耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)估計虛擬儀器設(shè)計

耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

針對在實際工程研究領(lǐng)域中經(jīng)常要對SISO系統(tǒng)進行系統(tǒng)辨識的問題，開發(fā)一套基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計虛擬儀器。該虛擬儀器使用基本定義法與聯(lián)合輸入輸出法兩種傳遞函數(shù)參數(shù)估計方法進行相互比對，從而得到SISO系統(tǒng)的S域傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)表達式的參數(shù)。通過對一個典型RLC二階電路系統(tǒng)對該虛擬儀器進行理論分析與實驗驗證。由高頻狀態(tài)下的誤差分析證明兩種算法的結(jié)合部分在高頻區(qū)間會增大誤差。最終證明，這套系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計虛擬儀器所辨識得到的系統(tǒng)模型參數(shù)在低頻狀態(tài)下具有較高的準確性。

傳遞函數(shù)；系統(tǒng)辨識；聯(lián)合輸入輸出法；信號分析；RLC二階電路

0 引 言

從狹義上講，單輸入單輸出系統(tǒng)（single input single output system，SISO）是自動控制領(lǐng)域中的一種系統(tǒng)模型，這種系統(tǒng)只具有一個信號參數(shù)輸入端口與一個信號參數(shù)輸出端口。從廣義上講，這種SISO系統(tǒng)則存在于工程技術(shù)、社會生活中的各個領(lǐng)域。在工程上，對某個未知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析與系統(tǒng)辨識是非常有價值的。一個未知的SISO電氣、機械或聲學(xué)[1]系統(tǒng)的工程分析主要體現(xiàn)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)（transfer function）的辨識與參數(shù)識別[2]。在確定系統(tǒng)的階數(shù)、估計系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并進行系統(tǒng)的參數(shù)識別方面，國內(nèi)外已有了很多先進方法與理論。李敏花等[3]通過采用LM算法極小化代價函數(shù)，應(yīng)用在系統(tǒng)辨識領(lǐng)域，提出了一種估計出系統(tǒng)未知參數(shù)的方法。袁東等[4]進行了二階系統(tǒng)線性自抗擾控制器頻帶特性與參數(shù)配置研究。Atcitty Stanley發(fā)明了一種自動計算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計算方法。秦來安等[5]將常用的系統(tǒng)辨識方法進行分析對比，得出了不同的方法適用于不同情況不同要求的工況分析。近些年隨著虛擬儀器技術(shù)的不斷發(fā)展，傳遞函數(shù)與虛擬儀器結(jié)合的工程應(yīng)用實例不斷增加。柳明洙等[6]通過設(shè)計具有分析傳遞函數(shù)功能的虛擬儀器實現(xiàn)了對電壓閃變的監(jiān)測。郭棟梁等[7]基于LabVIEW與參數(shù)分析設(shè)計實現(xiàn)一種通用電路板自動故障診斷系統(tǒng)。盡管系統(tǒng)辨識與傳遞函數(shù)參數(shù)估計的理論方法不斷增加，但是迄今為止還鮮有具有對SISO系統(tǒng)進行系統(tǒng)辨識功能的虛擬儀器設(shè)備出現(xiàn)。

本文提出一種基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計虛擬儀器，該方案可以對常見SISO信號系統(tǒng)進行傳遞函數(shù)的S域參數(shù)識別，并對未知系統(tǒng)進行辨識與傳遞函數(shù)階數(shù)判斷。基于LabVIEW的傳遞函數(shù)辨識系統(tǒng)具有操作簡便，分析迅速，計算準確的優(yōu)點。

1 傳遞函數(shù)的參數(shù)估計原理

1.1 定義法

對于一個廣義系統(tǒng)來說，通常會有若干個輸入節(jié)點與若干個輸出節(jié)點。如圖1所示，一般的SISO系統(tǒng)應(yīng)該只具有一個輸入節(jié)點與一個輸出節(jié)點，同時這個系統(tǒng)可以是電氣系統(tǒng)，機械系統(tǒng)或聲學(xué)系統(tǒng)等。

傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸入量與系統(tǒng)輸出量的拉氏變換之比。將輸入點與輸出點之間的整體部分視為一個完整的系統(tǒng)，通過對系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（s）的估計，可以得出這個系統(tǒng)的動態(tài)特性以及穩(wěn)定性等系統(tǒng)的獨有特性的數(shù)學(xué)描述。系統(tǒng)的輸入信號X（t）與輸出信號Y（t），則經(jīng)過拉氏變換后相除就得到了這個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

圖1 SISO系統(tǒng)示意圖

一種常見的求傳遞函數(shù)的方法是，對輸入輸出信號X（t）與Y（t）來講，傳遞函數(shù)是對這兩種信號所在的線性時不變系統(tǒng)的描述。因此對X（t）與Y（t）求互功率譜 SYX（jω），對 X（t）求自功率譜 SXX（jω），則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

當測得系統(tǒng)的輸入信號X（t）與輸出信號Y（t）為簡諧信號時[5]，有：

這種傳遞函數(shù)的估計的方法測量要求簡單，計算步驟較少。所求得的傳遞函數(shù)H（s）是一個具體的復(fù)數(shù)值。這個值可以反映輸入信號與輸出信號在時域中的幅值比例與相位延遲關(guān)系，但是不能具體得到這個傳遞函數(shù)的S域數(shù)學(xué)表達式。

1.2 聯(lián)合輸入輸出法

LabVIEW的仿真與控制工具包中所包含的傳遞函數(shù)參數(shù)估計程序采用聯(lián)合輸入輸出法（joint input-output method）進行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)參數(shù)原理。這種方法是綜合直接辨別法（direct identification）與間接辨別法（indirect identification）兩種系統(tǒng)辨識估算模型對系統(tǒng)進行傳遞函數(shù)估計與參數(shù)識別[8-10]。

該方法是對于某閉環(huán)線性時不變SISO控制系統(tǒng)，有：

其中 yt與xt分別代表輸出與輸入信號，G（q，θ）代表在線性時不變控制器K（q，θ）與外部參考信號rt影響下的傳遞函數(shù)并且在后移算子q-1中為有理式，且

式中：θ——多項式中的實數(shù)向量參數(shù)；

νt——期望為0的平穩(wěn)白噪聲；

ma、mb——正整數(shù)。

設(shè)rt為弱平穩(wěn)過程信號，它的譜密度為φr（ω）。進一步用 G（q，θ），K（q，θ）來表示 xt與 yt的關(guān)系：

其中 K 為實數(shù)，P（q，θ）、L（q，θ）都是后移算子 q-1中的多項式，這就要求上式中的分子P（q，θ）形成開環(huán)節(jié)點A（q，θ）的子集，即對于某些多項式，有：

假設(shè)其系統(tǒng)辨識得到的估計傳遞函數(shù)具有以下4個特征：

1）該傳遞函數(shù)不存在零點對消，且并非是不可確定的；

2）φr（ω）=μ 為一常數(shù)；

3）線性時不變控制器 K（q，θ），應(yīng)滿足：

并且 P（q，θ）滿足式（9）。

4）閉環(huán)函數(shù)零點應(yīng)滿足：

基于上述理論，只需知道信號xt與yt就可以按如下的方法估計傳遞函數(shù)：

其中

是 yt與的均方誤差的一階矩。根據(jù)式（4）給出的系統(tǒng)模型，有：

即為傳遞函數(shù)參數(shù)估計式。

聯(lián)合輸入輸出法可以在已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為確定的階數(shù)時，有效辨別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Z域與S域參數(shù)。但這種方法所估計出的傳遞函數(shù)參數(shù)是與對應(yīng)系統(tǒng)的階數(shù)相關(guān)的，如果被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)階數(shù)不能在參數(shù)識別之前被確定，則聯(lián)合輸入輸出法的系統(tǒng)參數(shù)辨識結(jié)果可能與系統(tǒng)的真實參數(shù)存在一定的誤差。本文綜合上述兩種傳遞函數(shù)辨識理論，使用LabVIEW軟件環(huán)境，編寫出一種階數(shù)遞增的傳遞函數(shù)S域參數(shù)識別程序。該程序可同時使用兩種不同方法對SISO系統(tǒng)進行系統(tǒng)辨識，結(jié)合兩種方法的優(yōu)點，將得到的結(jié)果相互比對，以達到逐階辨識的目的。

