凌亞濤 趙爭鳴 楊 祎 李帛洋 袁立強

（清華大學(xué)電機系 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國家重點實驗室 北京 100084）

考慮非理想器件模型的電力電子系統(tǒng)狀態(tài)方程分析法

凌亞濤 趙爭鳴 楊 祎 李帛洋 袁立強

（清華大學(xué)電機系 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備安全控制和仿真國家重點實驗室 北京 100084）

針對目前電力電子仿真軟件存在的對功率開關(guān)器件電磁瞬態(tài)過程仿真不夠準確，強剛性電路引起數(shù)值仿真計算發(fā)散等問題，提出一種基于量化狀態(tài)系統(tǒng)（QSS）的離散狀態(tài)事件驅(qū)動（DSED）仿真分析方法。該方法需要加入自動識別電力電子系統(tǒng)開關(guān)過程以及根據(jù)電路拓撲和所處狀態(tài)自動列寫狀態(tài)方程的相關(guān)算法。針對該需求提出一種基于圖論方法的狀態(tài)方程及輸出方程提取分析方法。首先，經(jīng)理論分析得到，將選用的器件模型代入電路可以得到狀態(tài)方程的標準形式；進而，提出電力電子系統(tǒng)電路的參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣程式化列寫方法，并基于此方法針對開關(guān)電路每一次開關(guān)器件切換都需要重新列寫狀態(tài)方程這一特點進行了相關(guān)分析。最后，對幾個典型電力電子系統(tǒng)電路進行仿真計算，結(jié)果證明了該提取分析方法的有效性。

狀態(tài)方程分析法 器件非理想特性 器件模型 離散狀態(tài)事件驅(qū)動 仿真性能

0 引言

目前，各種商用電力電子仿真軟件（如Matlab、PSpice、PSIM等）已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用。但在實際應(yīng)用中，發(fā)現(xiàn)這些仿真軟件都存在兩個問題：①考慮功率開關(guān)器件非理想模型則計算時間非常長；②存在強剛性電路引起數(shù)值仿真計算發(fā)散。為解決這些問題，作者所在課題組提出了一種基于量化狀態(tài)系統(tǒng)（Quantized State System, QSS）離散狀態(tài)事件驅(qū)動（Discrete State Event Drive, DSED）仿真分析方法。

DSED方法中的核心數(shù)值算法為QSS算法，關(guān)于QSS算法的收斂性、準確度、算法穩(wěn)定性等，已有不少文獻進行了研究[1-6]，本文不再贅述。

電力電子系統(tǒng)建模一般是基于等效電路建立狀態(tài)空間方程組。當(dāng)采用理想開關(guān)模型時，即為二值電阻模型：通態(tài)為小值電阻，阻態(tài)為大值電阻；當(dāng)考慮非理想開關(guān)模型時，則需采用較復(fù)雜的開關(guān)等效電路模型。不管采用哪種模型，所建立的電力電子系統(tǒng)模型均為狀態(tài)空間方程組，如

所采用的核心數(shù)值算法QSS仍然為求解一階常微分方程組（Ordinary Differential Equation, ODE）的算法。由于電力電子系統(tǒng)中電感電容較多，特別在考慮開關(guān)器件非理想模型時，電路中的電感電容成倍增加，這給列寫?yīng)毩⒌臓顟B(tài)空間方程組以及構(gòu)造狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣造成很大的麻煩：難以辨別獨立狀態(tài)方程真?zhèn)?，且人工分析工作量很大?/p>

不少文獻就如何系統(tǒng)有序地提取電路獨立狀態(tài)方程給出了各種方案，比較經(jīng)典的做法是利用網(wǎng)絡(luò)圖論，選取電容電壓、電感電流作為狀態(tài)變量[7-10]。也有方案不依賴圖論，如文獻[11]基于能量守恒原理，以節(jié)點電位和節(jié)點電位的積分共同作為狀態(tài)變量來構(gòu)造電路的狀態(tài)方程。雖然給出的狀態(tài)空間方程的系數(shù)矩陣很方便求取，但是為了得到標準形式的狀態(tài)方程，該方法也需要對一個對稱矩陣求逆。此外，在文獻[11]提供的方法中，狀態(tài)變量數(shù)為節(jié)點數(shù)的兩倍，并且需要求解出所有節(jié)點電位的積分值，沒有直接的意義；同時沒有考慮電力電子電路中存在互感的情況，沒有給出電路所有支路電量輸出方程的計算方法或表達式。

