楊宇師

[摘 要]長方形和正方形面積公式的推導(dǎo)是學(xué)生探索其他平面圖形的面積公式的基礎(chǔ)，是學(xué)生學(xué)習(xí)面積計(jì)算的起始課。在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握通過數(shù)小正方形去比較兩個(gè)圖形的面積大小的方法，學(xué)生對于圖形大小的概念建立在數(shù)小正方形的基礎(chǔ)之上，這是本課教學(xué)的起點(diǎn)。

[關(guān)鍵詞]長方形；正方形；面積公式；推導(dǎo)

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）20-0065-02

對于長方形的面積計(jì)算公式“長×寬”，多數(shù)學(xué)生識記起來比較容易，至于為什么這么算，卻幾乎沒有學(xué)生能夠說清楚。長方形各邊的長度和它的面積之間存在什么關(guān)系呢？讓學(xué)生先用擺的方法計(jì)算長方形的面積，再通過猜測——驗(yàn)證擺在長方形里面的1平方厘米小正方形的數(shù)量與邊長的關(guān)系，可讓學(xué)生經(jīng)歷長方形面積計(jì)算方法由擺到量的整個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生從“方形度量”順利過渡到“先量后算”，進(jìn)而體會(huì)“用尺測量長度再計(jì)算面積”的緣由和優(yōu)越性。

思考一：長方形各邊的長度與其面積之間存在什么關(guān)系？

教師如何設(shè)計(jì)課堂教學(xué)內(nèi)容，才能使學(xué)生不是死記硬背公式，而是理解并內(nèi)化公式呢？根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在于“為什么分別測出長和寬的長度，就能求得面積”。長方形面積公式推導(dǎo)的一般教學(xué)流程是先用相同數(shù)量的小方形擺成不同的長方形，然后提煉面積公式。其依據(jù)是長方形的面積可以用單位面積去度量，不足之處在于難以讓學(xué)生的思維從“用面積度量面積”向“用度量長度計(jì)算面積”過渡。因此，在設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)，我讓學(xué)生先用擺小方形的方法計(jì)算長方形的面積，再猜測并驗(yàn)證擺在長方形里面的1平方厘米的小正方形的數(shù)量與長方形邊長的關(guān)系，使學(xué)生順利溝通“用面積度量面積”與“用度量長度計(jì)算面積”之間的聯(lián)系，認(rèn)識到利用邊長計(jì)算長方形面積的理論依據(jù)和可操作性。

思考二：如何從厘米過渡到平方厘米？

學(xué)生對于乘法的認(rèn)識是“幾個(gè)幾的和”。以長為6厘米，寬為3厘米的長方形為例，基于乘法學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生計(jì)算它的面積時(shí)得到的結(jié)果往往是6×3=18（厘米）。對此，教師可讓學(xué)生在長方形中擺1平方厘米的小正方形，然后計(jì)算一共能擺多少個(gè)小正方形。每行有6個(gè)面積為1平方厘米的小正方形，共3行，長方形的面積等于小正方形面積的總和。由此，學(xué)生就能直觀地認(rèn)識到長方形面積的單位也應(yīng)該是平方厘米。這樣教學(xué)，學(xué)生順利突破厘米與平方厘米之間的障礙，學(xué)習(xí)水平逐漸提高。

【教學(xué)目標(biāo)】

1. 知識目標(biāo)：學(xué)生能通過“擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算”，自主探究和發(fā)現(xiàn)長方形以及正方形面積的計(jì)算方法，經(jīng)歷面積公式的推導(dǎo)過程，能正確計(jì)算長方形和正方形的面積。

2.能力目標(biāo)：通過分析圖形之間的關(guān)系，促進(jìn)空間觀念進(jìn)一步發(fā)展。

3.情感目標(biāo)：通過探索數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、觀察和比較，推導(dǎo)長方形和正方形的面積公式。

2. 理解長方形和正方形面積公式的推導(dǎo)過程。

【教學(xué)過程】

一、喚醒舊知

1.復(fù)習(xí)面積概念：出示數(shù)學(xué)課本以及三角形圖形，讓學(xué)生分別指出它們的面積。

2.復(fù)習(xí)常用的面積單位：1平方厘米、1平方分米、1平方米。

3.揭示課題：這節(jié)課我們將深入學(xué)習(xí)面積的有關(guān)知識。

[設(shè)計(jì)意圖：面積的計(jì)算建立在數(shù)方格的基礎(chǔ)上，復(fù)習(xí)舊知，可為新知的學(xué)習(xí)做充分的鋪墊。]

二、探究新知

1.長方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)

（1）猜一猜

師：這個(gè)信封里裝著一個(gè)面積是4平方厘米的圖形，猜猜它是什么形狀的？

（2）拼一拼

讓學(xué)生利用6個(gè)1平方厘米的小正方形拼成不同的長方形，然后匯報(bào)所拼成的長方形每行擺了幾個(gè)小正方形，擺了多少行。

（3）估一估

①自由估一估任意一個(gè)長方形的面積。

②在所估的長方形里擺面積為1平方厘米的小正方形進(jìn)行驗(yàn)證。

③讓估得比較準(zhǔn)確的學(xué)生說一說是怎樣估的，并讓他把想法展示出來。

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生嘗試對長方形的面積進(jìn)行估測，“導(dǎo)”中帶估，以“估”帶練，在練習(xí)中體驗(yàn)估算的方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。]

（4）小結(jié)

