陳夢迪，吳海英

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430000)

一類二階離散哈密頓系統(tǒng)的無限多同宿軌

陳夢迪，吳海英

(武漢理工大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430000)

應(yīng)用變分法研究了超二次二階離散哈密頓系統(tǒng)的同宿軌問題。在L(t)允許變號并且b(t)是變號實(shí)數(shù)的條件下，運(yùn)用臨界點(diǎn)理論得到了該系統(tǒng)具有無限多的同宿軌。借鑒現(xiàn)有研究成果，進(jìn)一步弱化系統(tǒng)中非線性項(xiàng)的控制條件，仍可得到較好的結(jié)果。

同宿軌；離散；哈密頓系統(tǒng)；臨界點(diǎn)理論；超二次

0 引言

本文將討論具有變號位勢的二階離散哈密頓系統(tǒng)

△[p(t)△u(t-1)]-L(t)u(t)+b(t)▽V(u(t))=0， ?t∈，

(1)

其中：u∈N，N為給定的正整數(shù)；△u(t-1)=u(t)-u(t-1)；p(t)與L(t)都是N×N實(shí)對稱矩陣，并且p(t)總是正定的；b(t)為變號實(shí)數(shù)；V∈C1(N,)，V(x)≥0，?x∈N，▽V(x)為V關(guān)于x的梯度。

系統(tǒng)(1)的一般形式是：

△[p(t)△u(t-1)]-L(t)u(t)+▽W(xué)(t,u(t))=0， ?t∈。

(2)

近年來，許多學(xué)者將臨界點(diǎn)理論運(yùn)用到離散系統(tǒng)(2)解的研究中。當(dāng)p(t)≡IN×N，且A(t)≡0時(shí)，系統(tǒng)(2)的周期解[1-5]和正解[6-7]不唯一。當(dāng)N=1時(shí)，對于系統(tǒng)(2)的解，已有一些文獻(xiàn)報(bào)道，例如文獻(xiàn)[8]關(guān)于周期解的研究；文獻(xiàn)[9-11]關(guān)于邊界值問題的討論；文獻(xiàn)[12-13]得到了系統(tǒng)(2)在N=1和W(t,u)≥0時(shí)同宿軌存在性的證明。針對系統(tǒng)(1)也有一些研究，如文獻(xiàn)[14]得到了系統(tǒng)(1)在p(t)≡IN×N和A(t)≡0時(shí)周期解存在性的證明；文獻(xiàn)[15]考慮了在L(t)是正定的且b(t)是變號的情況下系統(tǒng)(1)的同宿軌。文獻(xiàn)[16]考慮了L(t)非全局正定且滿足條件(L)時(shí)，系統(tǒng)(2)同宿軌的存在性：

然而，當(dāng)W(t,u)=b(t)V(u)時(shí)，在L(t)非全局正定且在b(t)可變號的情形下，尚未得到同宿軌存在性的結(jié)論。為解決這個(gè)問題，本文運(yùn)用臨界點(diǎn)理論來研究系統(tǒng)(1)。

1 理論基礎(chǔ)

首先，令N1={t∈:b(t)>0},N2={t∈:b(t)≤0}，然后給出以下條件：

(Ⅰ)b(t)(t∈)是實(shí)數(shù)，，且存在n0∈使得b(n0)>0。

(Ⅲ)V∈C1(N,)，V(0)=0，且存在c0>0，R0>0使得

(Ⅳ)存在μ>2及a1>0使得

(Ⅵ)V(x)=V(-x),?x∈N。

2 主要結(jié)論

定理1 假設(shè)p(t)是N×N實(shí)對稱的正定矩陣，并且L(t)、b(t)和V滿足條件(L)和條件(Ⅰ)～條件(Ⅵ)，則系統(tǒng)(1)有無限多非平凡的同宿軌。

由條件(L)知，存在a3>0，使得當(dāng)t∈N1時(shí)，有

條件(L′)

此時(shí)系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

(3)