為解決在考慮器件非理想模型時自動列寫狀態(tài)方程分析的問題，本文提出一種基于圖論方法的狀態(tài)方程及輸出方程提取分析方法，該方法考慮了電路包含所有常見元件（含互感）的情況，也給出了描述電路所有支路電量的輸出方程計算方法和表達式。首先對所選用器件模型進行簡要介紹，進一步將該折線模型轉(zhuǎn)化為方便提取狀態(tài)方程的等效子電路形式。然后重點驗證在應(yīng)用器件的非理想模型時，所提的圖論分析方法可以獲得整個電力電子電路標準形式的狀態(tài)空間方程和輸出方程。本文對該網(wǎng)絡(luò)分析方法存在的問題也進行了分析歸納，給出了一些解決思路和方法，并在器件非理想特性和線路雜散參數(shù)的情況下，分析了典型的電力電子電路仿真波形和仿真性能。最后對所提狀態(tài)方程提取與分析方法進行了總結(jié)。

1 開關(guān)器件的非理想模型

以絕緣柵雙極型晶閘管（Insulated Gate Bipolar Transistor, IGBT）器件非理想模型為例，在實現(xiàn)的方便性和結(jié)果的準確性兩者之間折中，選擇該器件的行為模型[12-14]。本文對IGBT的三端電容模型和折線模型這兩種行為模型進行分析。

1.1 IGBT三端電容模型

IGBT三端電容行為模型如圖1所示[14]。它將IGBT開通和關(guān)斷瞬態(tài)過程各劃分為五個階段，在各個階段內(nèi)，這些元件值均為常數(shù)。但Rge、Cgc、Rce這三個元件在不同階段有不同的取值，如柵極電阻值Rge在關(guān)斷瞬態(tài)一般大于開通瞬態(tài)。Imos為柵極MOS電流，表達式為

式中，Vth為IGBT閾值電壓；KP為計算系數(shù)。式（2）三個式子依次表征IGBT工作在截止、飽和、放大區(qū)。

圖1 IGBT的三端電容行為模型Fig.1 Three-terminal capacitor behavioral model for IGBT

1.2 IGBT折線模型

圖2為IGBT關(guān)斷過程中的折線模型，其中，vce為IGBT與二極管換流時的端電壓；ic為集電極電流；vge為柵射極電壓；Vcesat、VDC、Vmax、Vg(on)、Vg(off)、Vml、Vth、IL、Itail分別為通態(tài)飽和壓降、斷態(tài)承壓、關(guān)斷尖峰電壓、柵極開通、關(guān)斷電壓、米勒電壓、閾值電壓、負載電流和拖尾電流；t0～t5為6個時間節(jié)點；三條曲線（vce、ic、和vge）以各節(jié)點之間的線性、常數(shù)或指數(shù)衰減的形狀表征。

圖2 IGBT關(guān)斷過程的折線模型Fig.2 Piecewise linear behavioral model for IGBT’s turn-off transient

為方便提取電路的狀態(tài)空間和輸出方程，折線模型等效子電路須滿足基爾霍夫電流、電壓定律。以圖3所示半橋逆變器為例進行分析和說明。

圖3 單相逆變電路中器件折線模型的子電路實現(xiàn)Fig.3 Single-phase inverter and its sub-circuit implementation equivalent to the piecewise linear model

圖3a中的負載電流IL正由S1換流至VD2。為使上管端電壓與圖2中 Vce相符，根據(jù)替代定理，將S1視作電壓源，為使電流與圖2中Ic相符，將VD2視作電流源。電壓、電流值可由RLC電路給定，如圖3b所示。

圖3b中的Ni和Bj分別表示節(jié)點i和支路j，具體將在2.4節(jié)進行介紹與分析。對下半部左上角子電路進行分析，下標1表示與S1相關(guān)，電容Cge1端電壓表征S1的Vge。在圖2中t0～t1時段內(nèi)，S1的Vge從Vg(on)指數(shù)衰減至Vml，于是可選擇柵極參數(shù)（Vge1、Rge1、Cge1）及Cge1端電壓初值，使Cge1端電壓等于S1管中的Vge。

