楊其偉，王向華

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

基于滑模控制的雙約束條件下協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)

楊其偉，王向華

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

針對(duì)多枚導(dǎo)彈打擊同一目標(biāo)的問(wèn)題，進(jìn)行協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)。采用了能實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂的終端滑?？刂品?，既能滿足攻擊時(shí)間約束，又能實(shí)現(xiàn)期望的末端角度，并用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了所得到的結(jié)果。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了提出的制導(dǎo)律的有效性。

導(dǎo)彈制導(dǎo)律；攻擊時(shí)間約束；終端角度約束；滑模控制；李雅普諾夫穩(wěn)定性

第二次世界大戰(zhàn)以來(lái)，隨著軍事科技的快速發(fā)展，目標(biāo)智能化程度和機(jī)動(dòng)能力越來(lái)越高，且部分目標(biāo)還具有釋放誘餌的能力。在此情況下，單枚導(dǎo)彈難以完成高精度的打擊任務(wù)。同時(shí)由于現(xiàn)代防御體系已經(jīng)逐漸形成天、空、海、潛、陸綜合一體化的結(jié)構(gòu)方式，單枚導(dǎo)彈很難實(shí)現(xiàn)突防，而多枚導(dǎo)彈可以通過(guò)相互掩護(hù)、功能互補(bǔ)提高導(dǎo)彈的突防能力，能夠完成單枚導(dǎo)彈不易完成的任務(wù)[1]。多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)是制導(dǎo)控制領(lǐng)域一個(gè)新興發(fā)展方向和研究前沿，也是未來(lái)一種重要的作戰(zhàn)方式。協(xié)同制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)是導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的關(guān)鍵技術(shù)之一。

在多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊同一目標(biāo)的時(shí)候，還需考慮多末端約束條件限制，比如脫靶量、攻擊時(shí)間、末端角度以及速度等。Jeon等[2]將傳統(tǒng)的比例導(dǎo)引律(proportional navigation guidance law，PNG)與攻擊時(shí)間誤差的反饋相結(jié)合，設(shè)計(jì)出一種可以打擊靜態(tài)目標(biāo)的制導(dǎo)律。Kang等[3]采用最優(yōu)控制的方法設(shè)計(jì)了一種滿足攻擊時(shí)間約束的制導(dǎo)律，對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行小角度假設(shè)和線性化近似。Saleem[4]、Cho[5]和Kumar[6]等基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的方法設(shè)計(jì)了能滿足攻擊時(shí)間約束的制導(dǎo)律。Saleem等[4]使用貝塔函數(shù)構(gòu)造出攻擊時(shí)間的表達(dá)式，可以通過(guò)控制參數(shù)來(lái)控制攻擊時(shí)間。Cho[5]和Kumar[6]等引入既不可量測(cè)又不可精確估計(jì)的剩余飛行時(shí)間。Li和Zhang等[7-8]把滑?？刂婆c時(shí)下流行的控制方法，如小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(wavelet neural network，WNN)、自適應(yīng)模糊推理系統(tǒng)(adaptive network-based fuzzy inference system，ANFIS)結(jié)合起來(lái)，提出了一種可以控制末端角度的制導(dǎo)律。

Kim等[9]首次提出了一種滿足脫靶量和末端角度約束的次最優(yōu)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律考慮了機(jī)動(dòng)彈頭制導(dǎo)過(guò)程中的末端角度約束問(wèn)題。Lee[10]和Tao[11]等采用最優(yōu)控制的策略設(shè)計(jì)了帶有末端角度約束的末端制導(dǎo)律，雖然可以通過(guò)最優(yōu)控制的方法建立數(shù)學(xué)模型，但是飛行器在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)受到很多干擾，造成模型具有不小的誤差，進(jìn)而降低了制導(dǎo)精度。Ratnoo等[12]在PNG的基礎(chǔ)上引入帶末端角度約束的變比例系數(shù)制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律可以用于打擊固定目標(biāo)。Erer等[13]設(shè)計(jì)了一種能對(duì)末端角度實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)控制的制導(dǎo)律，但是針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攻擊時(shí)末端角度偏差較大。Lee等[14]也提出了一種攻擊時(shí)間和末端角度同時(shí)約束的制導(dǎo)律，但是其推導(dǎo)過(guò)程較為復(fù)雜，不適合推廣應(yīng)用。Harl等[15]用滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計(jì)了一種攻擊時(shí)間和末端角度同時(shí)約束的制導(dǎo)律，具有很好的魯棒性。Kumar等[16]設(shè)計(jì)了一種可以在攻擊時(shí)間約束和末端角度約束的制導(dǎo)律之間切換的方法，可以用來(lái)攻擊恒速的目標(biāo)。