可知系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(3)的條件是等價(jià)的，因此有下面的引理。

引理1 u是系統(tǒng)(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)它是系統(tǒng)(3)的解。

3 變分框架

令

S={{u(t)}t∈:u(t)∈N,t∈};

由E的定義可知，對于任意的u,v∈E，有

(4)

因此，可在E上定義內(nèi)積

可知(E,〈·,·〉)是希爾伯特(Hilbert)空間，并且相應(yīng)的范數(shù)為

對任意的1≤q<+∞，令

lq(,；

它們的范數(shù)分別定義為

由文獻(xiàn)[17]引理2.2和文獻(xiàn)[18]引理2.1可知:對所有的2≤q≤+∞，E連續(xù)地嵌入到lq(,N)，即存在γq>0，使得

(5)

在E上定義泛函Φ為

(6)

下面證明Φ∈C1(E,)。

對所有的u∈E，存在N0∈使得當(dāng)>N0時(shí)，，因此由條件(Ⅲ)可知，。

因此,

(7)

下面證明Φ2∈C1(E,)。

令φ(θ)=Φ2(u+θh)，0≤θ≤1，?u,h∈E，由于V∈C1(E,)，

其中:0<ξt<1，則Φ2在E上是Gteaux可微的。

可知Φ2關(guān)于u有Gteaux微分算子(E的對偶空間)，且有

對任意的v=v(t)∈E，?ε>0，由于V∈C1(E,)，那么存在δ>0使得當(dāng)，進(jìn)而時(shí)

因此，可得

因此，Φ∈C1(E,)且

(8)

取k∈，h={h(t)}∈E使得h(k)≠0且對所有的t∈{k}，有h(t)=0，則由式(8)可得：

(9)

(10)

由k和l的任意性可知，Φ′(u)=0當(dāng)且僅當(dāng)

因此，u是Φ的一個(gè)臨界點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)u是系統(tǒng)(1)的解。

引理2 在定理1的條件下，Φ滿足(C)c條件。

證明 假設(shè)序列{uk}k∈?E使得當(dāng)k→+∞時(shí)Φ(uk)→c>0，〈Φ′(uk),uk〉→0。

首先證明{uk}k∈在E中有界。

由條件(Ⅲ)可知:

(11)

對足夠大的k，有

(12)

由于E的自反性，uk在E中存在弱收斂的子列，一般地，可假設(shè)子列仍為uk且其弱極限為u0。

由于

并定義E}，那么E是E的有限維子空間并且維數(shù)是2N。

令

顯然，vk={vk(t)}∈E，v0={v0(t)}∈E。

〈uk,h〉→〈u0,h〉， ?h∈E,

(13)

取h∈E，則〈vk,h〉→〈v0,h〉，即在E中有。由于E維數(shù)有限，根據(jù)有限維空間中強(qiáng)收斂和弱收斂的等價(jià)性可得，在E中有vk→v0，k→∞，從而在E中有vk→v0，k→∞，并且有

(14)

對足夠大的k，

由ε的任意性可得：

(15)

此外，由式(14)可得：

因此有

由ε的任意性、式(8)和式(13)可得：

〈Φ′(uk)-Φ′(u0),h〉→0,k→+∞, ?h∈E,

〈Φ′(uk) -Φ′(u0),uk-u0〉= 〈Φ′(uk),uk-u0〉≤

(16)

由式(15)和式(16)可得：

即在E中有uk→u0,k→+∞。證畢。

令{ej}是E的正交基，定義Xj=ej，

(17)

由文獻(xiàn)[19]可知，可以找到正整數(shù)m≥1，使得：

(18)

(19)

由式(6)、式(18)和式(19)，有：

證明 反證法。

矛盾，故引理4得證。

引理5 令X是Banach空間，X=Y⊕Z，其中Y是有限維的。若I∈C1(X,)滿足(PS)條件，且滿足：

(I1) I(0)=0,I(-u)=I(u)；

則I有一個(gè)無界的臨界值序列。

4 主要結(jié)論的證明

[1] GUO Z,YU J.Existence of periodic and subharmonic solutions for second-order superlinear difference equations[J].Science in China(series a),2003,46(4):506-515.

