汪慕峰，韋篤取，羅曉曙，張 波，屈莉莉

(1.廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510610;3.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動化學(xué)院，廣東 佛山 528000)

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的混沌同步

汪慕峰1，韋篤取1，羅曉曙1，張 波2，屈莉莉3

(1.廣西師范大學(xué)電子工程學(xué)院，廣西 桂林 541004；2.華南理工大學(xué)電力學(xué)院，廣州 510610;3.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院自動化學(xué)院，廣東 佛山 528000)

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和多個體協(xié)調(diào)控制，通過設(shè)計網(wǎng)絡(luò)中互聯(lián)電動機節(jié)點之間的耦合函數(shù)，實現(xiàn)整個星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的漸進同步。從理論分析和數(shù)值仿真兩個方面，證明并驗證了該控制策略的有效性。提出的耦合函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、控制效果良好，對保證電動機傳動系統(tǒng)的協(xié)調(diào)同步運行具有較好的應(yīng)用參考價值。

電動機網(wǎng)絡(luò)；Lyapunov穩(wěn)定性理論；多個體協(xié)調(diào)控制；混沌同步；永磁同步電動機

0 引言

永磁同步電動機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)具有結(jié)構(gòu)簡單、效率高、體積小、高轉(zhuǎn)矩、高速度等顯著優(yōu)點，因而在工業(yè)生產(chǎn)自動化的各個領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用。近年來，永磁同步電動機的穩(wěn)定運行，特別是關(guān)于永磁同步電動機的混沌控制問題引起了人們的廣泛關(guān)注，提出了許多有效的控制方法[1-3]。另一方面，現(xiàn)代工業(yè)自動化生產(chǎn)過程，如紡織、冶金、造紙、灌裝液體藥品等，需要多臺電動機的協(xié)調(diào)來使生產(chǎn)得以正常運行，隨著嵌入式與計算機網(wǎng)絡(luò)測控等技術(shù)的發(fā)展，在運動控制、變頻調(diào)速控制與伺服控制等系統(tǒng)中，將各種電動機引入網(wǎng)絡(luò)控制的問題已成為了電動機傳動領(lǐng)域研究的一個熱點[4-5]。數(shù)量眾多的電動機互聯(lián)，在促進了自動化進程和提高了生產(chǎn)效率的同時，也使得電動機傳動系統(tǒng)變得越來越復(fù)雜，進而對電動機傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性的要求也越來越高。已有研究表明，單臺PMSM在某些參數(shù)及工作條件下會出現(xiàn)混沌行為，使電動機系統(tǒng)發(fā)生故障[1-〗5]，主要外在表現(xiàn)為轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的間歇振蕩、控制性能的不穩(wěn)定、突發(fā)性或陣發(fā)性的病態(tài)機電振蕩，系統(tǒng)不規(guī)則的電流噪聲等。當(dāng)電動機網(wǎng)絡(luò)中某臺或局部幾臺電動機由于混沌運動引發(fā)故障時，會通過積累、放大、擴散，對整個電動機傳動系統(tǒng)產(chǎn)生極強的破壞力，并嚴(yán)重影響電動機網(wǎng)絡(luò)的安全可靠運行[6-7]。而混沌同步是指系統(tǒng)的軌道收斂于系統(tǒng)軌道的同一值，使系統(tǒng)之間始終保持步調(diào)一致。因此，提出控制策略實現(xiàn)復(fù)雜電動機網(wǎng)絡(luò)中的混沌同步，對電機傳動系統(tǒng)整體的穩(wěn)定運行具有重要理論價值和實際應(yīng)用價值。