2 考慮非理想器件模型電路狀態(tài)方程提取

本節(jié)參考文獻[7-10,15,16]，利用電網(wǎng)絡(luò)分析法，對電路狀態(tài)方程和輸出方程提取方法進行分析與推導(dǎo)。重點是將第1節(jié)中的兩種模型代入電路，分析并驗證該提取方法可得到標準形式狀態(tài)方程。提出電路的參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣的概念，編寫提取狀態(tài)方程的程序，給出程序流程步驟和應(yīng)用實例。

2.1 電路狀態(tài)方程的系統(tǒng)提取方法

推導(dǎo)狀態(tài)方程的關(guān)鍵是確定獨立電容電壓和電感電流支路。圖4給出了電路存在非獨立狀態(tài)變量的典型情況。圖4a為只含電壓源和電容的回路，顯然C1和C2的端電壓中只有一個可以作為獨立狀態(tài)變量。同樣地，圖4b中L1和L2的電流中只有一個可以作為獨立狀態(tài)變量。選取出獨立狀態(tài)變量可以簡化狀態(tài)方程，文獻[9,10]選取的方法是在網(wǎng)絡(luò)中選一棵規(guī)范樹（normal tree）。規(guī)范樹的選擇依賴于對關(guān)聯(lián)矩陣Qb的操作，將Qb列的順序從左到右取為電壓源、電容、電阻、電感、電流源，通過作初等行變換將Qb變換為階梯形矩陣，從而可方便地找到所有線性無關(guān)的列，這些列對應(yīng)的支路即構(gòu)成規(guī)范樹?？梢宰C明，規(guī)范樹的樹中電容電壓和樹余中電感電流構(gòu)成獨立狀態(tài)變量向量，證明見附錄。

圖4 電路中存在非獨立狀態(tài)變量的典型情況Fig.4 Typical conditions where dependent state variables exist in circuits

電路元件分為八類：樹支電壓源、電容、電阻、電感、連支電流源、電感、電阻和電容。基爾霍夫電流定律、電壓定律以及支路元件端電壓-電流關(guān)系可以完整描述電路所有電量的關(guān)系，即

式中，D、P分別為基本割集矩陣、回路矩陣，矩陣中的列順序按照上述元件分類順序排列，附錄中對明D、P的表達式進行了說明；i、u分別為各支路電流和電壓列向量，元素排列順序與D、P相同；矩陣I為單位陣；下標T、L分別表示樹支和連支；下標E、C、R、L、J分別表示電壓源、電容、電阻、電感、電流源；上標T表示矩陣轉(zhuǎn)置；RT、CT、GL、CL、LTT、LTL、LLT、LLL分別為樹支電阻、樹支電容、連支電導(dǎo)、連支電容、樹支間、樹支與連支間、連支與樹支間、連支間電感值（含自感和互感）的矩陣。

整理式（3）～式（5）可得到狀態(tài)方程為

值得注意的是：D中的F34、F43、F44總為零矩陣。例如P中-表示樹中電感支路在樹余電阻支路形成回路中分布情況，而在規(guī)范樹的選取過程中導(dǎo)致樹余電阻只可能與樹中電壓源、電容或電阻支路形成回路，所以-總為零矩陣。

2.2 考慮器件行為模型的電路狀態(tài)方程

本節(jié)將把第1節(jié)中的兩種行為模型代入電路中得到標準形式狀態(tài)方程。

2.2.1 考慮三端電容模型的狀態(tài)方程

式（6）所示狀態(tài)方程存在輸入源導(dǎo)數(shù)項。在三端電容模型中，Imos作為iJL中的元素處理。當(dāng)IGBT工作在飽和區(qū)時，Imos的導(dǎo)數(shù)為

式中，Vge、Vgc均為獨立狀態(tài)變量。

考慮電路只含一個IGBT時，若式（6）中B1為非零矩陣，則式（6）可整理為式中，B1M為B1對應(yīng)Imos的列；B、iJ′L為將Imos提到等號左側(cè)后B1、IJL中剩下的部分。

對式（8）求解的每一步長中，導(dǎo)數(shù)項系數(shù)中Vge、Vgc均取上一個步長計算結(jié)果，于是在DSED每一個計算步長中，對式（8）整理得狀態(tài)方程