2 測量系統(tǒng)設(shè)計

該程序的軟件結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。使用LabVIEW圖形化編程平臺，對整個系統(tǒng)進行模塊化編程。整個系統(tǒng)分為信號發(fā)生部分、信號采集部分、信號處理部分。其中信號發(fā)生部分的主要功能是產(chǎn)生自定義頻率、幅值、偏移量的簡諧信號，配置相應(yīng)的硬件實現(xiàn)程序。信號采集部分的主要功能是對被測系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號進行時域采集，并設(shè)置所需要的采樣方式、采樣率與待讀取采樣數(shù)。信號處理部分的主要功能是對采集到的時域信號進行分流、示波、頻譜分析，同時編寫相應(yīng)的算法實現(xiàn)傳遞函數(shù)的階數(shù)與參數(shù)估計。

圖2 軟件結(jié)構(gòu)圖

圖3 軟件流程圖

該程序的程序流程如圖3所示。程序的設(shè)計思路：首先使用LabVIEW的仿真信號發(fā)生功能進行簡諧信號的產(chǎn)生，并且通過播放波形函數(shù)由計算機聲卡產(chǎn)生原始的電壓簡諧激勵信號。該信號經(jīng)過功率放大器放大后，對被測系統(tǒng)進行激勵。當被測系統(tǒng)為機械振動系統(tǒng)時，需要接入激振器將電信號轉(zhuǎn)換為機械振動信號進行激勵[11]。使用數(shù)據(jù)采集卡對系統(tǒng)的輸入與輸出時域信號進行采集，得到的信號分別通過聯(lián)合輸入輸出法與功率譜密度法進行運算，比較后得出聯(lián)合輸入輸出法所求的S域傳遞函數(shù)是否接近真實值，如果不接近，則傳遞函數(shù)模型階數(shù)遞增，并重復(fù)至可接受的值為止。

該程序的核心算法為對時域信號進行自譜與互譜分析，并且調(diào)用LabVIEW的模態(tài)識別參數(shù)估計函數(shù)：SI Estimate Function Modal。程序后面板如圖4所示，采集到的輸出信號與輸入信號的時域信號在程序內(nèi)同時進行兩種不同的運算處理。其中一種是計算輸入與輸出信號互功率譜，將得到的復(fù)數(shù)結(jié)果與輸入信號的自功率譜進行除法運算，得到傳遞函數(shù)的復(fù)函數(shù)值C1。第2種運算是時域信號與當前假設(shè)階數(shù)同時輸入到SI Estimate Function Modal函數(shù)中，函數(shù)經(jīng)過聯(lián)合輸入輸出法計算后，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)S域表達式：

圖4 傳遞函數(shù)參數(shù)估計核心程序

圖5 測試用RLC電路

將式（3）代入到式（13）中，可求得傳遞函數(shù)的復(fù)函數(shù)值C2。對于傳遞函數(shù)的特性，通常更關(guān)心結(jié)果的模值與輻角值，因此對C1與C2進行模與輻角運算。得到的結(jié)果（即 abs（C1）與 abs（C2），angle（C1）與angle（C2））分別進行相除比較。由于一般工程上系統(tǒng)辨識的準確度要求控制在95%以上，如果其中某個較小的值與較大的值比值小于0.97，就判定本次估計不準確。這時測量系統(tǒng)將會把預(yù)估階數(shù)提高一階，并且再次進行計算比較。當較小的值與較大的值得比值大于或等于0.97時，則認為兩種不同算法得到的結(jié)果相似度超過97%，從而本次估計結(jié)果可靠。當前的預(yù)估階數(shù)就是系統(tǒng)階數(shù)，得到的參數(shù)就是當前系統(tǒng)的傳遞函數(shù)S域參數(shù)。

3 實驗驗證

為測試該SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計虛擬儀器的真實性與可靠性，采用實驗驗證的方法對此系統(tǒng)進行檢驗。如圖5所示，設(shè)計一個由已知元件組成的RLC二階電路的待測系統(tǒng)，其特性如下：由一個L=100 nH的共模電感，一個R=330 Ω的電阻,一個C=100nF的電容組成。