近年來，多個體協(xié)調(diào)控制的研究引起了眾多領(lǐng)域?qū)W者的興趣，如無線傳感器網(wǎng)絡(luò)[8]、多機器人系統(tǒng)[9-10]、無人駕駛飛機[11]、智能交通[12]等。作為多個體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制中最基本的問題之一，一致性問題受到了科研工作者的廣泛關(guān)注。在多個體系統(tǒng)中，一致性是指空間分布的多個個體在沒有中央?yún)f(xié)調(diào)控制或者全局通信的情況下，個體之間通過局部的相互耦合作用，達到一個相同的狀態(tài)或輸出。目前，對于電動機網(wǎng)絡(luò)的混沌同步控制問題的研究尚屬少見。為此，本文以電動機組成的電動機網(wǎng)絡(luò)作為一個多個體系統(tǒng)，建立節(jié)點數(shù)N=50和N=100的星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和多個體協(xié)調(diào)控制，選取網(wǎng)絡(luò)中第一個節(jié)點作為驅(qū)動系統(tǒng)，其他節(jié)點作為響應(yīng)節(jié)點，通過電動機節(jié)點之間的耦合函數(shù)，實現(xiàn)整個星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的混沌同步。耦合函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單、控制能耗少，在保證多電動機系統(tǒng)的穩(wěn)定運行、提高工業(yè)生產(chǎn)效率方面具有較好的理論和應(yīng)用參考價值。同時，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中電機數(shù)量增加時，依然會達到希望的控制效果，這對工業(yè)自動化中的大規(guī)模電機協(xié)同運行有重要參考價值。

1 基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和多個體協(xié)調(diào)控制的星型耦合網(wǎng)絡(luò)同步

一致性是指多個體通過信息的共享與交互，實現(xiàn)某種狀態(tài)的趨同[10]，其控制目標(biāo)可描述為

(1)

其中，Γ為系統(tǒng)中個體的集合，xi為系統(tǒng)中第i個個體的狀態(tài)。

設(shè)一個任意的星型耦合網(wǎng)絡(luò)由N個節(jié)點組成，第一個節(jié)點為主要節(jié)點。當(dāng)不考慮其他N-1個節(jié)點與第一個節(jié)點之間的耦合連接時，網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點的動力學(xué)方程可表示為

(2)

當(dāng)其他N-1個節(jié)點與第一個節(jié)點之間耦合連接時，組成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可表示為

(3)

這里,Hij為互聯(lián)節(jié)點之間的待定耦合函數(shù)，第一個節(jié)點不能與自身耦合，因此當(dāng)i=1時，耦合函數(shù)為零。

利用一致性的概念，定義第一個節(jié)點與其他任意節(jié)點之間的狀態(tài)變量誤差為

(4)

則相應(yīng)的誤差系統(tǒng)為

(5)

此時，令

(6)

其中,ε>0是耦合強度。

那么有

(7)

要證明星型耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)能否實現(xiàn)混沌同步，只要證明誤差系統(tǒng)(5)在耦合函數(shù)的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)漸進穩(wěn)定。下面，提出定理1。

定理1 對于星型耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)，選擇網(wǎng)絡(luò)中第一個節(jié)點作為驅(qū)動系統(tǒng)，其他節(jié)點作為響應(yīng)系統(tǒng)。若其他節(jié)點與第一個節(jié)點之間的耦合函數(shù)可表示為式(7)，則星型耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)中的其他節(jié)點可以實現(xiàn)與第一個節(jié)點的漸進同步。

證明：構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(8)

結(jié)合式(5)，式(6)和式(7)，并沿式(8)的軌跡對時間求導(dǎo)有

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，誤差系統(tǒng)可以實現(xiàn)漸進穩(wěn)定，也就證明了星型耦合網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3)能夠?qū)崿F(xiàn)同步。證明完畢。

2 星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的同步

本文采用永磁同步電動機(PMSM)作為星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點，其無量綱數(shù)學(xué)模型表示為[13-14]：

(9)