本文提出一種同時(shí)考慮攻擊時(shí)間和末端角度約束的制導(dǎo)律。主要思路是將整個(gè)飛行過(guò)程分成兩個(gè)階段：第一階段基于終端滑?？刂频姆椒ㄔO(shè)計(jì)制導(dǎo)律，使得視線角的變化率在有限時(shí)間收斂到零并保持為零；第二階段導(dǎo)彈則沿著視線飛行直到擊中目標(biāo)。攻擊時(shí)間為兩個(gè)階段的時(shí)間之和，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可使導(dǎo)彈以期望的角度打擊目標(biāo)，而且該角度可任意設(shè)計(jì)。同時(shí)能夠給出攻擊時(shí)間的范圍，所獲得的結(jié)果可應(yīng)用到多枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊同一目標(biāo)中。

1 模型介紹

為了簡(jiǎn)化研究對(duì)象，在導(dǎo)彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的初步階段，通常將導(dǎo)彈和目標(biāo)看做質(zhì)點(diǎn)。因?yàn)槟繕?biāo)的速度相對(duì)導(dǎo)彈的速度可以忽略不計(jì)，所以在描述制導(dǎo)律時(shí)假設(shè)導(dǎo)彈的速度為常數(shù)并且目標(biāo)靜止。同時(shí)由于導(dǎo)彈的時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于目標(biāo)的時(shí)間常數(shù)，自動(dòng)駕駛儀和傳感器的動(dòng)力學(xué)特性可以忽略。

圖1 導(dǎo)彈攻擊的幾何模型Fig.1 Missile-target engagement geometry

考慮如圖1所示的導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何模型，其中：R為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的距離，R=0記為導(dǎo)彈擊中目標(biāo)；γ為導(dǎo)彈的航向角，也稱為導(dǎo)彈的彈道傾角，即導(dǎo)彈的速度矢量與基準(zhǔn)線之間的夾角；λ為導(dǎo)彈的視線角，即目標(biāo)線與基準(zhǔn)線之間的夾角。若以導(dǎo)彈為原點(diǎn)，基準(zhǔn)線為半徑逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)線上時(shí)，則λ為正；x、y為導(dǎo)彈的瞬時(shí)位置分量；V為導(dǎo)彈的速度；am為導(dǎo)彈的加速度；σ為導(dǎo)彈的速度矢量與目標(biāo)線之間的夾角，稱為航向誤差角。

由圖1可知，航向誤差角的計(jì)算公式為

σ=γ-λ，

(1)

將導(dǎo)彈速度矢量V分別沿基準(zhǔn)線和與基準(zhǔn)線垂直的方向上分解，導(dǎo)彈的瞬時(shí)位置分量的導(dǎo)數(shù)分別為

(2)

(3)

再將導(dǎo)彈速度矢量V沿目標(biāo)線的方向及其法線方向進(jìn)行分解。沿目標(biāo)線方向的分量Vcosσ是指向目標(biāo)，它使相對(duì)距離R減小，由此

(4)

沿目標(biāo)線方向的法線分量Vsinσ使目標(biāo)線以目標(biāo)為原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使目標(biāo)視線角-λ增大，可得

(5)

導(dǎo)彈加速度am垂直于速度V，導(dǎo)彈航向角的偏轉(zhuǎn)率為

(6)

綜上所述，可以得到導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組為

(7)

2 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 設(shè)計(jì)思路

圖2 視線角的變化率隨時(shí)間的變化Fig.2 The derivative of line-of-sight angle variation

則在tf時(shí)導(dǎo)彈能以期望的末端角度λ*打擊目標(biāo)，以實(shí)現(xiàn)最佳的攻擊效果。

由上述分析定義兩個(gè)狀態(tài)變量

x1=λ-λ*，

(8)

(9)

其中，λ*為期望的末端角度。

分別對(duì)式(8)和式(9)微分可得

(10)

(11)

把式(5)代入式(11)，得到x2的導(dǎo)數(shù)

(12)

對(duì)式(1)求導(dǎo)可得

(13)

把式(4)和式(13)代入式(12)得到

(14)

再將式(5)和式(6)代入式(14)中，可得

(15)

2.2 主要結(jié)果

提出如下制導(dǎo)律：

(16)

其中

(17)