然后，對式（9）中的矩陣′M求逆。當(dāng)電路具有一定規(guī)模，比如對于一個三相半橋逆變電路，考慮IGBT三端電容模型、母線雜散電感和三相輸出電感等參數(shù)，方陣M′階數(shù)約為22。若每個計算步長都需要對M′進行求逆，則求解效率會受到很大影響。當(dāng)電路規(guī)模更加大時，M′階數(shù)更高，對M′求逆會導(dǎo)致求解程序的效率更低。

可以證明矩陣B1是零矩陣。對電路建模，需考慮母線電容的等效串聯(lián)電阻（Equivalent Series Resistance, ESR），于是采用三端電容模型時，電路總不存在只含電壓源和電容的回路，各電壓源和電容都屬于規(guī)范樹。P中-FiT4（i=1, 2, 3, 4）表示各樹支路在樹余電容形成回路中的分布，均為空陣。所以矩陣B1左上角的子陣是空陣。-F4T1表示樹支電感支路在電流源連支形成回路中的分布，連支電流源指Imos。由于每個連支與樹支只形成一個回路，而Imos已與Cge、Cgc兩樹支形成回路，所以-F4T1是零矩陣。從而可知，B1是零矩陣，式（6）是標準形式的狀態(tài)方程，當(dāng)式（6）寫成式（1）的形式時，系數(shù)矩陣為AS、BS。

2.2.2 考慮折線模型的狀態(tài)方程

考慮折線模型時，同樣也不存在只含電壓源和電容的回路，B1左上角子陣應(yīng)當(dāng)是空陣。-F4T1表示樹支電感支路在電流源連支形成回路中的分布，以圖3為例，電流源IVS1已與CVS1樹支形成回路，所以-是零矩陣。從而可知，B1是零矩陣，式（6）是標準形式的狀態(tài)方程。

值得注意的是：以圖3為例，將上、下管分別當(dāng)作電壓、電流源，則Vs1、Is2出現(xiàn)在式（6）輸入向量中，同時也是狀態(tài)變量。每一步計算時，先計算Vs1、Is2等狀態(tài)量，再將其代入剩下的狀態(tài)方程進行計算。

2.3 電路輸出方程的系統(tǒng)提取方法

提取電路輸出方程具有重要意義，一方面可以了解所有支路的電量情況，同時也是仿真解算的必要條件。例如，圖5為二極管的一種等效電路模型，當(dāng)用其對實際二極管建模時，就需知道二極管所在支路的電壓電流值，以判斷功率二極管所處開關(guān)狀態(tài)。

圖5 二極管的一種等效電路模型Fig.5 One type of equivalent circuit model for diode

輸出方程按元件分類，每一類按樹支電流、電壓和連支電流、電壓的順序組織，可得式（10）。

附錄給出了電容支路輸出方程系數(shù)矩陣。與前述分析類似，用本文兩種器件模型時，可證明輸入源導(dǎo)數(shù)項系數(shù)B1C、B1L、B1EJ均為零矩陣，輸出方程總是狀態(tài)變量與輸入量的線性組合。

2.4 系統(tǒng)提取狀態(tài)方程的程序與應(yīng)用

本節(jié)將定義電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣，給出提取含器件非理想模型電路狀態(tài)方程和輸出方程的程序步驟，并給出考慮三端電容模型的Buck電路和考慮折線模型的逆變電路這兩個算例。

2.4.1 參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣及步驟

根據(jù)2.1～2.3節(jié)，為獲得電路狀態(tài)和輸出方程，須知道電路結(jié)構(gòu)（Fij（i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3, 4）子矩陣）和各支路元件信息。電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S某一行向量為

式中，c1～c6為用于示意的某一行6列數(shù)。這6列的定義如下：c1為該行對應(yīng)的支路編號，按1, 2, 3…依次遞增；c2為c1支路出點編號；c3為c1支路入點編號；c4為c1支路元件類型，0表示獨立電壓源，1表示獨立電流源，2表示電容，3表示電阻，4表示電感，5表示互感；c5為c1支路的元件參數(shù)值；c6為與c1支路電感存在互感的一個電感支路編號。

需將電路當(dāng)有向圖處理，先給電路的每個節(jié)點、支路各按1、2、3連續(xù)編號，為各支路規(guī)定參考方向，按照編號和參考方向得到S。提取狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣的程序以矩陣S為輸入，程序步驟見附錄。

