安徽省合肥市第一中學(xué) (郵編：230601)合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系 (郵編：230601)

教學(xué)參考

對《向量的幾何表示》教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計的思考

安徽省合肥市第一中學(xué)劉娟吳建平(郵編：230601)合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系王磊(郵編：230601)

數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐中，具有十分重要的作用.在新課標的三個維度中，明確地寫入了過程與方法，把學(xué)生是否參與概念的形成過程，作為考量概念教學(xué)是否符合新課程理念的重要因素.在《平面向量的實際背景及基本概念》的教案中，對向量的幾何表示的教學(xué)過程進行精心設(shè)計，從實數(shù)的表示到“帶箭頭的線段”表示力，從線段到有向線段，再到向量，重點突出向量的圖形語言與符號語言的推演過程，緊扣學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，學(xué)生有效地內(nèi)化概念的形成過程，以期“水到渠成”地理解概念.

向量;幾何表示;教學(xué)環(huán)節(jié);設(shè)計

2016年筆者在全國第八屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評比暨觀摩活動中展示了指定課題《平面向量的實際背景及基本概念》的教學(xué)課例，榮獲全國一等獎并被授予“最優(yōu)秀選手”稱號.筆者在準備這一展示課的過程中對本節(jié)課的各個教學(xué)環(huán)節(jié)都進行了細致的思考，“平面向量”是高中數(shù)學(xué)中典型的“新對象”，既是幾何研究對象，也是代數(shù)研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁；向量理論是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具.在教學(xué)過程中深刻感覺到“向量的幾何表示”這一教學(xué)環(huán)節(jié)在本節(jié)課的教學(xué)與教學(xué)設(shè)計中占據(jù)主導(dǎo)地位，是教學(xué)的重點和難點.筆者對這一教學(xué)環(huán)節(jié)有一些新的理解，下文將呈現(xiàn)這一內(nèi)容與大家分享.

1 引言

學(xué)生剛剛接觸向量概念，對向量知之甚少，僅僅停留在“既有大小，又有方向的量叫做向量”的文字定義上，學(xué)生看不見摸不著，比較空洞，也很茫然. 向量的幾何表示就是用“帶箭頭的線段”來表示向量，“帶箭頭的線段”是看得見摸得著的幾何圖形，用它來表示向量，就是向量的幾何表示，是將“空洞”的向量概念圖形化、形象化、具體化，讓看不見摸不著的向量，用看得見摸得著的“帶箭頭的線段”來表示，一方面幫助學(xué)生理解向量概念，另一方面也能為用向量方法解決幾何問題創(chuàng)造條件，因此，向量的幾何表示對于幫助學(xué)生理解向量概念、使用向量工具有著舉足輕重的作用.

學(xué)生對“向量的幾何表示”的理解和掌握程度，取決于在用“帶箭頭的線段”表示向量中的轉(zhuǎn)化過程，所以有必要將其轉(zhuǎn)化過程精心設(shè)計成讓學(xué)生逐步探究的過程，并讓學(xué)生自主探究，從自己的親身體驗中體會其轉(zhuǎn)化過程.

2 教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計與思考

探究1實數(shù)的表示.

實數(shù)a是一個數(shù)量，數(shù)軸上表示它的點是一個點A，點也是幾何圖形，實際上是用幾何圖形(數(shù)軸上的一個點)來表示實數(shù)a，數(shù)量可以這樣，那么向量呢？我們能不能也找到一種幾何圖形來表示平面向量呢？

設(shè)計意圖類比實數(shù)的點表示，尋求向量的幾何表示.探究2用“帶箭頭的線段”表示力.

用20N的拉力，豎直向上提重量為30N的物體.試在圖中畫出拉力與物體的重力，作圖時1cm表示大小為10N的力.

在學(xué)生作圖完成后，

師：作圖時1cm表示大小為10N的力，那么畫表示大小為20N的拉力的線段時，同學(xué)們畫了多長？

生：2cm.

師：用2cm長的線段表示了多大的拉力？

生：20N的拉力.

師：拉力豎直向上的方向是如何表示的？

生：用箭頭表示的.

師：這個圖形就是一條線段上帶了一個箭頭，有線段有箭頭，如果給這個圖形起一個形象點的名字，你會叫它什么？

生：就叫它“帶箭頭的線段”.

同樣的方法，引導(dǎo)學(xué)生回答如何用“帶箭頭的線段”表示垂直向下的重力G.

設(shè)計意圖用帶箭頭的線段表示力，是初中物理已學(xué)習(xí)過的內(nèi)容，是學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，將這一內(nèi)容再次進行條理化、系統(tǒng)化，是強化、固化新知的“停泊點”，讓舊知自然而然地“生長”出新知.探究3從線段到有向線段.

師: 請同學(xué)們自行畫出線段AB.

師：在線段AB上能不能確定方向，如果能的話，會有幾個方向？

生：可以確定，只能得到兩個方向.

師：這兩個方向能否借助線段AB的端點A點和B點，用文字語言敘述出來？

生：一個方向是從A點指向B點，另一個方向是從B點指向A點.

師：當方向是從A點指向B點時，點A叫起點，B點叫終點.

師：又能否用圖示的方法把從A點指向B點的方向表示出來呢？

生：可以在終點B處畫上箭頭表示它的方向.

至此，我們完成讓線段帶上了方向，我們把帶有方向的線段叫做有向線段.

