許真玉

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的教學(xué)目標(biāo)中，就把解決問題作為課程目標(biāo)。這里的“解決問題”不是以往“識別題型，模仿例題，套用解題”的解題方式，而是要求我們教師在教學(xué)時，應(yīng)著眼于學(xué)生的生活經(jīng)驗和實踐經(jīng)驗，開啟學(xué)生的視野，拓寬學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，最大限度地挖掘?qū)W生的潛能，從而使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與日常生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生從周圍情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和形成解決問題的策略。

“策略”是選擇和使用方法的思想指導(dǎo)，意在指向順利地完成任務(wù)，并能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)的思維與行動的最有效、最簡潔的方式方法，完全是學(xué)生自身內(nèi)部形成的。

經(jīng)過近幾年的課改實踐探索，我初步形成了一些解決問題的基本策略：

一、作圖

這是一種具體化的策略，可以幫助學(xué)生審題、分析和檢驗。作圖不僅指線段圖，也包括實物簡圖等。小學(xué)生在紙上畫畫圖可以拓展思路，對解題有一定的幫助，靈活運(yùn)用這項解題策略，還能使學(xué)生的動手操作能力和空間想象能力得到充分的發(fā)展，也比較符合小學(xué)生具體形象性的思維特點。

例如我讓學(xué)生解答這樣一道問題：在一個正方形池塘的四周種樹，每邊都種有20棵，并且四個頂點都種有一棵樹，池塘四周共種樹多少棵？很多同學(xué)都做出這樣的答案：20×4=80（棵）。這時我就引導(dǎo)學(xué)生畫出每邊種4棵或5棵情況的示意圖，來歸納總結(jié)規(guī)律。從示意圖上可以看出，每邊種4棵，一共要種12棵而不是4×4=16（棵），每邊種5棵是16棵，而不是5×4=20棵。為什么不論每邊種4棵或5棵，都是比原來設(shè)想的少4棵呢？學(xué)生通過仔細(xì)觀察示意圖，發(fā)現(xiàn)原來解答的錯誤在于把四個頂點上的4棵樹計算了2次，所以都多算了4棵，正確的解答方法應(yīng)該把重復(fù)計算的4棵減去。所以正確答案應(yīng)是：20×4–4=76（棵）。

畫圖本身是一種動手操作能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生在審題后畫圖，促使學(xué)生的空間想象能力得到了發(fā)展，而借助作圖這一教學(xué)策略，難題也就迎刃而解了。

二、列舉

列舉是一種重要的數(shù)學(xué)思維形式，在解決數(shù)學(xué)問題時，有時依靠單純的列式似乎存在一定的困難，如果把屬于答案的這些對象逐一找到，問題的答案也就有了。而不重復(fù)、不遺漏地一一列舉，需要學(xué)生有條理的進(jìn)行思考，這是發(fā)展學(xué)生思維的好時機(jī)。

例如：導(dǎo)游帶著38個人去住宿，只有2人間和3人間的客房，怎樣安排客房全部住滿，有幾種安排方式？象這樣的解決問題采用列舉法就能把所有可能有序羅列了：（38+1）=39通過列舉法醒目地出現(xiàn)了7種安排方式，顯得淺顯而易掌握。

三、轉(zhuǎn)化

所謂解決問題的轉(zhuǎn)化策略，就是在解題過程中，不斷轉(zhuǎn)化解題方向，從不同的角度、不同的側(cè)面去探討問題的解法、尋找最佳的方法。轉(zhuǎn)化法是數(shù)學(xué)解題的一個重要技巧，分散難點，化繁為簡，它把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目；把繁難的題目轉(zhuǎn)化成簡單的題目；把抽象的題目轉(zhuǎn)化為具體的題目。

