趙華東，宋保業(yè)，張建勝，許 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

基于粒子群優(yōu)化算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

趙華東，宋保業(yè)，張建勝，許 琳

(山東科技大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，山東 青島 266590)

分?jǐn)?shù)階PID控制器具有可變的微分和積分階次，通過(guò)調(diào)整控制器參數(shù)可以獲得更好的控制性能。本文基于粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器。首先介紹分?jǐn)?shù)階PID和粒子群優(yōu)化算法，然后給出分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、分?jǐn)?shù)階微積分算子的近似算法和分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)的仿真流程，最后通過(guò)MATLAB/Simulink對(duì)算例進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)仿真。仿真結(jié)果表明，通過(guò)粒子群尋優(yōu)能夠獲得滿意的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)，滿足對(duì)控制性能的要求。

粒子群優(yōu)化；分?jǐn)?shù)階控制器；比例-積分-微分

PID(比例-積分-微分， proportional-integral-derivative)控制器是目前工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用最廣泛的控制器，而近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的分?jǐn)?shù)階PID控制器在經(jīng)典PID控制器基礎(chǔ)上增加了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，從而可以在原有PID控制器基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化控制性能、提高控制品質(zhì)，其適用對(duì)象包括分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)和整數(shù)階系統(tǒng)[1]。

近年來(lái)，大量的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法被用于PID控制器參數(shù)整定和分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)，如文獻(xiàn)[2]提出基于改進(jìn)遺傳算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器，顯著優(yōu)化系統(tǒng)性能并提高了系統(tǒng)魯棒性。文獻(xiàn)[3]提出一種基于改進(jìn)蜂群算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法，新算法能夠擴(kuò)大搜索范圍避免陷入局部極小點(diǎn)，從而獲得最優(yōu)的控制器參數(shù)。此外，禁忌搜索算法[4]、差分進(jìn)化算法[5]、粒子群優(yōu)化算法[6]等也被用于分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)。

本文基于粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法給出一種分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)的MATLAB/Simulink仿真方法。首先介紹分?jǐn)?shù)階PID控制器和粒子群優(yōu)化算法，然后給出基于粒子群優(yōu)化算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法和仿真流程，最后通過(guò)算例比較驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果的優(yōu)越性。

1 分?jǐn)?shù)階PID控制器

分?jǐn)?shù)階微積分是經(jīng)典微積分的一般化，其微積分階次從整數(shù)擴(kuò)展到非整數(shù)，包括任意實(shí)數(shù)甚至復(fù)數(shù)[7]。分?jǐn)?shù)階微積分的定義有多種形式，其中Grunwald-Letnikov(GL)分?jǐn)?shù)階微積分定義和Riemann-Liouville(RL)分?jǐn)?shù)階微積分定義是最常用的兩種，并且可以證明在實(shí)際物理系統(tǒng)和工程應(yīng)用中，兩者是完全等效的[8]。對(duì)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(t)的r階Grunwald-Letnikov微積分定義如下[9]：

(1)

(2)

其中，n-1

(3)

其中，L{·}表示拉普拉斯變換，s為拉普拉斯算子。

分?jǐn)?shù)階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)可用如下的分?jǐn)?shù)階微分方程描述：

anDαny(t)+an-1Dαn-1y(t)+……+a0Dα0y(t)

=bmDβmu(t)+bm-1Dβm-1u(t)+…+b0Dβ0u(t)，

(4)

(5)

圖1 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of fractional-order control system

單輸入單輸出分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的框圖如圖1所示。其中，r為給定值，y為被控對(duì)象輸出值，e為兩者的偏差，分?jǐn)?shù)階PID控制器即根據(jù)偏差e調(diào)整控制器輸出u。分?jǐn)?shù)階PID控制器的微分方程表達(dá)式為：

u(t)=Kpe(t)+KiD-αe(t)+KdDβe(t)，

(6)

其相應(yīng)的控制器傳遞函數(shù)為：

(7)

其中，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分和微分增益，α和β分別為積分和微分階數(shù)。當(dāng)α和β為1時(shí)，分?jǐn)?shù)階PID控制器退化為經(jīng)典的整數(shù)PID控制器。與整數(shù)階PID控制器相比，分?jǐn)?shù)階PID控制器中積分和微分的階次可不為1，從而為控制器設(shè)計(jì)增加了兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，使得分?jǐn)?shù)階PID控制器與整數(shù)階PID控制器相比達(dá)到更好的控制性能指標(biāo)。