師：用擺小正方形的方法計(jì)算，則長方形面積=每行的小正方形數(shù)量×行數(shù)，面積單位與小正方形的一致。

（5）制造認(rèn)知沖突

師：如果要測量黑板的大小，我們也要用擺小正方形的方法來計(jì)算嗎？有沒有更簡便的方法呢？

（6）探究長方形各邊長度與其面積之間的關(guān)系

師：尺子只能測量長方形各邊的長度，不能直接量出它的面積。長方形各邊的長度和它的面積之間有什么關(guān)系呢？我們一起來研究研究。

師：面積是1平方厘米的小正方形的邊長是1厘米，沿著長方形的長邊擺6個(gè)小正方形，沿著寬邊擺恰好能擺3個(gè)小正方形。從中你能知道什么？用尺子進(jìn)行測量，驗(yàn)證一下吧。

生：沿長邊能擺6個(gè)小正方形，說明長方形的長是6厘米；沿寬邊擺能3個(gè)小正方形，說明長方形的寬是3厘米。因此，擺這個(gè)長方形一共要6×3=18（個(gè)）小正方形。

師：那么長方形的面積還可以怎么算？

長方形的面積=每行的6個(gè)×3行=18個(gè)1平方厘米

長：6厘米 寬：3厘米

師：也就是說，長方形的面積=長×寬=6厘米×3厘米。這個(gè)式子的結(jié)果的單位是什么？

生：厘米。

師：你確定嗎？剛才我們用每行的6個(gè)乘以3行，等于18個(gè)1平方厘米，即6厘米×3厘米=18平方厘米。

① 練習(xí)

根據(jù)長方形的長和寬上所擺的小正方形個(gè)數(shù)，練習(xí)推導(dǎo)長方形的長和寬的長度。

② 感知測量的簡潔

師：現(xiàn)在我們要測量這個(gè)長方形的面積，你想沿著它的長和寬擺小正方形，還是分別測量它的長和寬的長度呢？

生：測量長和寬的長度。

師：為什么量出長和寬的長度就可以計(jì)算它的面積呢？

生：能擺多少個(gè)小正方形邊長就是多少厘米，反過來，根據(jù)長邊的長度可以知道每行能擺多少個(gè)小正方形，根據(jù)寬邊的長度就可以知道要擺多少行。

（7）總結(jié)用測量的方法計(jì)算長方形面積的方法

先在長方形中擺小正方形，數(shù)出每行的小正方形個(gè)數(shù)和小正方形的行數(shù)，然后用尺子測出長方形的長和寬。根據(jù)長和寬與每行的小正方形個(gè)數(shù)和小正方形行數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，得出：長方形面積=長×寬。

（8）對比優(yōu)化

師：計(jì)算長方形面積的方法現(xiàn)在有“擺”和“量”這兩種，你更喜歡哪一種？為什么？

[設(shè)計(jì)意圖：開展“擺一擺”的探索活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷通過實(shí)驗(yàn)研究建立數(shù)學(xué)模型的思維抽象過程，并通過測量、操作、觀察、比較，總結(jié)規(guī)律，揭示長方形面積與其長和寬的關(guān)系，從而推導(dǎo)長方形面積的計(jì)算公式，并通過類比推理得出正方形的面積公式。這有利于學(xué)生建立長方形、正方形面積公式的表象。通過計(jì)算長方形的面積，進(jìn)一步體驗(yàn)利用長和寬計(jì)算長方形面積的優(yōu)越性。]

2.正方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)

（1）嘗試計(jì)算正方形的面積。

（2）長方形與正方形之間存在什么關(guān)系？

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長方形和正方形之間的關(guān)系，即正方形是長和寬相等的長方形，將長方形的面積計(jì)算公式遷移到正方形中，推導(dǎo)出正方形的面積計(jì)算公式=邊長×邊長，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力和空間觀念。]

三、課堂總結(jié)，解決實(shí)際問題

1.這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些圖形面積的計(jì)算？

2.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

3.運(yùn)用今天學(xué)到的知識解決生活中的實(shí)際問題。

（1）獨(dú)立完成

（2）展示，評價(jià)

[設(shè)計(jì)意圖：帶領(lǐng)學(xué)生回顧整節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，梳理知識脈絡(luò)，使之全面把握并鞏固面積公式的推導(dǎo)過程：擺小正方形——量長方形的長和寬的長度——發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成方法——解決實(shí)際問題。]

【反思】

學(xué)生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)、量一量、算一算等自主探究活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)長方形面積與其長和寬的關(guān)系，從而推導(dǎo)并掌握長方形面積的計(jì)算公式，并通過類比推理得出正方形的面積公式。這樣教學(xué)，有助于學(xué)生建立長方形、正方形的面積公式的表象。同時(shí)，結(jié)合學(xué)生熟悉的物體引導(dǎo)學(xué)生嘗試對長方形的面積進(jìn)行估測，“導(dǎo)”中帶估，以“估”帶練，在練習(xí)中體驗(yàn)估算的方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。在自主探究獲得長方形、正方形面積的計(jì)算公式后設(shè)計(jì)應(yīng)用性練習(xí)，如計(jì)算學(xué)校操場的面積和計(jì)算花壇的占地面積等，能有效引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的知識應(yīng)用于實(shí)際生活，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值與意義所在。通過實(shí)際問題的解決，學(xué)生將獲得的理論知識轉(zhuǎn)化為實(shí)踐操作能力，既豐富了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，又提高了學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，教學(xué)質(zhì)量顯著提高。

（責(zé)編 吳美玲）