應(yīng)俊

【摘要】 漸近線是雙曲線特有的幾何性質(zhì)，它限定了雙曲線圖形的變化趨勢(shì)。與雙曲線漸近線相關(guān)的問(wèn)題也是考試中?？嫉膬?nèi)容之一，利用漸近線在雙曲線中構(gòu)造特殊的三角形，使解決雙曲線中涉及漸近線的問(wèn)題更加快捷。

【關(guān)鍵詞】 雙曲線 漸近線 特殊三角形

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2017）05-070-02

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漸近線是雙曲線的特有幾何性質(zhì)，它限定了雙曲線圖形的變化趨勢(shì)。與雙曲線漸近線相關(guān)的問(wèn)題也是考試中?？嫉膬?nèi)容之一，利用漸近線在雙曲線中構(gòu)造特殊的α三角形，可以為解決一些復(fù)雜的問(wèn)題帶來(lái)很大方便。那么什么是α三角形，如何巧妙的利用這種特殊的三角形解題，本人結(jié)合自己教學(xué)中的總結(jié)，整理成文，與大家一同交流。

定義 F為雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F作雙曲線的漸近線y=b1ax的垂線，垂足為P，稱(chēng)ΔOPF為雙曲線的α三角形；

雙曲線的α三角形的性質(zhì)有：

1.設(shè)∠POF=α，則tanα=b1a；

2.設(shè)雙曲線的焦距為2c，則在RtΔOAF中，OF=c，OP=a，AF=b；

根據(jù)上面給出的定義，我們知道α三角形是與雙曲線的漸近線相關(guān)的三角形，那么它可用于解決與雙曲線的漸近線相關(guān)的問(wèn)題，如何在題目中發(fā)現(xiàn)α三角形，如何利用α三角形解題，就至關(guān)重要。

例1.如圖所示，已知雙曲線x21a2-y21b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交雙曲線的漸近線于A、B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若AF=2FB，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.3214B.2313

C.3015D.512

解法1：雙曲線x21a2-y21b2=1（a>b>0）的漸近線方程為y=±b1ax，

因?yàn)橹本€l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，所以kOA=2b1a11-b21a2=2ab1a2-b2，

于是直線l的方程為y=2ab1a2-b2（x-c），

與y=±b1ax聯(lián)立，可得y=-2abc13a2-b2或y=2abc1a2+b2，

又因?yàn)锳F=2FB，

所以2abc1a2+b2=2·（2abc13a2-b2），化簡(jiǎn)得a=3b，

從而e=c1a=2313.

評(píng)析：本題是雙曲線的問(wèn)題，本解法是最常規(guī)的一個(gè)解法，也是絕大多數(shù)參考書(shū)中給出的解法，它利用AF=2FB得出A，B坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系，從而得到關(guān)于a，b，c的一個(gè)等式，進(jìn)而求出離心率，本法的優(yōu)點(diǎn)在于容易想到，而且是公式化的一種解法，但缺點(diǎn)在于小題大做，計(jì)算繁瑣，容易出錯(cuò)，需要花費(fèi)大量的時(shí)間在這一小題上。

解法2.設(shè)∠AOF=α，∠AFx=2α，則∠OAF=α

所以ΔOAF為等腰三角形，|OF|=|AF|=c

又因?yàn)锳F=2FB，所以|BF|=c12，

在ΔOBF中，∠BOF=α，∠OFB=2α，由正弦定理知

|OF|1sin∠OBF=|BF|1sin∠BOF化簡(jiǎn)得c1sin3α=c121sinα

所以sin3α=2sinα得sinα=112，

又因?yàn)閎1a=tanα=515，所以e=2313

評(píng)析：本解法中，在ΔOBF，尋找邊角之間的關(guān)系，利用正弦定理得出a，b的關(guān)系，從而求出離心率，相對(duì)于第一種解法，本解法已經(jīng)比較快捷，而且計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。

解法3：作FP⊥OA交OA于P

ΔOFP為α三角形，由α三角形的性質(zhì)可知|PF|=b，|OP|=a，|OA|=2a ，由角平分線性質(zhì)知|AF|1|BF|=|OA|1|OB|得|OB|=a，所以ΔOPFΔOBF，|PF|=|BF|，所以c12=b得e=2313.

評(píng)析：本解法巧妙利用α三角形的性質(zhì)，從而使得計(jì)算量大大的減少， 是解決本題最佳的方法，也是最快捷的方法。

在另一類(lèi)題目中，構(gòu)造的α三角形與定義中的略有變化，但是本質(zhì)上沒(méi)有變化，這種α三角形具有很大的隱蔽性，不容易發(fā)現(xiàn)。

例2. 已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，漸近線為l1、l2，過(guò)點(diǎn)F2且與l1平行的直線交l2于M，若M在以線段F1F2為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）

A.2 B.2C.3 D.5

解：設(shè)∠MOF2=∠MF2O=α，tanα=b1a

RtΔMF1F2亦是α三角形，|MF1|=2b，|MF2|=2a，

又因?yàn)閨OM|=112|F1F2|=c，ΔMOF2為等腰三角形，

所以|OM|=|MF2|

c=2a所以e=2.

例3.已知雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線與圓x2+y2=c2（其中c2=a2+b2）交于點(diǎn)P，P到雙曲線的另一條漸近線的距離為a，則雙曲線的離心率是_______

解：過(guò)P作另一漸近線的垂線，垂足為H，

|OP|=c，|PH|=a，|OH|=b，所以RtΔOPH亦是α三角形，tanα=b1a，tan2α=a1b.

由tan2α=2tanα11-tan2α代簡(jiǎn)可得3b2=a2

所以e=2133

評(píng)析：例2和例3中，構(gòu)造的三角形都為α三角形，但又與定義略有不同，雖然具有隱蔽性，不容易尋找，但是為解決這類(lèi)題目提供了一種快捷的解題方法。

α三角形其實(shí)就是在雙曲線中，三邊長(zhǎng)為a，b，c或ka，kb，kc（k∈N*）的直角三角形，它往往與雙曲線的漸近線相關(guān)聯(lián)，如果能巧妙的利用α三角形來(lái)解題，可以避免解析幾何在小題中繁瑣的計(jì)算，從而起到小題巧做的目的。

課堂教學(xué)是一門(mén)科學(xué)。教師要勤于探索、勇于實(shí)踐、善于總結(jié)。在對(duì)比中優(yōu)化，在改進(jìn)中提升，學(xué)會(huì)選擇方法。多觀察、多動(dòng)腦，要透過(guò)現(xiàn)象找出其本質(zhì)，從中提煉出解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，不僅能獲得數(shù)學(xué)解題能力的提升，更是數(shù)學(xué)思維水平的提升。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]馬榮.雙曲線漸近線的另一個(gè)公式.教學(xué)實(shí)踐：2011（11）.