安徽省合肥市第二中學(xué) (郵編：230061)

少點(diǎn)套路 讓解題自然一點(diǎn)
——記一節(jié)高三學(xué)生作業(yè)評講課

安徽省合肥市第二中學(xué)余其華(郵編：230061)

1 學(xué)生作業(yè)題實(shí)錄

(1)求a,b；(2)求證：f(x)>1.

學(xué)生解答4(1)略；

(2)要證f(x)>1，只要證f(x)min>1.

然后，就無法進(jìn)行下去了.

題2 (2014陜西卷改編)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1),g(x)=xf′(x),若f(x)≥ag(x)對任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.學(xué)生解答當(dāng)x=0時，a∈R，只需研究f(x)≥ag(x)對任意x>0恒成立.

但由于F(x)在(0,+)上無法求出最小值(事實(shí)上F(x)在(0,+)上無最小值)，于是不知所措，只得到此止步了.

2 錯解分析與正解

2.1 題1的解法分析

題1的解法之所以難以完成是因為f(x)的導(dǎo)數(shù)不能判斷符號進(jìn)而無法求出其最值，事實(shí)上f(x)在(-,+)也無最小值.當(dāng)我們遇到這種情況時應(yīng)冷靜分析不等式的結(jié)構(gòu)，從重組、優(yōu)化目標(biāo)式等方向?qū)で笸黄?

這樣，目標(biāo)式的左右兩邊可分別構(gòu)造兩個相對簡單的函數(shù)

分別求導(dǎo)，可得

從而原不等式成立.

2.2 題2解法分析

題2學(xué)生使用了分離變量法，這是處理恒成立問題的一種常用方法(滿滿的都是套路)，但在現(xiàn)階段學(xué)生對函數(shù)極限知之甚少的情況下，該法不能操作下去.事實(shí)上，面對f(x)≥ag(x)對任意x≥0恒成立，分離并不是唯一選擇.

F′(x)=ln(1+x)-(a-1),

注意到x≥0時,ln(1+x)+1≥1,于是

(2)當(dāng)a>1時，由F′(x)=0,解得x=ea-1-1,F(x)在(0,ea-1-1)單調(diào)遞減，在(ea-1-1,+)單調(diào)遞增.所以在區(qū)間(0,ea-1-1)內(nèi)一定存在一個實(shí)數(shù)x0，使得F(x0)

綜上，a≤1即為所求.

以上兩題的解題實(shí)踐表明，在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題總結(jié)時不宜將個別題目的方法上升為放之四海而皆準(zhǔn)的金科玉律，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把更多的精力放在分析條件的合理轉(zhuǎn)化上，方法依題而變，因題施策，避免落入套路的陷阱中.

3 作業(yè)跟蹤指導(dǎo)

生1：原不等式等價于

面對上式，無法突破.思考約1分鐘，一學(xué)生自覺地重新審視構(gòu)造的函數(shù)，并做改進(jìn)如下：

生2：原不等式等價于

所以g(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，g(x)≥g(1)=1;

從而g(x)>h(x)對于任意的x∈[1,2]恒成立.

故原不等式成立.

以上所展現(xiàn)的學(xué)生利用熟知的結(jié)論解題受阻的情況，在一線教師的課堂上、批改的作業(yè)本上幾乎每天都在上演.究其根源，學(xué)生過于迷戀現(xiàn)成的結(jié)論，把以往解題總結(jié)的規(guī)律生硬地照搬到不適宜的情境中.我們知道學(xué)生的解題行為往往折射出教師的教學(xué)行為.當(dāng)前教學(xué)改革從關(guān)注三維目標(biāo)到追求學(xué)科核心素養(yǎng),在此背景下指導(dǎo)學(xué)生選擇自然的、樸素的解題路徑，少一些套路式的總結(jié)，多一些個性化的分析，應(yīng)成為一線老師重塑教學(xué)形態(tài)、重建學(xué)習(xí)方式的必然追求.

2017-03-25)