姜祎，王亞珍，趙坤，蘇達(dá)士

（1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072；2.寧波慈興軸承有限公司，浙江 寧波 315301）

諧波減速器因體積小、質(zhì)量輕、回差小、定位精度高、傳動(dòng)效率高，在工業(yè)機(jī)器人、高檔轎車、航空航天、光學(xué)儀器、通用機(jī)械等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。而柔性軸承作為諧波減速器的關(guān)鍵零部件，對(duì)諧波減速器的運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性、重復(fù)定位精度、回轉(zhuǎn)精度以及工作的可靠性等關(guān)鍵性能指標(biāo)具有重要影響。

目前對(duì)于諧波減速器中柔輪研究較多，而對(duì)柔性軸承的研究較少。文獻(xiàn)［1-3］分別對(duì)薄壁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、剛度、精度、摩擦力矩、預(yù)緊和應(yīng)用等進(jìn)行探討，定性分析了薄壁軸承設(shè)計(jì)要考慮的問(wèn)題和軸系支承剛度對(duì)軸承變形的影響；文獻(xiàn)［4-5］分別對(duì)薄壁軸承的類型、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、主參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)等進(jìn)行了研究，討論了目標(biāo)函數(shù)的選取、約束條件的確定及關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等；文獻(xiàn)［6］在ANSYS Workbench中建立了1／4模型的柔性軸承的參數(shù)化模型，對(duì)不同溝曲率半徑系數(shù)的柔性軸承進(jìn)行了靜力學(xué)分析，得到了不同參數(shù)的柔性軸承內(nèi)外圈的變形、應(yīng)力的分布規(guī)律；文獻(xiàn)［7-8］介紹了柔性軸承的類型、性能要求和應(yīng)用；文獻(xiàn)［9-10］分別對(duì)薄壁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、剛度、精度、摩擦力矩、游隙和預(yù)緊、安裝配合、保持架和表面處理等設(shè)計(jì)要點(diǎn)進(jìn)行了闡述；文獻(xiàn)［11-12］利用有限元法分析了施加長(zhǎng)軸區(qū)的對(duì)稱徑向載荷情況下的柔性軸承的變形和應(yīng)力。

上述研究均未考慮軸承安裝時(shí)的預(yù)應(yīng)力，鑒于此，根據(jù)柔輪的實(shí)際受載推導(dǎo)出柔性軸承的外部受載，從而得到更符合實(shí)際的載荷邊界條件。在此基礎(chǔ)上建立柔性軸承整體多體接觸有限元模型，在充分考慮柔性軸承內(nèi)外圈的裝配預(yù)變形和預(yù)應(yīng)力的情況下，分析柔性薄壁軸承的載荷特性對(duì)其應(yīng)力、變形和載荷分布的影響。

1 柔性軸承接觸分析

通過(guò)Hertz接觸理論可計(jì)算2個(gè)彈性體的接觸應(yīng)力，但該理論假定表面無(wú)摩擦，且未考慮內(nèi)外圈的預(yù)應(yīng)力和預(yù)變形。有限元法能夠避免Hertz接觸理論的不足［13］，接觸在有限元分析中屬于邊界非線性問(wèn)題，一般采用試探-校核的迭代方法進(jìn)行求解。

柔性軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示，當(dāng)軸承裝配到波發(fā)生器凸輪軸時(shí)，內(nèi)圈在長(zhǎng)軸附近區(qū)域過(guò)盈配合，而在短軸附近區(qū)域間隙配合，裝配后柔性軸承隨凸輪的輪廓形狀產(chǎn)生強(qiáng)制變形，內(nèi)外圈也會(huì)產(chǎn)生彈性變形。ANSYS接觸算法中通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)探測(cè)，由于柔性軸承接觸變形是一個(gè)動(dòng)態(tài)接觸過(guò)程，節(jié)點(diǎn)位置不斷變化，導(dǎo)致計(jì)算收斂困難。而接觸本身為高度非線性行為，接觸區(qū)域的網(wǎng)格粗細(xì)和接觸剛度的設(shè)置對(duì)接觸應(yīng)力影響很大。六面體網(wǎng)格在相同網(wǎng)格尺寸的情況下可得到更為精確的解。接觸剛度的設(shè)置對(duì)接觸分析的收斂性和精度十分重要。即使結(jié)果收斂，倘若接觸法向剛度設(shè)置過(guò)小，導(dǎo)致滲透過(guò)大，計(jì)算結(jié)果也沒(méi)有參考價(jià)值。故研究柔性軸承的多體接觸問(wèn)題，需確定合理的網(wǎng)格劃分模型及邊界條件。

