換,可得

‖x(t,θ-tω,x0(θ-tω))‖2≤

(10)

因此,R(ω)是一個緩增隨機(jī)變量.記

則K(ω)是有界閉的緩增隨機(jī)集.由式(10)得,它為{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω的一個隨機(jī)吸收集.定理2證畢.

定理3 若假設(shè)(A1)～(A3)成立,則{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子γ(ω),且

其中,K(ω)是定理2中定義的隨機(jī)吸收集.則γ(ω)滿足：1)γ(ω)是隨機(jī)緊集;2)γ(ω)是不變的,即?t≥0,x(t,ω)γ(ω)=γ(θtω);3)γ(ω)吸引任意緩增隨機(jī)集.

證明 首先證明?ε>0,ω∈Ω,?T′(ε,ω,K(ω))>0,M′(ε,ω)∈N,使得系統(tǒng)(4)滿足初值x0∈K(θ-tω)∩l2的解x=(xk)k∈Z有如下性質(zhì):

選取遞增的光滑函數(shù)f∈C(R+,R),使得

且對?s∈R+,均有|f′(s)|≤f0(正常數(shù)).

(11)

經(jīng)計算可得:當(dāng)t≥TK(ω)時,

(12)

(13)

(14)

(15)

綜合式(11)～式(15)可得

(16)

對式(16)從TK(ω)到t應(yīng)用Gronwall不等式及應(yīng)用拉回映射θ-t:ω|→θ-tω,則

(17)

(18)

(19)

3)由于R(ω)是緩增隨機(jī)變量且R(θtω)關(guān)于t連續(xù),所以可由文獻(xiàn)[12]的命題4.33可得,存在緩增隨機(jī)變量δ(ω)>0,使得

(20)

令

(21)

綜合式(17)～式(21)可得:?ε>0,ω∈Ω,當(dāng)t>T′(ε,ω,K(ω)),x0∈K(ω)時,有

(22)

結(jié)合文獻(xiàn)[11]中的定理3.1可知,{x(t,ω)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子.定理3證畢.

2 系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子

主要討論系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子的存在性.系統(tǒng)(2)等價于

(23)

令y=ueiaη(θtω),則y,u在l2上同構(gòu)且‖y‖=‖u‖,系統(tǒng)(23)等價于

(24)

定理4 若假設(shè)(A1)和(A2)成立,則

1)對?ω∈Ω,y0∈l2,系統(tǒng)(24)存在唯一解y(·)=y(·,ω,y0)∈C1((0,+∞)∩C([0,+∞),l2),y(·)關(guān)于y0連續(xù),并且解y(t,ω,·)生成一個由(Ω,F,P,(θt)t∈R)驅(qū)動取值于l2的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng){y(t,ω)}t≥0,ω∈Ω.

證明 1)證明類似于定理1中的證法,且有

(25)

2)由式(25)得,

(26)

(27)

由于r有界,g∈l2,所以對?ε>0,ω∈Ω,存在T(ε,D)>TD,M(ε)∈N,使得當(dāng)t>T(ε,D),M>M(ε)時,有

(28)

從而當(dāng)t>T(ε,D),y0∈D時,有

(29)

由文獻(xiàn)[11]中的定理3.1可知,{y(t,ω,·)}t≥0,ω∈Ω存在隨機(jī)吸引子.定理4證畢.

注1 系統(tǒng)(1)(或系統(tǒng)(3))與系統(tǒng)(2)(或系統(tǒng)(23))存在隨機(jī)吸引子的條件是不完全相同的,系統(tǒng)(2)比系統(tǒng)(1)少了一個條件(A3),即限制a的取值.由此可見,系統(tǒng)(2)的隨機(jī)吸引子的存在性與a的取值無關(guān),而系統(tǒng)(1)存在隨機(jī)吸引子需要隨機(jī)項的系數(shù)a適當(dāng)小.

[1]Bates P W,Lisei H,Lu Kening.Attractors for stochastic lattice dynamical systems[J].Stoch Dyn,2006,6(1):1-21.

[2]Bates P W,Lu Kening,Wang Bixiang.Attractors for lattice dynamical systems[J].Internat J Bifur Chaos,2001,11(1):143-154.

[3]Abdallah A Y.Global attractor for the lattice dynamical system of a nonlinear Boussinesq equation[J].Abstr Appl Anal,2005,10(6):655-671.

[4]Abdallah A Y.Long-time behavior for second order lattice dynamical systems[J].Acta Appl Math,2009,106(1):47-59.

[5]Caraballo T,Lu Kening.Attractors for stochastic lattice dynamical systems with a multiplication noise[J].Frontiers of Mathematics in China,2008,6(3):317-335.

[6]Yan Weiping,Li Yong,Ji Shuguan.Random attractors for first order stochastic retarded lattice dynamical systems[J].J Math Phy,2010,51(3):1-17.

[7]Karachalios N I,Yannacopoulos A N.Global existence and compact attractors for the discrete nonlinear Schr?dinger equation[J].J Differential Equations,2005,217(1):88-123.

[8]Chen Tao,Zhou Shengfan.Attractors for discrete nonlinear Schr?dinger equation with delay[J].Acta Math Appl Sin:English Series,2010,26(4):633-642.

[9]周盛凡,譚慧榮.非線性Schr?dinger格點(diǎn)方程的指數(shù)吸引子[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2015,38(4):361-365.

[10]趙才地,周盛凡.格點(diǎn)系統(tǒng)存在指數(shù)吸引子的充分條件及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,2010,53(2):233-242.

[11]Han Xiaoying,Shen Wenxian,Zhou Shengfan.Random attractors for stochastic lattice dynamical systems in weighted spaces[J].J Differential Equations,2011,250(3):1235-1266.

[12]Arnold L.Random dynamical systems[M].Heidelberg:Springer-Verlag,1998.

(責(zé)任編輯 陶立方)

Random attractor for Schr?dinger lattice system with multiplicative white noise

CUI Hongzhen, ZHOU Shengfan

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

It was mainly studied the existence of a random attractor for stochastic Schr?dinger lattice system.Firstly, the stochastic Schr?dinger lattice system with multiplicative white noise was transfered into a random dynamical system with random coefficients and without noise by the Ornstein-Uhlenbeck process.Secondly, the existence and uniqueness of solution for lattice system with initial condition were considered, and mapping of this solution generated a random dynamical system. Finally, the problem of the existence of a random bounded absorbing set and a random attractor were also investigated.

random attractor; multiplicative white noise; Schr?dinger lattice system; existence

10.16218/j.issn.1001-5051.2017.01.003

2016-03-14；

2016-04-03

國家自然科學(xué)基金資助項目(11471290)

崔紅珍(1990-),女,山東德州人,碩士研究生.研究方向:動力系統(tǒng)與微分方程.

周盛凡.E-mail: sfzhou@zjnu.cn

O175.25

A

1001-5051(2017)01-0017-07