2.4.2 算例1（Buck電路）

圖6為Buck電路，其中Ni、Bj分別表示節(jié)點i和支路j。N2與N4之間是圖5的二極管等效電路，Ls為雜散電感，LO、RO為阻感性負載。采用IGBT的三端電容模型，本例僅為示意，除了斷態(tài)理想二極管等效電阻RDM取為1MΩ，圖6中其他電阻、電容、電感均分別取值為1Ω、1F、1H。

獲取圖6中的矩陣S后，將S代入程序，即可得到式（6）寫成式（1）形式后的系數(shù)矩陣，即

圖6 對Buck電路的編號Fig.6 Numbering for Buck circuit

式中，狀態(tài)變量按5、8、11、14支路電容電壓和2、7支路電感電流排列。可驗證式（12）的正確性。此處未給出輸出方程的系數(shù)矩陣。式（6）中對源求導(dǎo)的系數(shù)矩陣B1計算為零矩陣，與理論分析一致，此處也未給出。

2.4.3 算例2（全橋逆變電路）

將圖3b的狀態(tài)方程寫成式（1）形式后的系數(shù)矩陣為

式中，狀態(tài)變量按11、13、15支路電容電壓和7、19支路電感電流排列。為了示意，所有元件參數(shù)值均取為1。此處未給出輸出方程的系數(shù)矩陣，且式（6）中對源求導(dǎo)的系數(shù)矩陣B1在這里計算也為零矩陣，同樣未給出。

2.4.4 算法的優(yōu)缺點分析

該狀態(tài)方程提取與分析法，可較方便地獲得狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣，但仍然存在兩個問題：①前文提及的對矩陣M求逆；②系統(tǒng)剛性。

關(guān)于對矩陣M求逆，觀察式（6）可知，只有電容值改變才會引起M變化，而只有電阻（三端電容模型中的Rge、Rce和折線模型中子電路的電阻）改變時，程序可以使用上一步長M的逆。從這個角度出發(fā)，實現(xiàn)折線模型各階段形狀時，需盡量保持圖3b中Cge1、Cvs1、Cge2、Lcs2不變，而只是改變Rge1、Rvs1、Rge2、Rcs2。

采用這兩種模型時，各電壓源和電容都在規(guī)范樹中，所以連支電容矩陣CL為零矩陣。矩陣M左上角的子矩陣是一個對角矩陣，右下角子矩陣是一個對稱矩陣，所以對M求逆可以使用一些優(yōu)化算法。與文獻[11]的算法比較，為獲得標準形式狀態(tài)方程，后者也需要對一個對稱矩陣K1求逆，如

因為K1右下角是單位子陣，KC是一個對稱矩陣。所以K1維數(shù)是電路節(jié)點數(shù)的2倍，M的維數(shù)是狀態(tài)變量數(shù)?？梢姡瑸榈玫綐藴市问降臓顟B(tài)方程，不可避免地需對這種類型的矩陣求逆。

至于系統(tǒng)剛性問題，當(dāng)電路中元件參數(shù)值相差較大時，狀態(tài)方程的剛性問題就會產(chǎn)生。比如，建模時將二極管視作二值電阻，各二極管開通關(guān)斷時的阻值相差巨大，這會加劇系統(tǒng)剛性，該問題可在數(shù)值算法方面嘗試克服，本專題其他文獻針對此問題提出了更為適用系統(tǒng)剛性的后向DSED[17]和線性隱式DSED等方法，本文不再贅述。

3 DSED方法電路解算算例

本節(jié)結(jié)合DSED方法獲得仿真計算波形，用以說明所提方法的有效性及優(yōu)勢。

仿真對象是如圖7所示的三相兩電平逆變器，用本文提出的狀態(tài)和輸出方程提取方法，列寫電路參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S。此時式（1）中的系數(shù)矩陣AS、BS維數(shù)分別為17×17、17×7。此處只說明其中的狀態(tài)變量按3、6、8、10、14、17、19、21、26、29、32、34支路電容電壓和2、24、36、40、41支路電感電流排列。