圖1 柔性軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of flexible bearing

2 柔性軸承載荷分析

由諧波減速器工作原理［14］可知，柔性軸承受載與柔輪相關(guān)，載荷復(fù)雜。剛輪與柔輪在長(zhǎng)軸區(qū)域內(nèi)為多齒嚙合，近似對(duì)稱分布。諧波減速器中的載荷傳遞主要有剛輪與柔輪之間的嚙合力、柔輪與柔性軸承之間的徑向反力。剛輪作用在柔輪上的嚙合力不僅與傳遞的扭矩有關(guān)，還與輪齒嚙合區(qū)域面積有關(guān)，嚙合力分布由試驗(yàn)得到［15-16］，柔輪上的載荷分布如圖2所示。

根據(jù)試驗(yàn)，近似認(rèn)為φ2＝φ3，在φ2所在區(qū)域，柔輪與剛輪之間的嚙合力為

在φ3所在區(qū)域，柔輪與剛輪之間的嚙合力為

式中：qt，qr分別為剛輪與柔輪之間嚙合力的周向分量和徑向分量；φ為載荷與對(duì)稱軸AA′的夾角；φ1為對(duì)稱軸BB′相對(duì)于波發(fā)生器長(zhǎng)軸位置AA′的角度；φ2，φ3為嚙合區(qū)的左、右角度；dg為柔輪輪齒分度圓直徑；bR為柔輪輪齒齒寬；α為柔輪輪齒嚙合角。

柔輪承受的力矩T和qtmax的關(guān)系為

為求柔輪與波發(fā)生器之間的反力，由薄壁圓環(huán)理論可知，切向載荷引起環(huán)的形狀的變化與某個(gè)徑向載荷引起環(huán)的形狀變化一致，徑向載荷等于切向載荷的積分，周向載荷qt的作用相當(dāng)于當(dāng)量徑向載荷qrt的作用，即

將（1）式中qt以Fourier級(jí)數(shù)形式表示，即

常量qt0與輸出軸的扭矩T2平衡，則

外圈所受總載荷為當(dāng)量徑向載荷qrt和徑向載荷qr之和，即

將諧波減速器的幾何參數(shù)和輸入軸、輸出軸所受扭矩代入（7）式，可求得柔性軸承外圈的實(shí)際受載。

為分析實(shí)際受載對(duì)有限元分析的影響，選用圖3a所示偏載載荷加載，qr＝4cos［πφφ4）／φ5］；并與圖 3b所示的正載情況對(duì)比，qr＝4cos（πφ／φ5）。其中φ4＝15°，φ5＝120°。

圖3 有限元模型加載示意圖Fig.3 The load of FEM model

3 柔性軸承整體模型

由于球數(shù)為奇數(shù)，且載荷邊界條件特殊，需建立整體模型計(jì)算。

3.1 建立幾何模型及網(wǎng)格劃分

利用ANSYS Workbench中的Design Modeler建立參數(shù)化柔性軸承模型，整個(gè)模型包含26個(gè)零件。主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1，凸輪軸材料為45＃鋼，內(nèi)、外圈材料為ZGCr15，球材料為GCr15，其材料參數(shù)見(jiàn)表2。

表1 主要結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Main structural parameter

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameter

對(duì)柔性軸承內(nèi)外圈及球進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，選擇ANSYS軟件中可以模擬大變形的實(shí)體單元，為得到較好的網(wǎng)格質(zhì)量，將整個(gè)模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解為規(guī)則的幾何體，運(yùn)用掃略法和映射法實(shí)現(xiàn)對(duì)整體模型的網(wǎng)格劃分，有限元模型的網(wǎng)格全部為20節(jié)點(diǎn)的Solid186六面體單元。模型中存在球和內(nèi)外圈的接觸問(wèn)題，為提高計(jì)算精度同時(shí)保證計(jì)算效率，對(duì)接觸區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化。為得到合理的網(wǎng)格數(shù)量，分別在粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格下進(jìn)行了多組計(jì)算，經(jīng)反復(fù)調(diào)試，最佳網(wǎng)格數(shù)量為390 059，網(wǎng)格劃分如圖4所示。

圖4 網(wǎng)格劃分Fig.4 The meshing

3.2 接觸定義

模型有23個(gè)球，設(shè)置47個(gè)接觸對(duì)。設(shè)置波發(fā)生器和內(nèi)圈之間接觸類型為非對(duì)稱剛?cè)峤佑|，選擇波發(fā)生器橢圓柱面為目標(biāo)面，內(nèi)圈內(nèi)表面為接觸面。套圈壁厚薄、剛度小，內(nèi)外圈與球46個(gè)接觸對(duì)中，設(shè)置溝道面為接觸面，球面為目標(biāo)面，這樣收斂較快。接觸計(jì)算中，增廣Lagrange算法需要進(jìn)行多次迭代計(jì)算，得到的接觸應(yīng)力比罰函數(shù)精確。為選取合理的法向接觸剛度，經(jīng)反復(fù)測(cè)試，球與內(nèi)外圈之間的接觸法向剛度設(shè)置為0.05，而內(nèi)圈與波發(fā)生器接觸法向剛度設(shè)置為0.1，能在保證收斂的情況下使?jié)B透值較小，最大接觸滲透值為0.001 952 mm。

