●王萍萍

(臺州市第一中學(xué)，浙江 臺州 318000)

?

察題觀式 事半功倍*
——以高三復(fù)習(xí)課“解三角形”為例談解題效益

●王萍萍

(臺州市第一中學(xué)，浙江 臺州 318000)

三角式的變換靈活而富于技巧，奇妙的公式變換體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一與轉(zhuǎn)化思想.然而也正因為公式太多、技巧性太強(qiáng)，使得很多學(xué)生對三角變換暈頭轉(zhuǎn)向、望而卻步.文章對“解三角形”中的題目條件與結(jié)論作了探究，總結(jié)解題思路和解題規(guī)律，從而使學(xué)生提高解題技能與解題效益，達(dá)到事半功倍的效果.

解題方向;轉(zhuǎn)化;正弦定理;余弦定理

1 問題提出

《2017年浙江省普通高考考試說明》中對解三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用.在浙江省數(shù)學(xué)高考試題中，解三角形題型常被安排在解答題的第1題，用來考查學(xué)生的基本數(shù)學(xué)知識與能力.“良好的開端是成功的一半”，第1題能否順利解答對學(xué)生考場心態(tài)影響很大.

1)求角A的大??；

(2015年浙江省臺州市一模數(shù)學(xué)試題第16題)

(答案：1)60°；2)2.)

解答結(jié)果顯示第1)小題的得分率為94%，第2)小題的得分率僅為52%.遵循高考的定位，命題者設(shè)計此題時，所考慮的解法(即下文思路1)很簡潔、自然.筆者對學(xué)生的解答過程與方法作了調(diào)查，基于三角形的邊角關(guān)系，第2)小題的解答大致有以下2個思路：

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=1,根據(jù)余弦定理可得

b2+c2-bc=1，

從而

b2+c2=1+bc≥2bc，

即

bc≤1，

故

思路2 (化邊為角)根據(jù)正弦定理可得

(1)

(能解答到這一步，需要考生具備一定的運(yùn)算能力和堅毅的性格.)

對于式(1)，有以下幾種變形結(jié)果：

在這4個變形式中都出現(xiàn)了2個角的三角函數(shù)值，找出式中2個角之間蘊(yùn)涵的內(nèi)在聯(lián)系是繼續(xù)化解此題的關(guān)鍵.變形1、變形3和變形4中2個角之間的倍角關(guān)系非常隱秘，使得考生陷入迷惘的困境，而在變形2中不難發(fā)現(xiàn)其倍角關(guān)系，繼而可變形得

把解題認(rèn)為是純粹的“智力活動”是錯誤的.決心和情緒也起了很重要的作用.決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產(chǎn)生波動[1].思路2的思維鏈比較長，過程繁瑣而曲折，不少考生因個人意志力薄弱而半途而廢、淺嘗輒止.其中不乏意志堅定且功底雄厚的學(xué)生，雖然獲得最后結(jié)果，但在緊張的限時測試中消耗過多的時間著實可惜.

為什么這些考生不是按命題者預(yù)設(shè)的思路去解答，而是舍近求遠(yuǎn)？這種思維差距是什么原因造成的？我們知道并非所有的解三角形問題都適合“化角為邊”，如何選擇明智的解題方向使得解題效果事半功倍？筆者針對以上現(xiàn)象設(shè)計了一堂以解題效益為主題的高三復(fù)習(xí)課，讓學(xué)生在親歷“一題多解”的過程中對解題思路、解題規(guī)律進(jìn)行探索和總結(jié)，學(xué)會選擇高效的解題方向，從而提高解題技能與效益.

2 教學(xué)目標(biāo)

分析解三角形的類型與結(jié)構(gòu)，應(yīng)用正弦定理、余弦定理達(dá)到三角形邊角之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題，提高解決綜合問題的能力.

3 教學(xué)簡錄及說明

3．1 依托典型例題，完善知識網(wǎng)絡(luò)

1)求角A的大??；

2)若a=3，sinB=3sinC,求b,c的值.

3．2 放手一題多解，綻放各種思維

3)若a=3，求bc的范圍.

圖1

即

顯然當(dāng)動點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)M處時，AM達(dá)到最大值(此時B=C=60°)；當(dāng)動點(diǎn)A靠近端點(diǎn)B,C時，AH接近于0(此時B→120°,C→0°或B→0°,C→120°).

有了這種定性的感知，學(xué)生能夠比較自然順暢地進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算推理.課堂生成片段如下：

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=3,根據(jù)余弦定理可得b2+c2-bc=9，即

b2+c2=9+bc≥2bc，

從而

bc≤9,

故

bc∈(0,9].

思路2 (化邊為角)根據(jù)正弦定理可得

12sinB·sin(120°-B)=

6sin(2B-30°)+3.

因為B∈(0°,120°)，所以2B-30°∈(-30°,210°),故bc∈(0,9].

