李朝陽

（莆田礪青中學(xué),福建莆田351100）

小升初數(shù)學(xué)銜接教學(xué)探微
——以人教版七（上）應(yīng)用題及幾何規(guī)律題教學(xué)為例

李朝陽

（莆田礪青中學(xué),福建莆田351100）

針對(duì)小升初數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生感到較難的兩大知識(shí)點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題、幾何規(guī)律題進(jìn)行教學(xué)研究，用比較通俗易懂的方法引導(dǎo)學(xué)生理解掌握七（上）中的應(yīng)用題及幾何規(guī)律題：配套問題可以理解為數(shù)量比問題；工程問題、行程問題可以理解為花錢問題；銷售問題可以理解為方程“利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”；分段問題理解為真分段與假分段；點(diǎn)鐘問題應(yīng)理解為分針與時(shí)針的追及問題，而這里研究的幾何規(guī)律題都與公式n（n-1）有關(guān)。

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小升初；銜接教學(xué)；應(yīng)用題；幾何規(guī)律題

小學(xué)升入初中,數(shù)學(xué)學(xué)科是大多數(shù)學(xué)生轉(zhuǎn)折的一個(gè)學(xué)科［1］，在應(yīng)用題與規(guī)律題方面，學(xué)生尤為畏懼，往往成為小升初學(xué)生學(xué)習(xí)上的一個(gè)障礙，在教學(xué)上能給學(xué)生更好的解釋總結(jié)，對(duì)學(xué)生的理解掌握有積極作用，特做了歸納總結(jié)。

一、列方程解應(yīng)用題

（一）配套問題

配套問題可理解為數(shù)量關(guān)系問題。如：一批工人（w人）安排去加工某物，某物是由A、B兩部份組成，一個(gè)工人一天可生產(chǎn)Aa個(gè)、Bb個(gè)，其中m個(gè)A、n個(gè)B組成一套，則應(yīng)按排x人去生產(chǎn)A，求x？思考的時(shí)候我們可以把x個(gè)工人生產(chǎn)的A數(shù)量求出，（w-x）個(gè)工人生產(chǎn)的B數(shù)量求出，它們的比為m：n，即：（a·x）:［（w-x）·b］=m：n，最后列方程時(shí)把它寫成積的形式：n·a·x=m·（w-x）·b，它就是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)量比問題。

（二）工程問題、行程問題

工程問題和行程問題都可以理解為花錢問題，思考模型為：小明有100元錢，今天花30元，明天花70元，就把這100元錢花完了，則30+70=100。

工程問題：一件工作甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做20天完成，甲先做2天后，甲、乙再合作天x完成，求x？可以理解為甲每天花（x+2）天，乙每天

行程問題：兩地相距1000米，甲的速度50米/分鐘、乙的速度40米/分鐘，甲、乙相向而行，x分鐘后還相距100米？可以理解為甲每天花錢50元，乙每天花錢40元，x天花了（1000-100=900）元，則可列方程：50x+40x=1000-100?；ㄥX的問題是學(xué)生的平時(shí)自已的親身體驗(yàn)，學(xué)生比較容易接受，把行程和工程問題往這方面引導(dǎo)可讓學(xué)生更容易理解掌握。

（三）銷售問題

銷售問題大部分題目都可以轉(zhuǎn)化成方程：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)。當(dāng)然，這里利潤(rùn)=利潤(rùn)率×進(jìn)價(jià)，售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折數(shù)/10。

例：一件衣服標(biāo)價(jià)120元，打八折后賣出還有5%的利潤(rùn)，求衣服進(jìn)價(jià)x元？

利用“利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)”來構(gòu)造方程為：利潤(rùn)=利潤(rùn)率×進(jìn)價(jià)=5%x；售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折數(shù)/10=120×8/10，易得方程：5%·x=120×8/10-x，從而得解。x天，最后把錢（單位1）都花完了。則可

（四）分段問題：

分段問題分為兩種：一種定義為假分段：分的幾段不獨(dú)立，隨數(shù)量的增加所有的價(jià)格都隨之改變。另一種定義為真分段：分的幾段獨(dú)立，隨數(shù)量的增加各分段的價(jià)格是獨(dú)立的。

假分段：某公園購(gòu)團(tuán)體票方法是：0-10人全票50元/人；10-30人團(tuán)購(gòu)打九折，票價(jià)45元/人；30-50人團(tuán)購(gòu)打八折，票價(jià)40元/人；50人以上團(tuán)購(gòu)打七折，票價(jià)35元/人。本班師生共同48人去公園游玩，如何購(gòu)購(gòu)票更合算？

分析：這種分段隨著人數(shù)的增加所有人的票價(jià)都下降，是屬于假分段。若用30-50人團(tuán)購(gòu)打八折購(gòu)票，需40×48=1920元；若用50人以上團(tuán)購(gòu)打七折購(gòu)票，購(gòu)票51張，需35×51=1785元，所以購(gòu)票51張（3張沒用到）反而更便宜。這種分段可能出現(xiàn)多買反而少付款的情況，而真分段是不會(huì)出現(xiàn)這種情況。

真分段：某地電價(jià)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是，每個(gè)月用0-200度，0.5元/度；每個(gè)月用200-500度，超過200度的部份0.6元/度；每個(gè)月用500度以上，超過500度的部份0.8元/度。某家單月用電300度，應(yīng)交電費(fèi)多少？某家單月用電x度，應(yīng)交電費(fèi)y元？