[2] RODRIGUEZ J,ETHERIDGE D L.Periodic solutions of nonlinear second-order difference equations[J].Advances in difference equations,2005,2005(2):173-192.

[3] XUE Y F.Existence and multiplicity of periodic solutions for second-order discrete Hamiltonian systems[J].Journal of southwest China normal university,2006,31(1):7-12.

[4] XUE Y,TANG C.Existence of a periodic solution for subquadratic second-order discrete Hamiltonian system[J].Nonlinear analysis,2007,67:2072-2080.

[5] BIN H,YU J,GUO Z.Nontrivial periodic solutions for asymptotically linear resonant difference problem[J].Journal of mathematical analysis and applications,2006,322(1):477-488.

[6] AGARWAL R P,PERERA K,O’REGAN D.Multiple positive solutions of singular and nonsingular discrete problems via variational methods[J].Nonlinear analysis,2004,58(1/2):69-73.

[7] AGARWAL R P,PERERA K,O’REGAN D.Multiple positive solutions of singular discretep-Laplacian problems via variational methods[J].Advances in difference equations,2005,2005(2):93-99.

[8] YU J,GUO Z,ZOU X.Periodic solutions of second order self-adjoint difference equations[J].Journal of the London mathematical society,2005,71(1):146-160.

[9] YU J,GUO Z.Boundary value problems of discrete generalized Emden-Fowler equation[J].Science in China(series a),2006,49(10):1303-1314.

[10]YUJ,GUOZ.OnboundaryvalueproblemsforadiscretegeneralizedEmden-Fowlerequation[J].Journalofdifferentialequation,2006,231(1):18-31.

[11]LIANGH,WENGP.Existenceandmultiplesolutionsforasecond-orderdifferenceboundaryvalueproblemviacriticalpointtheory[J].Journalofmathematicalanalysisandapplications,2007,326(1):511-520.

[12]MAM,GUOZ.Homoclinicorbitsandsubharmonicsfornonlinearsecondorderdifferenceequation[J].Nonlinearanalysistheorymethods&applications,2007,67:1737-1745.

[13]MAM,GUOZ.Homoclinicorbitsforsecondorderself-adjointdifferenceequation[J].Journalofmathematicanalysisandapplications,2006,323(1):513-521.

[14]YUJ,DENGX,GUOZ.PeriodicsolutionsofadiscreteHamiltoniansystemwithachangeofsigninthepotential[J].Journalofmathematicanalysisandapplications,2006,324(2):1140-1151.

[15]TANGX,CHENJ.InfinitelymanyhomoclinicorbitsforaclassofdiscreteHamiltoniansystems[J].Advancesindifferenceequations,2013,2013(1):242.

[16]DENGX,CHENGG.HomoclinicorbitsforsecondorderdiscreteHamiltoniansystemswithpotentialchangingsign[J].Actaapplicandaemathematicae,2008,103:301-314.

[17]LINX,TANGX.ExistenceofinfinitelymanyhomoclinicorbitsindiscreteHamiltoniansystems[J].Journalofmathematicanalysisandapplications,2011,373(1):59-72.

[18]TANGX,LINX.InfinitelymanyhomoclinicorbitsfordiscreteHamiltoniansystemswithsubquadraticpotential[J].Journalofdifferenceequationsandapplications,2013,19(5):796-813.

[19]WILLEMM.Minimaxtheorems[M].Boston:Birkh?user,1996.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51179146)；教育部人文社會科學(xué)基金項(xiàng)目(12YJAZH022)

陳夢迪(1990-)，女，河南許昌人，碩士生；吳海英(1966-)，女，通信作者，湖北武漢人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榉汉治龊蛻?yīng)用統(tǒng)計(jì).

2016-09-11

1672-6871(2017)06-0074-08

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.015

O177.91

A