3．3 鞏固經(jīng)驗之法，加深本質(zhì)認(rèn)識

4)若a=3，求b+c的范圍.

設(shè)計說明 人們總是自然地想著去重復(fù)使用過去在類似的情況下已獲得成功的那些方法[3].有了第3)小題的經(jīng)驗，學(xué)生很容易從常規(guī)角度去思考，去解題.課堂生成片段如下：

圖2

學(xué)生先在圓中進(jìn)行定性判斷:如圖2，當(dāng)動點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)M處時，b+c達(dá)到最大值(此時B=C=60°)；當(dāng)動點(diǎn)A靠近端點(diǎn)B,C時，b+c接近于3(此時B→120°,C→0°或B→0°,C→120°).

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=3,根據(jù)余弦定理可得

b2+c2-bc=9，

從而

b2+c2=9+bc≥2bc，

即

bc≤9，

于是

(b+c)2=9+3bc≤36，

因此

b+c≤6.

由于B∈(0°,120°),即B+30°∈(30°,150°)，從而

故

b+c∈(3,6].

思路3 (方程思想)本題等價于“已知b2+c2-bc=9，求b+c的范圍”，其實質(zhì)是“已知二元條件，求二元函數(shù)的值域”的問題，常規(guī)思路是代入消元轉(zhuǎn)化成求一元函數(shù)的值域.在二次方程式b2+c2-bc=9中直接用b表示出c比較繁瑣，因此可令b+c=t，將c=t-b代入方程b2+c2-bc=9，得到關(guān)于b(視次元t為參數(shù))的一元二次方程3b2-3tb+t2-9=0有正實數(shù)解，從而

解得

b+c∈(3,6].

評注 采用思路1的學(xué)生能輕松得到“b+c≤6”的結(jié)果，但這也是利用不等式求解的一個瑕疵，只能得到范圍的一端，在這里若是在解題之前有過定性的判斷，不難根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)而補(bǔ)上限制條件“b+c>3”，可謂“亡羊補(bǔ)牢，為時未晚”！若題目只求最大值，則思路1不失為思路明晰且計算簡潔的上上之策.

3．4 遭遇解題挫折，反思條件與結(jié)論

圖3

5)若a=3，且△ABC為銳角三角形，求b+c的范圍.

設(shè)計說明 此題雖然表面上看上去只比第4)小題加了對角的限制，然而第4)小題的思路1與思路3在這里卻無法施展.課堂生成片段如下：

由第4)小題的思路2可知

b+c=6sin(B+30°).

B+30°∈(60°,120°)，

從而

故

3．5 提高能力要求，驅(qū)動轉(zhuǎn)化思想

6)若角C為鈍角，且a+b=pc，求實數(shù)p的取值范圍.

從而

故

評注 作為高三學(xué)生，拿到一道題目不僅要了解有幾種方法，更應(yīng)該知道這些解法的根源在哪里、優(yōu)劣性在哪里，只有這樣才能有效選擇解題方向，提高解題效益，運(yùn)籌于帷幄之中.

3．6 提煉解法規(guī)律，總結(jié)數(shù)學(xué)思想

對于解三角形的問題，基本思想是“統(tǒng)一”，一般2種思路都可行，主要是通過正弦定理與余弦定理，將已知條件或統(tǒng)一到邊上或統(tǒng)一到角上，再結(jié)合有關(guān)公式解決.解題中除了要選擇自己擅長的方法，更重要的是學(xué)會“察題觀式”，靈活選擇，機(jī)智處理，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

步驟1 面對條件和結(jié)論聯(lián)系相關(guān)公式；

步驟2 結(jié)合圖形進(jìn)行分析；

步驟3 預(yù)測思路，選擇恰當(dāng)途徑.

一般來說，若是條件給出的是“關(guān)于邊的限制條件”，或是較容易可轉(zhuǎn)成“關(guān)于邊的限制條件”，則例1的思路1不失為一種快捷有效的方法；若是條件給出的是“關(guān)于角的條件限制”，或者不容易轉(zhuǎn)化成“關(guān)于邊的限制條件”，則例1的思路2較為適宜.

4 反思與回顧

高三復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)是把學(xué)生先前學(xué)的知識連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，從而實現(xiàn)融會貫通，這就需要教師站在思想方法的高度進(jìn)行解題教學(xué)，不論題目如何千變?nèi)f化，自然可以做到游刃有余.所謂“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”，經(jīng)過這一課的學(xué)習(xí)與總結(jié)，學(xué)生再來反思文首的例1，思路1的優(yōu)勢不言而喻.

[1] 波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007．

[2] 王弟成．教師深度引領(lǐng) 學(xué)生高位發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2015(1)：22-26．

[3] 波利亞．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M]．劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京:科學(xué)出版社，2006：67-68．

?2017-01-20；

2017-03-03

王萍萍(1983-)，女，浙江臺州人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-10-04