圖7 三相兩電平逆變器仿真模型Fig.7 Simulation models for three-phase two-level circuit

在提取狀態(tài)方程和輸出方程的基礎(chǔ)上，運用DSED中的ODE算法得到了三相兩電平逆變電路一個開關(guān)周期的仿真波形，如圖8所示。其中，圖8a為未采用DSED方法求解的電壓、電流波形，圖8b為采用了適用于系統(tǒng)剛性的ode23tb算法。各算法在三相兩電平電路單開關(guān)周期仿真中的性能比較見表1?？梢?，該狀態(tài)方程提取方法與DSED數(shù)值算法結(jié)合后，大大提高了電力電子電路求解的有效性和快速性。值得一提的是，表1中的仿真總耗時將狀態(tài)方程提取和數(shù)值算法計算的耗時都計入在內(nèi)，而前者耗時不到0.01s，對總耗時的影響很小。

圖8 三相兩電平逆變電路的兩種算法仿真波形Fig.8 Simulation waveforms with two algorithms for three-phase two-level circuit

表1 各算法在三相兩電平電路單開關(guān)周期仿真中的性能比較Tab.1 Simulation comparison of various algorithms for three-phase two-level converter in one switching period

4 結(jié)論

1）本文介紹了IGBT的兩種行為模型，并針對折線模型提出了其對應(yīng)的等效子電路實現(xiàn)方法。提出了用網(wǎng)絡(luò)圖論提取狀態(tài)方程的方法，推導(dǎo)輸出方程的表達式，給出提取狀態(tài)方程和輸出方程的程序步驟。證明了將IGBT兩種行為模型代入電路均可以得到標準形式的狀態(tài)方程，且輸出方程也是輸入源和狀態(tài)變量的線性組合。采用Buck和全橋逆變電路，驗證了當(dāng)考慮兩種行為模型時，提取狀態(tài)和輸出方程程序的正確性。

2）本文分析了狀態(tài)方程分析法存在的兩個問題：需要頻繁對一定規(guī)模矩陣求逆，對含器件數(shù)目較大的電路仿真計算的效率，是很大的挑戰(zhàn)；系統(tǒng)剛性問題，并給出了部分解決方法和思路。進一步將基于圖論的電路方程提取方法與DSED中ODE算法結(jié)合，用于計算電力電子電路。但是第3節(jié)中的算例只是對一個開關(guān)周期進行了仿真，所以提取狀態(tài)方程的耗時很小。而對更大規(guī)模電路進行更長時間仿真時，狀態(tài)方程提取的耗時可能對仿真速度產(chǎn)生一定影響，還需進一步研究、優(yōu)化。

附 錄

1. 關(guān)于樹中電容電壓和樹余中電感電流構(gòu)成獨立狀態(tài)變量的證明

規(guī)范樹的選取基于網(wǎng)絡(luò)分析中一個基本結(jié)論：一個n節(jié)點有向圖的關(guān)聯(lián)矩陣Qb中n-1列對應(yīng)支路構(gòu)成一棵樹的充要條件是Qb中這n-1列線性無關(guān)。分析分兩部分進行：

（1）先分析電容支路。由2.1節(jié)規(guī)范樹的選取過程及選取前Qb列的順序可知：①樹中電壓源和電容不構(gòu)成回路，所以樹中各電容電壓相互獨立；②樹余中各電容支路都與樹中電壓源或電容構(gòu)成回路，因此它們都可用樹中電壓源和電容支路電壓線性表示。

（2）再分析電感支路。①任一樹支電感電流iL可唯一確定一個割集CS。CS中除iL外其他連支如果含電容或電阻，則這些連支電容、電阻就會與iL及其他一些支路構(gòu)成回路。但是由2.1節(jié)規(guī)范樹的選取過程可知，連支電容、電阻都只能與樹中非電感支路形成回路。因此，任一樹支電感電流iL只能與樹余中電感或電流源構(gòu)成割集，即任意樹支電感電流都可用樹余中電感或電流源電流線性表示。②不存在只含樹余中電感或電流源的割集，否則規(guī)范樹的所有支路將必須位于該割集劃出兩子圖中的一個子圖Gsub，而樹的定義決定了Gsub已經(jīng)包含網(wǎng)絡(luò)所有節(jié)點，這顯然是矛盾的。

根據(jù)上述兩部分分析可知：樹余中電容電壓可由樹中電壓源和電容電壓線性表示，樹中電感電流可由樹余中電流源和電感電流線性表示，樹中電容電壓和樹余中電感電流構(gòu)成了完備的獨立狀態(tài)變量。