分析：各個(gè)分階是獨(dú)立的價(jià)格，是屬于真分段。300度包含兩個(gè)段，前200度0.5元/度，超過200度部份（300-200=100度）0.6元/度，則收的電費(fèi)是：200×0.5+（300-200）×0.6=160元。真分段才是今后我們學(xué)習(xí)的分段函數(shù)，如下：

（五）點(diǎn)鐘問題：

點(diǎn)鐘的分針與時(shí)針的運(yùn)動(dòng)可以理解成行程問題中的追及問題。因?yàn)闀r(shí)針與分針的速度比是1:12，時(shí)針走30°（1格），分鐘走360°（12格），時(shí)間過60分鐘；可以設(shè)時(shí)針走x°，則分針走12x°，而時(shí)針的1°對(duì)應(yīng)時(shí)間是兩2分鐘。

可先求度數(shù)，再乘以2轉(zhuǎn)成化成時(shí)間。

如圖1：3:00后過幾分鐘時(shí)針與分針重合?

圖1

分析：思考的時(shí)候可以設(shè)3:00后到時(shí)針與分針重合時(shí)時(shí)針走x°，則分針走12x°，重合時(shí)分針與時(shí)針走過的角度差為90°，則可列出方程：12x-x=90，從而很容易求出時(shí)鐘與分針重合時(shí)行走的角度，再乘以2轉(zhuǎn)化成時(shí)間。［2］

二、幾何規(guī)律題方面

（一）有關(guān)n條直線的最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題：（如圖2）

初看“2、3、4…”與“1、3、6…”似乎看不出個(gè)所以然來，我們可以換個(gè)角度來思考：2條線最多有1個(gè)交點(diǎn)、3條線最多有1+2=3個(gè)交點(diǎn)、4條線最多有1+ 2+3=6個(gè)交點(diǎn)……

直線條數(shù)234n

圖2 2.

（二）有關(guān)n點(diǎn)分得的最多線段條數(shù)問題（包括線段兩端點(diǎn)）：（如圖3）

點(diǎn)個(gè)數(shù)234n

可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，n（n-1）

圖3

（三）有關(guān)n條射線分得的最多角問題（射線包括角兩邊）：（如圖4）

射線條數(shù)234n

由圖3可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.

圖4

觀察（二）、（三）中的圖示會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們的數(shù)據(jù)、代數(shù)式都與（一）中的規(guī)律一樣：兩條線、一個(gè)交點(diǎn)；兩點(diǎn)、一條線段；兩條公共端點(diǎn)的射線、一個(gè)角，可以用一樣的思路來解這類規(guī)律題。

（四）在這里有必要指出，當(dāng)（二）中不包括線段兩端點(diǎn)、（三）中射線不包括角兩邊時(shí)規(guī)律如何呢？我們可以把上面的數(shù)據(jù)作如下變化：（如圖5、圖6）

可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.

所有角個(gè)數(shù)：1，3，6，分點(diǎn)個(gè)數(shù)（圖5）

圖5

其規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n+1.

初看這個(gè)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)與前面的規(guī)律不一樣，其實(shí)個(gè)規(guī)律只是不包括兩個(gè)端點(diǎn)（n少了2），所以在前面所得的規(guī)律中的n都加上2就得出代數(shù)式

圖6

這與（二）、（三）中的規(guī)律實(shí)際上只是數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系問題，前面（二）、（三）最后一個(gè)數(shù)加到（n-1），而（四）中最后一個(gè)數(shù)加到（n+1），致于思考和解答的方法都是一樣的。

（五）平面上有關(guān)n刀分得的最多塊餅問題：（如圖7）

切餅刀數(shù)（圖7）

圖7

規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n+1.

所有角個(gè)數(shù)：1，3，6

規(guī)律:1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+…+n.

最多分得塊數(shù)

如果能先理解等差數(shù)列加法（用結(jié)對(duì)子方法理解：1+100=101；2+99=101……共結(jié)成50對(duì)，若共有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最后一個(gè)數(shù)單獨(dú)可算半對(duì)，方法一樣適用），再加上上面的圖解分析，相信這些規(guī)律題就能“迎刃而解”了。［3］

最后，縱觀七（上）學(xué)生覺得較難的應(yīng)用題及規(guī)律題，我們?cè)诮虒W(xué)上可以盡可能的用他們以前學(xué)過的或生活中體驗(yàn)的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)來解釋，學(xué)生會(huì)更容易理解接受，當(dāng)他們能解決這些難題，不但在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上開了個(gè)好頭，而且能大大增加他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，對(duì)接下來的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有積極的影響。

［1］陳開春.小升初數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題的思考［J］.中學(xué)課程輔導(dǎo)（教學(xué)研究），2015（1）.

［2］王海明.試析七年級(jí)列方程解應(yīng)用題的瓶頸現(xiàn)象及對(duì)策［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版，2011（18）.

［3］李守霞.初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中運(yùn)用模型教學(xué)研究［J］.中國(guó)校外教育（中旬），2015（2）.

G633.6

A

1673-9884（2017）06-0050-03

2017-03-10

李朝陽，男，莆田礪青中學(xué)一級(jí)教師。