師：以點A為起點,點B為終點的有向線段的圖形我們畫出來了，類比線段的記法，又如何用符號來表示它呢？

先引導(dǎo)學(xué)生回憶線段的記法，以點A、點B為端點的線段，既可以記作線段AB，也可以記作線段BA，線段AB與線段BA表示同一條線段，在表示有向線段時，就要解決好如何表達它的方向問題.

師：聯(lián)系到前面我們是如何在圖形上，讓線段帶上方向的，有沒有辦法在表示有向線段時，也讓它帶上方向？

生：把起點寫在終點的前面，用箭頭連接起點和終點.

生：不一樣.

師：有什么不一樣？不一樣中有一樣嗎？

生：方向不一樣，它們的長度是一樣的.

師：當一個有向線段的起點A與終點B都確定時，想一想這個有向線段是否唯一確定？確定一個有向線段的要素有幾個？

生：能確定.

關(guān)于確定有向線段的要素，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見，通過討論，學(xué)生認為要素有:起點與終點、大小、方向等……

組織活動讓學(xué)生自己動手在紙上先確定一個點，作為要畫的有向線段的起點，再給定要畫的有向線段的長度和方向，你能否畫出這個有向線段？此時畫出的有向線段是否是唯一的？有向線段的終點是否也是唯一的？多嘗試幾次試試？

通過動手嘗試，雖然簡單易行，但給學(xué)生的感覺是直接的，體會是深刻的，引導(dǎo)學(xué)生體會：知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定.

師：通過上面的學(xué)習(xí)，你能總結(jié)出確定一個有向線段的條件有哪些？

在學(xué)生充分討論總結(jié)的基礎(chǔ)上，師生共同歸納如下：

(1)起點和終點；(2)起點、方向和長度；(3)終點、方向和長度.

師：與我們?nèi)粘Ｉ钪?，在回答到一個地方去時，要回答從什么地方出發(fā)(起點)、向哪里走(方向)、走多遠(長度)一樣，我們把起點、方向和長度作為有向線段的三要素.

設(shè)計意圖從線段的圖形到帶方向線段圖形，從線段的符號記法到有向線段的符號記法，再到探討有向線段的三要素，讓學(xué)生從圖形語言、符號語言以及確定一個有向線段的條件等多角度去體驗從線段到有向線段的逐步演變過程，從而認清有向線段的本質(zhì)，為用有向線段表示向量奠定基礎(chǔ).探究4從有向線段到向量.

師：現(xiàn)在我們再次回到用“帶箭頭的線段”表示力的問題，“帶箭頭的線段”就是“帶方向的線段”，也就是有向線段，力是既有大小，又有方向的量，就是向量，這里就是用有向線段表示了特殊的向量，我們自然可以想到用有向線段來表示一般的向量.

指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材，嘗試回答，我們是如何用有向線段表示向量的？

生：按一定比例(標度)畫出線段，再在終點處畫上箭頭得到有向線段，用它的長短表示向量的大小，用它的方向表示向量的大小，向量就是這樣用有向線段表示的.

思考：

(2)試分析有向線段的長度與向量的長度的區(qū)別與聯(lián)系？

答：

指導(dǎo)學(xué)生完成例1，并讓學(xué)生回答結(jié)果.

由平面內(nèi)的所有向量可以構(gòu)成一個平面內(nèi)的向量集合，和研究一般的集合一樣，我們常常要研究這個集合中特殊元素，以及它們之間的關(guān)系.

師：在實數(shù)集中有沒有特殊的元素？

生：實數(shù)0和1.

師：從向量的大小上講，有兩個特殊向量.長度為0的向量叫做零向量，記作0.長度等于1個單位向量，叫做單位向量.即|a|=0?a=0；|a|=1?a是單位向量.

從向量的方向上看，方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行時，通常記作a∥b.平行向量概念中不能少了零向量啊，根據(jù)零向量的特殊性，我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.

從向量的大小與方向兩個方面考慮，就可以引出相等向量的概念.

設(shè)計意圖從概念的結(jié)構(gòu)的特殊元素的高度去學(xué)習(xí)特殊的向量，從集合中元素間的關(guān)系的角度去認識平行向量，同時緊緊抓住向量的兩大本質(zhì)屬性(大小與方向)展開教學(xué)，突出重點，讓學(xué)生從中領(lǐng)略到向量問題的基本途徑.

3 寄語

“人教A版”的主編寄語中說：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的，如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”我們認為，這應(yīng)該成為概念教學(xué)的基本指導(dǎo)思想.在教學(xué)中，一些看似簡單的概念，教學(xué)后發(fā)現(xiàn)學(xué)生實際理解掌握得并不好，究其原因，還是我們在概念教學(xué)中，過于粗枝大葉，過于生硬地把概念塞給學(xué)生，而沒有充分發(fā)揮好學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)，去同化和構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)，本文也是基于這樣的一點思考，在教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計上進行的一次嘗試.

1 課程教材研究所 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社，2007

2 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003

3 章建躍. 概念教學(xué)必須體現(xiàn)概念的形成過程[J]. 數(shù)學(xué)通報，2010(4)

4 趙緒昌.在實踐中探究，在情境中體驗[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2010(11)

本文由安徽省大學(xué)生創(chuàng)客實驗室建設(shè)計劃項目“數(shù)據(jù)分析與仿真創(chuàng)客實驗室”(2015ckjh080)和安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計劃(201611059322，201611059338)資助.

2017-03-21)