2. 獲得電路狀態(tài)方程和輸出方程系數(shù)矩陣的程序步驟

（1）將原電路中IGBT用三端電容或折線模型等效子電路替換。按照2.4.1節(jié)的方式，對所有節(jié)點、支路進行編號，對所有支路規(guī)定參考方向，列出參數(shù)結(jié)構(gòu)矩陣S 。

（2）根據(jù)S中第四列元素類型，提取電路的關(guān)聯(lián)矩陣Qb，Qb的列從左向右依次對應(yīng)電壓源、電容、電阻、電感、電流源。根據(jù)2.1節(jié)的方法選規(guī)范樹，并將Qb中列的順序重新整理得到Q，Q的列從左向右依次對應(yīng)規(guī)范樹電壓源、電容、電阻、電感和連支電流源、電感、電阻、電容。

（3）根據(jù)列分屬于樹支、連支，將第2節(jié)中基本割集矩陣D和基本回路矩陣P、Q分別寫成如下分塊形式。

根據(jù)第2節(jié)中對D、P的定義，根據(jù)Q求解出D、P。DT為階數(shù)等于樹支數(shù)的單位矩陣；PL為階數(shù)等于連支數(shù)的單位矩陣。

至此，得到了系數(shù)矩陣中所有的Fij（i,j=1, 2, 3, 4）矩陣。

（4）根據(jù)步驟（2）和（3）的結(jié)果，再獲取參數(shù)矩陣CT、CL、LTT、LTL、LLT、LLL、RT、CL。

（5）將結(jié)構(gòu)矩陣和參數(shù)矩陣代入狀態(tài)方程和輸出方程的系數(shù)矩陣表達式。

3. 關(guān)于電容支路輸出方程中系數(shù)矩陣的表達式

先將式（6）整理為

其中

式中，系數(shù)矩陣M-1A的行和列均按樹支電容支路數(shù)和連支電感支路數(shù)來劃分子塊；系數(shù)矩陣M-1B、M-1B1的行均按樹支電容支路數(shù)和支路電感支路數(shù)來劃分，列均按照電壓源數(shù)和電流源數(shù)來劃分子塊。

將式（10）中關(guān)于電容支路輸出方程的系數(shù)矩陣都劃分為4×2的分塊矩陣，即

這些分塊矩陣的維數(shù)都可由式（10）和式（A5）對照獲得。劃分的分塊矩陣都可用式（A4）中M-1A、M-1B、M-1B分塊子矩陣來表示，即1

式中，AC21為單位矩陣；AC22、BC21、BC22、B1C21、B1C22、AC42、BC42、B1C41、B1C42為零矩陣。

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（編輯 張玉榮）

State Space Method to Analyze the Power Electronics Circuits Considering Devices’ Non-Ideal Models

Ling Yatao Zhao Zhengming Yang Yi Li Boyang Yuan Liqiang
（State Key Laboratory of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipments Deptartment of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

At present, there are some problems in the simulation software of power electronics, such as rough simulation waveforms for device switching transients, non-convergence for stiff systems etc. Hence, our group has proposed an analysis method—discrete state event drive (DSED) based on quantized state system (QSS). In this method, the algorithm based on circuit topology and state is integrated that can identify the switching states of devices and extract state space equations. Thus, a graph-theory-based algorithm that can extract the state and output equations is proposed. It is proved theoretically that the state space equations of power electronic systems are always in norm-form. Furthermore, parameter-structure matrix is proposed. Some discussions are carried out to the problem that every time a switch alters its status, the coefficient matrices of state space equations must be recalculated. Finally, simulation results of classical circuits have verified the proposed method.

State space analysis method, device non-ideal characteristics, device models, discrete state event drive (DSED), simulation performance

TM46

凌亞濤 男，1992年生，博士研究生，研究方向為電力電子仿真算法。

E-mail： 1546517440@qq.com（通信作者）

趙爭鳴 男，1959年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為大容量電力電子變換系統(tǒng)、光伏發(fā)電、電機控制、無線電能傳輸?shù)?。E-mail： zhaozm@tsinghua.edu.cn

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.170446

國家自然科學(xué)基金重大項目資助（51490680，51490683）。

2017-04-18 改稿日期 2017-05-15