蔡勇全

(四川省資陽市外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校,四川 資陽 641300)

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構(gòu)造對(duì)偶式 妙解六類題

蔡勇全

(四川省資陽市外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校,四川 資陽 641300)

對(duì)偶式是指形式相似并具有一定對(duì)稱關(guān)系的兩個(gè)數(shù)學(xué)式子.在數(shù)學(xué)解題過程中，如果能挖掘出題目中潛在的對(duì)稱性，合理構(gòu)造出相應(yīng)的對(duì)偶式，再結(jié)合適當(dāng)?shù)募?、減、乘等運(yùn)算，往往能使問題獲得巧妙的解決.

結(jié)構(gòu)特征；構(gòu)造；對(duì)偶式

有些數(shù)學(xué)問題，按常規(guī)思路尋求解答，常常由于繁瑣的運(yùn)算而極易出錯(cuò)，甚至思維一時(shí)受阻.這時(shí)若調(diào)整解題思路，根據(jù)題設(shè)條件或所求結(jié)論中某些式子的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想并構(gòu)造出能與之形成和與差、積與商、正與負(fù)、互為有理化因式、互為共軛因式、正弦與余弦、正切與余切、奇函數(shù)與偶函數(shù)等匹配類型的對(duì)偶式，然后將這兩個(gè)對(duì)偶式通過合理的變換與運(yùn)算，簡(jiǎn)捷高效地完成問題的解決，使陷入僵局的解答過程“撥云見日”.這樣做，不僅可以極大地減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程，起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果，而且可以較好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、奇異美、和諧美與統(tǒng)一美.本文結(jié)合實(shí)例介紹對(duì)偶式在解答幾類數(shù)學(xué)問題時(shí)的妙用，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，供大家參考.

一、三角求值

二、證明不等式或恒等式

1.證明不等式

例2 求證:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

證明 令A(yù)=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x，B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x，則A+B=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos2x)2-8sin2x·cos2x=7-2sin22x=5+2cos22x①.

A-B=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x-sin2x)=3cos2x②.

變式1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2+c2+d2≤1，求證:(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

證明 令A(yù)=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4，再令B=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)2+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4，A+B=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

又B≥0，所以A≤6，即原不等式得證.

2.證明恒等式

例3 求證:sin3α·sin3α+cos3α·cos3α=cos32α.

證明 令m=sin3α·sinα·sin2α+cos3α·cosα·cos2α，且n=cos3α·cosα·sin2α+sin3α·sinα·cos2α，則m+n=cos2α，m-n=cos4α·cos2α，

所以2m=cos2α(1+cos4α)=2cos32α，m=cos32α，即原結(jié)論得證.

變式1 求證:cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β).

評(píng)注 從例3及其變式1可以看到，構(gòu)造對(duì)偶式證明恒等式時(shí)，對(duì)于同一個(gè)式子，可以局部對(duì)偶創(chuàng)設(shè)其對(duì)偶式，其余部分不變.

三、求最值或取值范圍

1.求最值

二、求取值范圍

例5 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的取值范圍.

評(píng)注 對(duì)于例5的變式，題目中的兩個(gè)條件式本是一組對(duì)偶式，而在解答過程中，通過逆用公式又得到了sin(α+β)與sin(α-β)，從和與差的角度看，它們?nèi)允且唤M對(duì)偶式，這正是解答本題的關(guān)鍵所在.

四、求和問題

1.函數(shù)中的求和問題

評(píng)注 從例6可以看到，構(gòu)造對(duì)偶式解決函數(shù)中的求和問題時(shí)，可多次設(shè)出必要的對(duì)偶式，既體現(xiàn)個(gè)別(局部)性，又體現(xiàn)整體性.

2.二項(xiàng)展開式中的求和問題

3.數(shù)列中的求和問題

五、解方程

評(píng)注 從例9可以看到，對(duì)于無理方程的求解，是從和與差的視角來構(gòu)造對(duì)偶式的；對(duì)于復(fù)數(shù)方程的求解，是從尋找共軛復(fù)數(shù)代數(shù)式的視角來構(gòu)造對(duì)偶式的；對(duì)于三角方程的求解，是從正弦(切)對(duì)余弦(切)的角度來構(gòu)造對(duì)偶式的.

六、求函數(shù)解析式

變式1 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)滿足3f(1-x)-f(1+x)=2x+4，求函數(shù)y=f(x)的解析式.

評(píng)注 若把上述變式中條件式左邊改為“3f(-x)±f(x)”或“3f(a-x)±f(a+x)”，則構(gòu)造對(duì)偶式的替換策略依然不會(huì)發(fā)生改變.對(duì)于變式4，其對(duì)偶構(gòu)造思想體現(xiàn)在利用f(x)與g(x)的奇、偶性，構(gòu)造出“f(x)+g(x)”與“f(x)-g(x)”這一組對(duì)偶式.

[1]蔡勇全.構(gòu)造"輔助元"解題的十種策略[J].數(shù)理化解題研究，2016(5).

[2]蔡勇全.簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的若干策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2015(1).

[3]蔡勇全.從結(jié)構(gòu)聯(lián)想模型巧證不等式的著眼點(diǎn)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012(1).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男,四川省資陽市人，碩士，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué).

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