江蘇省常熟市中學(xué) (郵編：215500)

解題方法

2017年上海市春季高考數(shù)學(xué)壓軸題的另解

江蘇省常熟市中學(xué)查正開(郵編：215500)

2017年上海春季高考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題是一道起點(diǎn)低，坡度緩，層次分明，區(qū)分度高，選拔壓軸功能極佳的優(yōu)秀創(chuàng)新試題，值得加以研究品味.

(1)解方程f(x)=1；

(2)設(shè)x∈(-1,1)，a∈(1,+)，證明：∈(-1,1)，且f()-f(x)=-f()；

本題融合了函數(shù)、方程、數(shù)列與不等式等高中數(shù)學(xué)的主干知識，重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)計(jì)算、邏輯論證、構(gòu)造轉(zhuǎn)化與分析推理等能力，尤其是在處理第(3)問時(shí)考生將面臨極大的挑戰(zhàn)，完成解答會有較大的困難.先看命題組給出的參考答案：

(2)由條件x∈(-1,1)，a∈(1,+)得

(3)由(2)，令a=3，則

①

是奇函數(shù).

=1

②

所以x2k+2=-x2k，由f(x2k)-f(x2k-1)=-1，得x2k

命題組的標(biāo)準(zhǔn)答案是借助問題(2)所證明的結(jié)論并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性和函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)與數(shù)列的特征根等知識來完成解答的，其解題技巧性強(qiáng)，對學(xué)生的知識儲備、解題技能和思維能力均提出了相當(dāng)高的要求，學(xué)生難以理解與掌握.下面筆者將給出問題(3)的另解，供參考.因問題(1)(2)較為簡單，這里從略.

問題(3)的另解：

因此，可得

=x2n-1，即x2n+2=-x2n，x2n+3=x2n-1.

令x1=m∈(-1,1)，則

所以，原數(shù)列滿足以下特征：

x1=x5=x9=…=x4n-3=m；

故要使x3≥xn對任意n∈N*恒成立當(dāng)且僅當(dāng)

根據(jù)遞推關(guān)系得到數(shù)列的周期特征，從而將問題轉(zhuǎn)化為簡單的解不等式.這樣處理學(xué)生應(yīng)該比較容易理解與掌握.另外，值得指出的是本題無需利用題目中的函數(shù)條件可獨(dú)立成題.

2017-04-14)