圖6 實驗結(jié)果

根據(jù)已知參數(shù)，可以列出這個二階電路的微分方程，求得該電路的傳遞函數(shù)表達式為

實驗使用NI-DAQ9234數(shù)據(jù)采集卡對該二階電路的輸入輸出信號進行采樣。由于聲卡中的信號輸出電壓小于1V，使用SINOCERA-YE5871A型功率放大器進行信號放大。最終軟件測試結(jié)果圖分別如圖6所示。

根據(jù)軟件測試結(jié)果，得到的S域傳遞函數(shù)的最佳階數(shù)為2階，分子參數(shù)為8.859 76×10-1，分母參數(shù)為 9.39×10-7，2.87881×10-2。 代入數(shù)學(xué)表達式為

將式（3）代入后，即求得該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。最終將傳遞函數(shù)從幅頻結(jié)果與相頻結(jié)果兩個方面進行分析，與式（5）的理論計算值對比結(jié)果如圖7所示。

從圖中可以較為清晰的看出，該SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計虛擬儀器進行傳遞函階數(shù)與數(shù)參數(shù)估計的參數(shù)結(jié)果在低頻部分與理論分析結(jié)果符合良好。在高頻部分，幅頻結(jié)果的實驗結(jié)果與理論推導(dǎo)吻合得較好，但是相頻結(jié)果則出現(xiàn)了偏差，偏差值隨著頻率的增大繼續(xù)增加。

圖7 理論與實驗結(jié)果對比

對上述誤差進行分析：根據(jù)聯(lián)合輸入輸出法原理，進行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)估計時，應(yīng)盡量取頻率分布區(qū)間廣泛的信號進行分析，例如高斯白噪聲。由式（7）可知，在一次系統(tǒng)辨識中使用xt所具有的有效值在頻域上分布越廣，則代入方程式后計算出的結(jié)果越接近真實值。而使用基本定義法進行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)估計時，則應(yīng)盡量選取頻率成分單純的信號進行分析，例如單一頻率的正弦信號。但是使用單一頻率會導(dǎo)致在遠離該頻率的傳遞函數(shù)部分出現(xiàn)估算誤差。這種算法上的差異造成了該系統(tǒng)在對SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)進行參數(shù)估計時產(chǎn)生的誤差，同時這種誤差會隨著代入表達式中的頻率值增大而繼續(xù)增大。而低頻區(qū)間的頻率值代入式（4）、式（7）后，由于頻帶范圍短，頻率值更小，從而計算誤差減小，傳參估計結(jié)果更加精確。

4 結(jié)束語

根據(jù)聯(lián)合輸入輸出法與功率譜密度法原理設(shè)計的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計虛擬儀器，可以準確辨識出未知系統(tǒng)在低頻輸入條件下的傳遞函數(shù)階數(shù)與S域數(shù)學(xué)表達式參數(shù)。由于兩種核心算法具有不同的側(cè)重點，會造成在系統(tǒng)高頻輸入條件下的傳遞函數(shù)辨識結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，因此可以從協(xié)調(diào)兩種算法為切入點來進一步優(yōu)化該虛擬儀器的測量精確度。

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（編輯：劉楊）

Design of virtual instrument for identification of transfer function of SISO system based on LabVIEW

GENG Yanzhang， Lü Haifeng， AN Jun， JI Xiaofei
（School of Mechanical and Power Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）

In order to solve the problem of identification of SISO system，a virtual instrument system based on LabVIEW was developed.By using two different methods named basic definition method to identify and joint input-outputmethod to estimate transfer function， this virtual instrument can get the order of the system and the parameters of the transfer function in sdomain.Based on a typical RLC second order circuit system theoretical analysis and experimental verification，this virtual instrument was shown to have high accuracy in identification of SISO systems in the low frequency range.The error analysis of the high-frequency state proves that the combination of the two algorithms will increase the error in the high-frequency range.

transfer function； system identification； joint input-output method； signal analysis；RLC second order circuit

A

1674-5124（2017）06-0103-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.06.022

2016-11-20；

2016-12-08

國家自然科學(xué)基金（51305409）；山西省青年科技研究基金（2013021020-2）

耿彥章（1990-），男，內(nèi)蒙古錫林浩特市人，碩士研究生，專業(yè)方向為聲學(xué)測試。