黃利忠，石巖嶺

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學網絡信息中心，山西大同037009）

誘導Banach代數及其表示

黃利忠1，石巖嶺2

（1.山西大同大學數學與計算機科學學院，山西大同037009；2.山西大同大學網絡信息中心，山西大同037009）

基于Banach代數動力系統(tǒng),提出了誘導Banach代數的定義,證明了Banach代數的不可約有界表示蘊含著誘導Banach代數的不可約有界表示,最后探討了連續(xù)函數空間稠密子代數的結構特征。

G-空間;誘導Banach代數;表示

在量子物理中,C*-動力系統(tǒng)經常被用來描述時間演化和可見的空間轉化。因而交叉積理論在量子物理學及其它學科中有著廣泛的應用。D.P.Williams的專著“Crossed Products ofC*-Algebras”[1]對C*-代數交叉積近年來的發(fā)展做了詳細且系統(tǒng)的描述,提出了一些新的問題,極大地推動著交叉積理論的發(fā)展。在文獻[2],S.Dirksen探討了Banach代數動力系統(tǒng)的非退化的連續(xù)共變表示與相應的Banach代數交叉積的非退化有界表示之間的關系，隨后又證明了交叉積代數與廣義Burling代數是拓撲同構的[3]?；诶碚摵蛻玫闹匾?一大批數學學者投身于交叉積的研究,得到了豐富而深刻的結果[3-6]。

設A是Banach代數,我們用Aut(A)表示A上等距自同構映射構成的全體。稱三元序組(A,G,α)是一個Banach代數動力系統(tǒng),其中A是一個Banach代數,G是局部緊的Hausdorff群,α：G→Aut(A)是G在 A上的強連續(xù)表示。 在C*-代數的情形下,由于每個動力系統(tǒng)都可在A的本原理想空間Prim A上產生一個G-作用,故考慮給定集合上的G-作用及相關問題是有意義的。本文在Banach代數動力系統(tǒng)和G-空間的基礎上,給出誘導Banach代數的概念,對其結構做了初步探討,證明了若Banach代數A上的表示是有界不可約的,則誘導Banach代數(A,G,α)上的表示也是有界不可約的,最后我們研究了映到(A,G,α)的稠密子代數Ccc(Y,Indcα)的結構特征。

1 誘導Banach代數

設X是一個(左)G-空間,x∈X,一般我們稱集合 G·x：={s·x∈X,s∈G 且 x∈X}是過 x點的軌道。在 x點處的穩(wěn)定群是指 Gx：={s∈G：s·x=x}。對任意的x∈X,若Gx={e},則稱G-作用是自由的。軌道的集合記為X G,自然映射 p：X→X G稱為軌道映射,若軌道空間賦予商拓撲,則稱X G為軌道空間。軌道空間X G中元素的等價關系定義為：對任意的 x,y∈X,x≠y,x～y當且僅當G·x=G·y。一般,軌道映射 p是連續(xù)的開映射.稱局部緊的G-空間P 是真的,若映射 (s,x)?(s·x,x)是一個從 G×P 到P×P的一個真映射。任何緊群的作用都是真作用。一般地,如果P是一個真的局部緊的G-空間,則P G是一個局部緊的Hausdorff空間。

定義1設(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng),P是一個左G-空間。令

由于α是G在A上的連續(xù)同態(tài),映射x?||f(x)||在G-軌道上是常數,這樣G·x?||f(x)||是有意義的。從定義上易知(A,G,α)是一個Banach代數,同時若A是對合的,則(A,G,α)也是對合的。當P是右G-空間時,我們可定義

定理1設G是自由真作用于局部緊空間P的右邊的局部緊群,(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng)。若對任意的 f∈Cc(P),a∈A,f·a(x)= ∫Gf(x·s)αs(a)/u(s),則 f·a是誘導Banach代數(A,G,α)中定義良好的元。

證明由于G在P上的作用是真的,對任意給定的 x, 集合{s：x·s∈sup p(f)}(其中 supp(f)表示 f的支集)是緊的。顯然 f(x·s)αs(a)屬于Cc(G,A),因此f·a 定義良好。下證對任意的

若{xi}i∈D(D為指標集)是P中收斂于x的網,則存在x的一個緊鄰域K,存在N∈D,當i＞N時,xi∈K 。令表示空集),則L是緊集。由 f的一致連續(xù)性,對任意的ε＞0,存在x的一個緊鄰域K0,當y∈K0時,有|f(y)-f(x)|＜ε。