如：在一個正三角形內(nèi)畫一個最大的圓，在圓內(nèi)再畫一個最大的正三角形。已知大正三角形的面積為48平方厘米，求小正三角形的面積是多少？

乍一看圖，簡直“疑無路”。但轉(zhuǎn)動小正三角形成圖二時，學(xué)生頓時豁然開朗，一看便知道小正三角形的面積是大正三角形的1/4。

再如，當(dāng)學(xué)生品味到運(yùn)用轉(zhuǎn)化方法能從（已知）長方形面積中推得（未知）平行四邊形面積公式時，要求學(xué)生通過剪拼，在獨立思考中解決三角形、梯形的面積公式，實現(xiàn)自行轉(zhuǎn)化策略解決問題。

在平時的教學(xué)中，我們可以精心設(shè)計此類問題，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，在動態(tài)變換中獲取問題解決的途徑，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

四、假設(shè)

假設(shè)法解題是奧數(shù)學(xué)習(xí)中一種常用的思維方法。假設(shè)法要求題中要有兩個或兩個以上的未知量，思考時可以先假設(shè)要求的兩個或幾個未知數(shù)相等，或者先假設(shè)兩種要求的未知量是同一種量，然后按題中的已知條件進(jìn)行推算，并對照已知條件，把數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾加以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，最后找到答案。假設(shè)法對解雞兔同籠問題特別適用。

例如：籠子里有雞和兔共30只，共有70條腿，問雞和兔各有幾只？

此題無論是從條件出發(fā)用綜合法去解答，還是從問題出發(fā)用分析法去解答，都很難求答案。因此，我們可以假設(shè)30只全是雞，則腳的只數(shù)應(yīng)為60只，比題目中的70只少了10只，因為每只雞比兔少2只腳，所以10只腳就有10÷2=5（只）兔。列式：30×2=60（只）70-60=10（只）4-2=2（只）10÷2=5（只）30-5=25（只）答：兔有5只，雞有25只。此題也可以假設(shè)全是兔，如果全是兔，則腳的只數(shù)為30×4=120（只），比題目中的70只多了50只，因為每只兔比雞多2只腳，所以50只腳就有50÷2=25（只）雞。

假設(shè)法解題會出現(xiàn)數(shù)量上的差異，此刻再進(jìn)行合理調(diào)整，就能分別解答幾個不同數(shù)量的答案了。

五、倒推

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有時也需要用倒過來推想的策略分析數(shù)量關(guān)系，這對發(fā)展學(xué)生的逆向思維是有價值的。所謂倒推有兩個方面的含義：一是思維的倒推——即通過學(xué)生的逆向思維將問題進(jìn)行倒推；二是計算的倒推——即計算時通過計算性質(zhì)的變化進(jìn)行倒推。

例如：工人們修一段路，第一天修了公路全長的一半還多2千米，第二天修了余下的一半還少1千米，還剩20千米沒有修完，公路全長是多少千米？從“第二天修了余下的一半還少1千米，還剩20千米”往前推算，20-1=19（千米）正好是第一天修后余下的一半，第一天修后余下的是19×2=38（千米）。再從“第一天修了公路全長的一半還多2千米”往前推，第一天修后余下的38千米加上2千米，得到38+2=40（千米），就是公路全長的一半，那么公路全長的是40×2=80（千米）。

再如：某人在演算一道題時，應(yīng)該將一個數(shù)用5乘，再被3除，但是他誤用3乘，再被5除，因此得到45。正確的得數(shù)應(yīng)該是多少？解答這題應(yīng)該從逆運(yùn)算關(guān)系求出原數(shù)（45×5÷3）×5÷3=125。用倒過來想的方法解答此類題型就顯得非常簡單了。

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過：解決問題是指在沒有現(xiàn)成的解題方法時，尋找一條解題途徑，是從困難中找到出路，尋找一條繞過障礙的道路，達(dá)到最終的解決問題。而策略的教學(xué)就是學(xué)生在學(xué)習(xí)解決問題的過程中來提升而來的，因此，解題策略是多樣的、靈活的。教師在教學(xué)過程中，要增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用解題策略的意識，加大學(xué)生體驗成功的頻率，提高他們利用數(shù)學(xué)解題策略的能力，達(dá)到“學(xué)以致用”的目的，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合性提高，實現(xiàn)“柳暗花明”的效果。