其中，系統(tǒng)狀態(tài)變量Iq，Id，ω分別表示q、d軸定子電流和轉(zhuǎn)子角速度；系統(tǒng)參數(shù)σ、γ均為正值。Uq，Ud，TL為外部輸入，分別表示q、d軸外加電壓和外部扭矩。本文只考慮電動機工作在沒有外部負(fù)載的情況下，即Uq=0，Ud=0，TL=0[13-14]。此時，PMSM的動力學(xué)方程可表示為

(10)

已有研究表明，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)σ，γ在某些取值范圍內(nèi)時，PMSM會產(chǎn)生混沌振蕩[1-5]。圖1為系統(tǒng)參數(shù)σ=5.45，γ=20時，PMSM中的混沌吸引子。

研究發(fā)現(xiàn)，在PMSM為節(jié)點連接成復(fù)雜電動機網(wǎng)絡(luò)中，隨著隨機性連邊概率p的不斷增加，整個電動機網(wǎng)絡(luò)會出現(xiàn)混沌運動現(xiàn)象[6-7]。圖2為節(jié)點數(shù)N=50，系統(tǒng)參數(shù)σ=5.45，γ=20，隨機性連邊概率p=0.5時，復(fù)雜電動機網(wǎng)絡(luò)中任意一臺PMSM的Lyapunov指數(shù)。可以看出，其最大Lyapunov指數(shù)大于零，說明存在混沌運動。當(dāng)電動機網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)混沌運動，將會極大地影響電動機的穩(wěn)定運行，甚至導(dǎo)致工業(yè)驅(qū)動系統(tǒng)的整體崩潰，給國民經(jīng)濟帶來巨大損失。

圖1 PMSM中的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor in PMSM

圖2 復(fù)雜電動機網(wǎng)絡(luò)中任意一臺PMSM的Lyapunov指數(shù)Fig.2 The Lyapunov exporents of any PMSM in complex motor network

因此，使用第一節(jié)中的控制策略來實現(xiàn)節(jié)點數(shù)為N的星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的混沌同步。

在模擬星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)同步時，選擇網(wǎng)絡(luò)中的第一個節(jié)點PMSM系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng)，剩余的N-1個節(jié)點PMSM系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，星型耦合網(wǎng)絡(luò)連接如圖3所示。這時，網(wǎng)絡(luò)中第一個節(jié)點PMSM系統(tǒng)表示為

(11)

其余作為響應(yīng)系統(tǒng)的節(jié)點PMSM系統(tǒng)表示為

(12)

圖3 星型耦合PMSM網(wǎng)絡(luò)連接示意圖Fig.3 Connection diagram of star coupled PMSM network

3 數(shù)值仿真

本節(jié)使用步長h=0.001的四階Runge-Kutta公式解微分方程驗證之前的理論分析。系統(tǒng)參數(shù)取σ=5.45，γ=20；各PMSM節(jié)點初始值隨機選取。圖4和圖5分別為節(jié)點數(shù)N=50，耦合強度ε=0.5時，星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)中各PMSM節(jié)點相應(yīng)狀態(tài)變量隨時間的演化圖和各節(jié)點之間相應(yīng)狀態(tài)變量誤差隨時間的演化圖，其中e1=Iq1-Iqi，e2=Id1-Idi，e3=ω1-ωi，i=2,3,…,N。圖6所示為節(jié)點數(shù)N=100，耦合強度ε=0.5時，星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)中各PMSM節(jié)點相應(yīng)狀態(tài)變量隨時間的演化圖。圖7所示為節(jié)點數(shù)N=50時，實現(xiàn)混沌同步所需時間t隨耦合強度ε變化的曲線。從仿真結(jié)果可以看出，整個網(wǎng)絡(luò)中所有的PMSM節(jié)點能夠在很短的時間內(nèi)實現(xiàn)漸進同步。而且，在節(jié)點數(shù)確定的情況下，實現(xiàn)同步所需的時間t會隨著耦合強度ε的增大而減小。

圖4 N=50，ε=0.5時星型耦合復(fù)雜 PMSM網(wǎng)絡(luò)中狀態(tài)變量Iq、Id和ω的變化Fig.4 The evolution of state variable Iq、Id and ω in star coupled complex PMSM network when N=50, ε=0.5