3.3 邊界條件

3.3.1 約束邊界條件

為模擬保持架對(duì)球的約束，在柱坐標(biāo)系下約束球與內(nèi)外圈接觸點(diǎn)連線上所有節(jié)點(diǎn)的周向自由度，約束內(nèi)外圈側(cè)面的法向自由度，同時(shí)對(duì)凸輪軸施加固定約束。

3.3.2 載荷邊界條件

通過(guò)圖3所示加載方式分析偏載對(duì)柔性軸承載荷分布的影響。

3.4 結(jié)果分析

3.4.1 變形和應(yīng)力

柔性軸承安裝在凸輪上之后，隨著余弦凸輪的輪廓線而產(chǎn)生強(qiáng)制變形，柔性軸承在空載情況極坐標(biāo)下的變形云圖和等效應(yīng)力云圖分別如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可以看出，柔性軸承在空載情況下，內(nèi)外圈也存在較大的預(yù)變形和預(yù)應(yīng)力，最大變形產(chǎn)生在長(zhǎng)軸處，最大等效應(yīng)力發(fā)生在外圈長(zhǎng)軸處的外端面上，為476.6 MPa。

圖5 空載情況下的變形云圖Fig.5 The deformation in the case of no-load

圖6 空載情況下的應(yīng)力云圖Fig.6 The stress distribution in the case of no-load

加載后柔性軸承的等效應(yīng)力云圖和接觸應(yīng)力云圖分別如圖7和圖8所示，最大等效應(yīng)力發(fā)生在外圈長(zhǎng)軸處球與外圈的接觸點(diǎn)，為759.0 MPa，最大接觸應(yīng)力也發(fā)生在外圈長(zhǎng)軸處球與外圈接觸點(diǎn)位置，最大值為208.8 MPa。

圖7 加載情況下的應(yīng)力云圖Fig.7 The stress distribution in the case of loading

圖8 加載情況的接觸應(yīng)力云圖Fig.8 The contact stress in the case of loading

內(nèi)圈上半部分的變形如圖9所示（角度位置確定如圖3a所示），內(nèi)圈在長(zhǎng)短軸處的徑向變形最大，而在近45°處為0。內(nèi)圈在長(zhǎng)、短軸處的周向變形為0，而在近45°處為最大值，符合薄壁圓環(huán)理論，外圈與內(nèi)圈變形規(guī)律相同。

圖9 內(nèi)圈上半部分的變形曲線Fig.9 The deformation curve of the upper part of the inner ring

以軸承內(nèi)、外圈上半部分溝道處接觸線為路徑，兩路徑上的應(yīng)力曲線如圖10所示，由圖10可知，上半圈周向應(yīng)力和等效應(yīng)力出現(xiàn)7個(gè)峰值，表明上半圈中實(shí)際承載的球數(shù)為7。由于內(nèi)、外圈沿波發(fā)生器橢圓凸輪變形后應(yīng)力呈正弦或余弦曲線分布，周向應(yīng)力總體上呈三角函數(shù)曲線。而由于球與內(nèi)外圈之間接觸，在接觸點(diǎn)位置存在應(yīng)力峰值，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力突變。等效應(yīng)力的大小和趨勢(shì)主要取決于周向應(yīng)力，徑向應(yīng)力相對(duì)周向應(yīng)力很小。

圖10 溝道應(yīng)力圖Fig.10 Raceway stress

3.4.2 載荷分布

利用ANSYS提取球與溝道的接觸載荷，經(jīng)計(jì)算各球所受的法向載荷如圖11所示。由圖11可知，上半圈承載球個(gè)數(shù)為7，下半圈承載球個(gè)數(shù)為6。

圖11 載荷分布圖Fig.11 Load distribution

正載作用下載荷對(duì)稱分布，而偏載作用下載荷非對(duì)稱分布，在偏載作用下的各球的法向反力比正載作用下小。

4 結(jié)論

綜合分析柔性軸承受載、預(yù)應(yīng)力及預(yù)變形，基于ANSYS Workbench接觸仿真分析，得出如下結(jié)論：

1）柔性軸承內(nèi)外圈的變形主要取決于波發(fā)生器凸輪的輪廓線，內(nèi)外圈最大應(yīng)變?cè)陂L(zhǎng)軸處。在充分考慮柔性薄壁軸承的預(yù)應(yīng)力和預(yù)變形后的實(shí)際受載情況下，內(nèi)外圈溝道處的等效應(yīng)力主要取決于其受到的周向應(yīng)力。在徑向?qū)ΨQ載荷作用下，等效應(yīng)力的最大值在長(zhǎng)軸處球與內(nèi)外圈的接觸點(diǎn)上。

2）23個(gè)球中實(shí)際承載球個(gè)數(shù)為13，且載荷分布受外載形式的影響，在偏載情況下載荷為非對(duì)稱形式。