安徽省繁昌縣第一中學(xué) (郵編：241200)

一類高考試題的轉(zhuǎn)化和拓展

安徽省繁昌縣第一中學(xué)鮑健(郵編：241200)

在高中數(shù)學(xué)中，錯(cuò)位相減法是用來推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，是數(shù)列求和的重要方法之一，也是高考考查的重點(diǎn)方法.

1 提出問題，引發(fā)思考

筆者研究近幾年各省市的高考數(shù)列解答題發(fā)現(xiàn)，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題出現(xiàn)頻率非常高.從下面所列舉的部分高考試題，我們發(fā)現(xiàn)這些高考數(shù)列解答題第一問都是考查等差、等比這兩種特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問都是考查由等差等比對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積構(gòu)造新數(shù)列的前n項(xiàng)和.

是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1．

所以a1=11，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=3n2+8n-3(n-1)2-8(n-1)=6n+5，

又an=6n+5對(duì)n=1也成立，所以an=6n+5．

當(dāng)n=1時(shí)，2b1=11-d；當(dāng)n=2時(shí)，2b2=17-d，

則Tn=6·22+9·23+…+(3n+3)·2n+1.

兩邊同乘以2，得：2Tn=6·23+9·24+…+(3n)·2n+1+(3n+3)·2n+2，

故Tn=-12+3·22(1-2n)+(3n+3)·2n+2=3n·2n+2．

(Ⅰ)求數(shù)列

的通項(xiàng)公式；

2Sn=3n+3．

2 探究問題，提煉結(jié)論

設(shè)an=dn+a0，bn=b1qn-1，(n∈N*)則：

=(d+a0)b1+(2d+a0)b1q+(3d+a0)b1q2+…+(nd+a0)b1qn-1，

①

②

綜上所述，Sn=

3 轉(zhuǎn)化問題，殊途同歸

對(duì)于①式我們有

③

④

4 拓展問題，發(fā)現(xiàn)新知

⑤

由于⑤式中的各項(xiàng)均能求和，且此時(shí)不需要用錯(cuò)位相減法，所以這里就不過多贅述，即得：

當(dāng)q≠1時(shí)，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：

考慮

當(dāng)n的最高次數(shù)m=1時(shí)，此時(shí)即為結(jié)論1，命題成立.

假設(shè)當(dāng)m=p(p∈N*)時(shí)命題成立，則當(dāng)m=p+1時(shí)，

⑥

⑦

).

則由⑥-⑦得：

⑧

在⑧式第3項(xiàng)中i(i=1，2，…，n)的最高次數(shù)m=p，由假設(shè)知，當(dāng)m=p時(shí)可以用錯(cuò)位相減法求和，故m=p+1時(shí)結(jié)論也成立.

綜上所述，由數(shù)學(xué)歸納法可得拓展結(jié)論成立.

2017-04-08)