2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法是由Kennedy和Eberhart提出的一種模擬鳥群或魚群群體行為的啟發(fā)式智能優(yōu)化算法[10]，目前已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各類優(yōu)化問題的求解。粒子群優(yōu)化算法定義了一組與優(yōu)化問題相關(guān)的粒子，每一個(gè)粒子是待優(yōu)化問題的一個(gè)可行解，其維數(shù)與優(yōu)化問題可行解的維數(shù)相同。粒子群優(yōu)化算法根據(jù)各個(gè)粒子的歷史最優(yōu)解和粒子群中的全局最優(yōu)解迭代更新每一個(gè)粒子的飛行速度，并進(jìn)而更新粒子位置，最終得到優(yōu)化問題的最優(yōu)解。粒子群優(yōu)化算法的速度更新方程和位置更新方程如下：

vi(k+1)=wvi(k)+c1r1(pi(k)-xi(k))+c2r2(pg(k)-xg(k))；

(8)

xi(k+1)=xi(k)+vi(k+1) 。

(9)

其中，w為慣性權(quán)系數(shù)，vi(k)和xi(k)分別為粒子i在第k代的速度和位置，pi(k)和pg(k)分別為粒子i的歷史最優(yōu)位置和當(dāng)前代粒子群中的全局最優(yōu)位置，常數(shù)c1和c2稱為加速系數(shù)，r1和r2為[0,1]中均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

目前，眾多學(xué)者提出了一系列改進(jìn)的PSO算法。如Shi等[11]提出了慣性權(quán)系數(shù)線性降低的PSO-LDIW算法，其慣性權(quán)系數(shù)的計(jì)算方法為

(10)其中，kmax為最大迭代次數(shù)。Ratnaweera等[12]提出了具有時(shí)變加速系數(shù)的PSO-TVAC算法，其加速系數(shù)計(jì)算如下

(11)

(12)

Clerk[13]為提高算法的搜索性能提出了具有壓縮因子的PSO-CK算法等。此外，除了對(duì)PSO算法中的參數(shù)選擇提出改進(jìn)方法之外，結(jié)合多種輔助操作的混雜PSO算法也是學(xué)者們關(guān)注的研究方向[14-16]。

3 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)

本文使用MATLAB/Simulink仿真，基于粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器。由于MATLAB目前尚沒有正式推出面向分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)仿真的工具箱，因此分?jǐn)?shù)階PID控制器首先近似為整數(shù)階系統(tǒng)，然后可按照整數(shù)階系統(tǒng)搭建仿真環(huán)境，系統(tǒng)仿真框圖如圖2所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)Fig.2 Fractional-order PID control system

在仿真過(guò)程中，本文使用Oustaloup 近似化方法對(duì)分?jǐn)?shù)階PID控制器中的微積分算子進(jìn)行近似。設(shè)待近似的微積分算子為sγ，擬合頻率段為(ωb,ωh)，則可以構(gòu)造出一個(gè)近似sγ的頻域?yàn)V波器如下[9]：

(13)

(14)

(15)

(16)

本文的粒子群優(yōu)化算法中的粒子為5維，各維分別為Kp、Ki、Kd、α、β。優(yōu)化過(guò)程中最大迭代次數(shù)為100，種群規(guī)模為20，按照式(10)～(12)計(jì)算慣性權(quán)系數(shù)和加速系數(shù)，分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)的仿真流程如圖3所示。

為驗(yàn)證本文的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法的有效性，以下使用文獻(xiàn)[17]中的兩個(gè)典型算例，采用平方偏差積分(square deviation integral, ISE)、時(shí)間平方偏差積分(time squared deviation integral, ITSE)、絕對(duì)偏差積分(absolute deviation integral, IAE)和時(shí)間絕對(duì)偏差積分(time absolute deviation integral,ITAE)4種性能指標(biāo)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器并進(jìn)行比較。

圖3 分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)仿真流程Fig.3 Simulation flowchart of fractional-order PID controller design

例1 高階被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：

(17)

文獻(xiàn)[17]中給出的控制器為：

C(s)=0.741 3(1+0.186 9/s1.310 6) 。

(18)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]基于誤差的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)程序，對(duì)例1進(jìn)行整數(shù)階PID參數(shù)尋優(yōu)，得到的控制器為：

(19)

本文采用4種性能指標(biāo)(ITSE、ITAE、ISE、IAE)得到的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)如表1所示，圖4給出了各控制器的階躍響應(yīng)，表2給出了相應(yīng)控制器的性能指標(biāo)。

由以上仿真結(jié)果可見，采用本文給出的參數(shù)優(yōu)化方法所得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量均不超過(guò)10%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采用文獻(xiàn)[17]和[18]方法得到的超調(diào)量；同時(shí)，除基于ISE指標(biāo)的調(diào)節(jié)時(shí)間略大外，其余控制器性能指標(biāo)均優(yōu)于文獻(xiàn)[17]和[18]中的設(shè)計(jì)方法；這說(shuō)明本文給出的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法比現(xiàn)有方法具有更好的性能。

