楊曉光

(河北省邢臺市南宮中學(xué)，河北 邢臺 055750)

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圓錐曲線題的數(shù)與形的雙重解法

楊曉光

(河北省邢臺市南宮中學(xué)，河北 邢臺 055750)

解析幾何體現(xiàn)了代數(shù)和幾何的統(tǒng)一性，曲線的方程代表了其代數(shù)一方面，而方程的曲線又代表了幾何一方面，因此圓錐曲線問題可以從代數(shù)和幾何雙重方面來研究.圓錐曲線的離心率問題是高考的?？碱}型，而離心率的求解過程就可以體現(xiàn)出圓錐曲線習(xí)題的數(shù)與形的雙重解法.

圓錐曲線；代數(shù)方法；幾何方法；離心率；角平分線定理

圓錐曲線的方程展現(xiàn)了其代數(shù)方面，而其圖象又展現(xiàn)了它的圖形一面，因此解決圓錐曲線的相關(guān)題目就可以從數(shù)與形兩方面進(jìn)行研究.筆者以下題為例，來展示圓錐曲線題目在數(shù)與形兩方面的解決方案，以期給讀者以啟發(fā).

分析 (1)此題題目中的條件“a>b>0”是多數(shù)學(xué)生易忽略的地方，導(dǎo)致此題作圖時就出錯.由于a>b>0，漸近線斜率小于1，所以雙曲線的圖象更扁；

(2)解決離心率問題就需要通過題中的條件找到關(guān)于a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．

解法一 (代數(shù)方法) 聯(lián)立方程解出M,N的坐標(biāo)，再利用題目中的條件進(jìn)而求得答案.

點評 此題中的△OMN中線段OF2的長度是定值，所以要求△OMN的面積，只需找到點M,N的縱坐標(biāo)，因此需聯(lián)立漸近線和直線MN的方程，解出M,N的縱坐標(biāo)，使用面積公式，進(jìn)而找到a,b,c的關(guān)系，求出離心率.此方法主要從代數(shù)的方面解決了雙曲線的離心率問題，方法比較直觀，學(xué)生容易理解，但缺點在于計算繁瑣，容易出錯.

由①②可得a=2b

解法三 (幾何方法) 在Rt△OMN中，發(fā)現(xiàn)x軸為∠MON的角平分線，利用角平分線定理[1]，找到關(guān)于a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率．

由①②可得a=2b.

此題利用三種方法，兩個維度(代數(shù)，幾何)解決了解析幾何的相關(guān)問題，從而也剖析了解析幾何(圓錐曲線)的雙重性，即代數(shù)、幾何雙重特性.其實數(shù)學(xué)就是解決數(shù)與形的相關(guān)問題，數(shù)可以衡量形，形又可以形象的反映數(shù)，兩者相得益彰，因此學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是對數(shù)與形的認(rèn)知過程，從而達(dá)到數(shù)形結(jié)合的境界，其實這就是數(shù)學(xué)美的所在.

[1] 陳杰明.解析與平幾聯(lián)手解題[J].數(shù)理天地，2016(7).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

楊曉光(1981-11)，男，漢族，河北人，理學(xué)學(xué)士，中學(xué)一級，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高中奧賽教學(xué)研究.

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1008-0333(2017)16-0040-02