此 時若 s∈L,一 定 有 |f(y·s)-f(x·s)|＜ε 。 而xi∈K0,所以

從而 f·a在 P上是連續(xù)的。 要證 x·G→||f(x)||∈C0(P G),只需說明

而||f·a(·G)||一定在無窮遠處趨于零,這是顯然的。所以 f·a是(A,G,α)中定義良好的元。

推論1設(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng),其中G是自由真作用于局部緊空間P左邊的局部緊群,則對任意的 f∈Cc(P),a∈A,

定理2設(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng),其中G是自由真作用于局部緊空間P左邊的局部緊群,π0是 A在Banach空間X上的不可約有界表示。若π(A,G,α)→B(X)定義為：

證明對任意的 f,g∈(A,G,α),λ,η∈K,

所以π是有界的。

于是,

2 子代數Indcα

定理3設(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng),Y是局部緊空間,P是局部緊的G-空間。令Ccc(Y,Indcα)是C(Y×P,A)中滿足下列條件的函數族{f}：

(II)存在緊集C?Y,T?P G,使得若 (y,G·x)≠ C×T,則 f(y,x)=0 。則映射 y?f(y,·)屬于Cc(Y,Indα);若將 Ccc(Y,Indcα)視為 Cc(Y,Indα)的子代數,則 Ccc(Y,Indcα)在 Cc(Y,Indα)中按歸納極限拓撲意義下是稠密的。

證明首先 f(y,·)∈Indα 。若映射 y?f(y,·)不連續(xù),則存在 ε＞0,對Y中收斂于 y的網{yi},||f(yi,·)-f(y,·)||≥ε。注 意 到 f(y,·)∈Indα , 故 存 在{xi}?P,使得 ||f(yi,xi)-f(y,xi)||≥ε 。又因為 f∈Ccc(Y,Indcα),故{G·xi}?T ，于是有收斂的子網。 所以對P中的元素x,存在si∈G,使得xisi→x。進而

若將Ccc(Y,Indcα)視為 Cc(Y,Indα)的子代數,為證Ccc(Y,Indcα) 在 Cc(Y,Indα) 中 的 稠 密 性, 可 設z∈Cc(Y), f∈Indcα。由于 Cc(Y)?Indcα 在 Cc(Y,Indα)中按歸納極限拓撲是稠密的,且Indcα在Indα中稠密的,故 z?f∈Cc(Y,Indα)。定義

則 (z?f)(y,s·x)：=z(y)f(s·x),且支集 supp(z?f)包含在某個緊集中,這表明z?f∈Ccc(Y,Indα)。

推論2設(A,G,α)是Banach代數動力系統(tǒng),Y是局部緊空間,P是自由的真的局部緊的G-空間。若F∈Cc(Y×P,A),則

定義了Ccc(Y,Indcα)中的元素φ。

[1]WILLIAMS D P.Crossed products ofC*-algebras[M].Mathematical Surveys and Monographs：American Mathematical Society,Providence,RI,2007.

[2]DIRKSEN S,JEU M D,WORTEL M.Crossed products of Banach algebras，I[J].arXiv：1104,5151(2011).

[3]DE M JEU,MESSERSCHMIDT M,WORTEL M.Crossed products of Banach algebras，II[J].arXiv：1305,2304(2013).

[4]HUANG L,LU F.Reduced crossed products associated with Banach algebra dynamical systems[J].Integr.Equat.Oper.Th,2016,84(4),451-462.

[5]BEDOS E,KALISZEWSKI S,QUIGG J,etal.A new look at crossed product correspondences and associatedC*-algebras[J].J Math Anal Appl,2015,426(2)：1080-1098.

[6]GIORDANO T,SIERAKOWSKI A.Purely infinite partial crossed products[J].J Funct Anal,2014,266(9)：5733-5764.

[7]RAEBURN I,WILLIAMS D P.Morita equivalence and continuous-traceC*-algebras[M].American Mathematical Society,Providence,RI,1998.

Induced Banach Algebra and Its Representations

HUANG Li-zhong1,SHI Yan-ling2
(1.School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009;2.Network Information Center,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Based on Banach algebra dynamical system,the notion of induced Banach algebra is given.We show that if the representation of given Banach algebra is irreducible bounded,then the representation of the associated induced Banach algebra is also irreducible bounded.We study the structure of a dense subalgebra of continuous function space.

G-spaces;induced Banach algebras;representations

O177.5

A

1674-0874(2017)02-0001-03

〔責任編輯 高?！?/p>

2016-12-16

國家自然科學基金青年科學基金資助項目[11301312];山西大同大學博士科研項目[2015-B-09]

黃利忠(1980-),男,山西代縣人,博士,講師，研究方向：算子理論與代數。