表1 例1分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of fractional-order PID controllers of exampe 1

圖4 例1各控制器的階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of controllers in Example 1表2 例1各控制器的性能指標(biāo)Tab.2 Performance indexes of controllers in Exampe 1

超調(diào)量M/%調(diào)節(jié)時(shí)間ts/s峰值時(shí)間tp/s上升時(shí)間tr/sITSE7．46．7895．8124．593ITAE1．66．7168．4687．575ISE9．811．096．4625．024IAE3．95．3026．9685．832文獻(xiàn)[17]22．427．4813．57．958文獻(xiàn)[18]34．910．056．9664．856

例2 帶時(shí)滯被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：

(20)

文獻(xiàn)[17]中給出的控制器為：

(21)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]中基于誤差的最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)程序，對(duì)例2進(jìn)行整數(shù)階PID參數(shù)尋優(yōu)，得到的控制器為：

(22)

本文采用四種性能指標(biāo)(ITSE、ITAE、ISE、IAE)得到的分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)如表3所示，圖5給出了各控制器的階躍響應(yīng)，表4給出了相應(yīng)控制器的性能指標(biāo)。由以上仿真結(jié)果可見，對(duì)含有時(shí)滯的被控對(duì)象，采用本文給出的參數(shù)優(yōu)化方法能夠克服文獻(xiàn)[17]和[18]中方法的缺陷，所得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)具有更優(yōu)越的性能。

表3 例2分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)Tab.3 Parameters of fractional-order PID controllers of Example 2

圖5 例2各控制器的階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of controllers in Example 2表4 例2各控制器的性能指標(biāo)Tab.4 Performance indexes of controllers in Example 2

超調(diào)量M/%調(diào)節(jié)時(shí)間ts/s峰值時(shí)間tp/s上升時(shí)間tr/sITSE2．13．3214．1653．702ITAE2．43．4658．5113．938ISE33．5096．4294．247IAE2．63．3024．2913．646文獻(xiàn)[17]45．233．9710．826．563文獻(xiàn)[18]2912．855．1923．873

從仿真結(jié)果來(lái)看，本文給出的基于粒子群優(yōu)化算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法在4種性能指標(biāo)下均能夠得到較好的控制器參數(shù)，階躍響應(yīng)具有響應(yīng)速度快、超調(diào)量小、穩(wěn)定時(shí)間短的特點(diǎn)，與文獻(xiàn)[17]及文獻(xiàn)[18]中的設(shè)計(jì)方法相比能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能。

4 結(jié)論

給出了一種基于粒子群優(yōu)化算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法，獲得的控制器參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)更好的控制性能，并對(duì)兩個(gè)算例通過(guò)MATLAB/Simulink仿真驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方法的有效性。本文可作為基于智能優(yōu)化方法的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)的一般框架，通過(guò)修改所使用的智能優(yōu)化方法，可驗(yàn)證新算法性能并進(jìn)行比較。在此基礎(chǔ)上，將進(jìn)一步研究自適應(yīng)的分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)方法及數(shù)字分?jǐn)?shù)階PID控制器設(shè)計(jì)及其應(yīng)用等。參考文獻(xiàn)：

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(責(zé)任編輯：高麗華)

Fractional-order PID Controller Design Based on PSO Algorithm

ZHAO Huadong,SONG Baoye,ZHANG Jiansheng,XU Lin

(College of Electrical Engineering and Automation,Shandong University ofScience and Technology,Qingdao,Shandong 266590,China)

The performances of the fractional-order PID controller could be advanced by adjusting two of the variable parameters, i.e. differential order and integral order. This paper is concerned with the design of fractional-order PID controller based on particle swarm optimization. Firstly, the fractional-order PID controller and particle swarm optimization were introduced respectively. Then the structure of the fractional-order PID controller, the approximation algorithm of the fractional-order differ-integral operator, and the simulation flowchart of the fractional-order PID controller design were presented. In the end, the controller design was simulated for the examples by MATLAB/Simulink. The simulation results show that with particle swarm optimization, the satisfying fractional-order PID controller parameter could be obtained to achieve better control performances.

particle swarm optimization;fractional-order controller;PID(proportional-integral-derivative)

2017-03-22

山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(J14LN34)

趙華東(1991—)，男，山東泰安人，碩士研究生，主要從事分?jǐn)?shù)階控制理論與應(yīng)用的研究. 宋保業(yè)(1982—)，男，山東青島人，博士，講師，主要從事智能優(yōu)化算法、移動(dòng)機(jī)器人控制的研究，本文通信作者.E-mail：songbaoye@gmail.com

TP273

A

1672-3767(2017)04-0060-06

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.04.009