安徽省合肥市南門小學(xué)上城國際分校 (郵編：230000)

Euler不等式又一個隔離

安徽省合肥市南門小學(xué)上城國際分校陳亞平(郵編：230000)

三角形的Euler不等式R≥2r是平面幾何中非常重要而且形式優(yōu)美的不等式．有關(guān)Euler不等式的加強和推廣已有大量文獻進行了研究，可參看[1,2]．本文分別利用三角形和四面體的中線給出了Euler不等式新的隔離．

定理1設(shè)△ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，m1、m2、m3分別為三邊上的中線，則有

(1)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)△ABC是等邊三角形．

定理2設(shè)四面體A1A2A3A4的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R、r，m1、m2、m3、m4分別為過頂點A1、A2、A3、A4的中線(頂點與對面重心的連線)，則有

(2)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)四面體A1A2A3A4是正四面體．

引理1[1]n維單形A1A2…An+1的外接球和內(nèi)切球的半徑以及體積分別為R、r、V，mi是過頂點Ai的中線(頂點與對面重心的連線)(i=1,2,…,n+1)，aij=|AiAj|(1≤i,j≤n+1)為棱長，則

(3)

(4)

(5)

(6)

引理2n維單形A1A2…An+1的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R、r，mi是過定點Ai的中線(i=1,2,…,n+1)，aij=|AiAj|(1≤i,j≤n+1)為棱長，則

(7)

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)是正則單形．

證明由引理1中的不等式(3)、(4)、(5)、(6)，可得

定理1和定理2的證明：在(7)中，取n=2和n=3，即得(1)和(2)式．

1 沈文選．單形論導(dǎo)引[M] ．長沙：湖南師范大學(xué)出版社，2000

2WangWen,YangShi-guo．GeneralizationsofEulerinequalityinn-dimensionalEuclideanspace[J]．China.Quart.J.ofMath.27(2):218-223(2012)

2017-03-26)