在式(17)中1

0，β>0且β是一個(gè)常數(shù)。p和q是正奇數(shù)且p>q。

2.3 主要結(jié)果證明

證明分為兩步：第一步證明在有限時(shí)間s→0；第二步證明在有限時(shí)間x2→0。

構(gòu)造系統(tǒng)的能量函數(shù)為

(18)

對(duì)能量函數(shù)進(jìn)行微分可得

(19)

(20)

再將式(16)代入式(15)中可得

(21)

然后再將式(10)和式(21)代入式(20)中可得

(22)

把式(22)兩邊同時(shí)乘以s得

(23)

當(dāng)x2≠0時(shí)

(24)

當(dāng)實(shí)現(xiàn)s=0狀態(tài)時(shí)，由式(17)可得

(25)

令能量函數(shù)為

(26)

對(duì)能量函數(shù)進(jìn)行微分可得

(27)

圖3 系統(tǒng)的相位圖Fig.3 The phase plot of the system

將式(10)代入式(27)中可得

(28)

把式(25)進(jìn)行變形得

(29)

將式(29)代入式(28)中可得

(30)

最后將式(26)變形代入式(30)中可得

(31)

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證結(jié)論，利用MATLAB對(duì)制導(dǎo)律進(jìn)行仿真。設(shè)共有三枚導(dǎo)彈參與齊射，當(dāng)彈目距離小于1m時(shí)停止仿真。Simulink的仿真開(kāi)始時(shí)間是0.0，采用固定步長(zhǎng)，每步0.001。三枚導(dǎo)彈從三個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)攻擊位于原點(diǎn)(0,0)處的目標(biāo)。詳細(xì)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 三枚導(dǎo)彈攻擊目標(biāo)的仿真數(shù)據(jù)Tab.1 Simulation data for three missiles attacking the same target

得到的仿真圖如圖4～6所示。

通過(guò)對(duì)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了制導(dǎo)律的穩(wěn)定性以及導(dǎo)彈滿足攻擊時(shí)間和末端角度同時(shí)約束的條件。當(dāng)三枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊目標(biāo)時(shí)，三枚導(dǎo)彈能以預(yù)先設(shè)定的攻擊時(shí)間和末端角度打擊目標(biāo)。

圖4 x1、x2和滑模面s以及末端角度λ隨時(shí)間的變化Fig.4 Histories of x1 and x2, sliding surface s, and terminal impact angle λ

圖5 三枚導(dǎo)彈的制導(dǎo)路徑Fig.5 Trajectories of three missiles

圖6 三枚導(dǎo)彈的彈目距離隨時(shí)間的變化Fig.6 Histories of missile target distance

4 結(jié)論

在攻擊時(shí)間和末端角度同時(shí)約束的條件下，使用有限時(shí)間收斂的滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)了一種用于攻擊同一個(gè)目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)律。把攻擊時(shí)間分為兩段，在第一階段使用有限時(shí)間收斂的滑?？刂品椒ㄊ沟脿顟B(tài)變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零并保持為零，在第二階段令導(dǎo)彈沿著視線飛行，直至擊中目標(biāo)。三枚導(dǎo)彈攻擊同一目標(biāo)的仿真模擬驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的協(xié)同制導(dǎo)律的可行性。

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(責(zé)任編輯：高麗華)

Cooperative Guidance Law Design Based on Sliding Mode Control withImpact Time and Terminal Angle Constraints

YANG Qiwei,WANG Xianghua

(College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University ofScience and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

In this paper, a missile cooperative guidance law was designed to solve the problem of multiple missiles hitting the same target. With the terminal angle and impact time as constraints, a finite time convergence sliding mode control method was used to obtain the missile guidance law. The obtained result was proved by Lyapunov stability theory. A simulation was conducted and the results verified the effectiveness of the proposed method.

missile guidance law;impact time;terminal angle;sliding mode control;Lyapunov stability

2017-04-05

青島市博士后應(yīng)用研究項(xiàng)目(2015179)；山東省博士后創(chuàng)新項(xiàng)目；山東科技大學(xué)研究生科技創(chuàng)新項(xiàng)目(SDKDYC170354)

楊其偉(1993—)，男，山東煙臺(tái)人，碩士研究生，主要從事導(dǎo)彈一體化容錯(cuò)控制研究.E-mail:qiwei_yang@qq.com 王向華(1986—)，女，山東威海人，博士后，主要從事制導(dǎo)與控制研究，本文通信作者. E-mail:xianghuaw@pku.edu.cn

TJ765.3

A

1672-3767(2017)04-0080-07

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.04.012