圖5 N=50，ε=0.5時星型耦合復(fù)雜 PMSM網(wǎng)絡(luò)中誤差系統(tǒng)的變化Fig.5 The evolution of error dynamical system in star coupled complex PMSM network when N=50，ε=0.5

圖6 N=100，ε=0.5時星型耦合復(fù)雜PMSM 網(wǎng)絡(luò)中狀態(tài)變量Iq、Id和ω的變化Fig.6 The evolution of state variable Iq、Id and ω in star coupled complex PMSM network when N=100，ε=0.5

圖7 N=50時控制時間t隨 耦合強度ε增大的變化曲線Fig.7 The evolution currve of control time t with the increase of coupling strength ε when N=50

4 結(jié)語

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的耦合函數(shù)，實現(xiàn)了星型耦合電動機網(wǎng)絡(luò)的漸進同步。通過理論推導(dǎo)證明和數(shù)值仿真驗證，表明了控制策略不僅結(jié)構(gòu)簡單、控制時間短，而且控制效果良好。本控制策略通過任意選取一個節(jié)點作為驅(qū)動節(jié)點，能夠?qū)崿F(xiàn)整個電動機網(wǎng)絡(luò)的整體同步，這對現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)和工業(yè)自動化中的大規(guī)模電動機協(xié)同運行有重要參考價值。

[1]韋篤取, 張波. 基于無源性理論自適應(yīng)鎮(zhèn)定具有v/f輸入的永磁同步電動機的混沌運動[J]. 物理學(xué)報, 2012, 61(3): 030505. Wei Duqu, Zhang Bo. Robust suppressing chaos in permanent magnet synchronous motor with v/f control based on passivity theory [J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61(3): 030505.

[2]Wei D Q, Zhang B, Qiu D Y, et al. Effects of current time-delayed feedback on the dynamics of a permanent-magnet synchronous motor[J]. IEEE Trans Circ Syst II, Exp, 2010, 57(6): 456-460.

[3]于金鵬，于海生，高軍偉，等?；谀：平挠来磐诫姍C混沌控制[J]. 復(fù)雜系統(tǒng)與復(fù)雜性科學(xué), 2013, 10 (4): 86-91. Yu Jinpeng, Yu Haisheng, Gao Junwei, et al. Chaos control of permanent magnet synchronous motors based on fuzzy-approximation[J]. Complex Systems and Complexity Science, 2013, 10 (4): 86-91.

[4]Blair D D, Jensen D L, Doan D R, et al. Networked intelligent motor-control systems[J]. IEEE Industry Applications Magazine, 2001, 7(6): 18-25.

[5]Walsh G C, Ye H. Scheduling of networked control systems[J]. IEEE Control Systems, 2001, 21(1): 57-65.

[6]Wei D Q, Luo X S, Zhang B. Chaos in complex motor networks induced by Newman-Watts small-world connections[J]. Chin Phys B, 2011, 20(12): 128903.

[7]Mai X H, Wei D Q, Zhang B, et al. Controlling chaos in complex motor networks by environment[J]. IEEE Trans Circ Syst Ⅱ, 2015, 62(6): 603-607.

[8]Lewis F L. A survey of linear singular system[J]. Syst and Signal Process, 1986, 5(1): 3-36.

[9]Liu B, Lu W, Chen T. Synchronization in complex networks with stochastically switching coupling structures[J]. IEEE Trans Autom Control, 2012, 57(3): 154-760.

[10] Zhao Y, Wen G, Duan Z. A new observer-type consensus protocol for linear multi-agent dynamical system[J].Asian J Control, 2013, 15(2): 571-582.

[11] Du H, Li S, Ding S. Bounded consensus algorithms for multi-agent systems in directed networks[J]. Asian J Control, 2013, 15(1): 282-291.

[12] Cheng L, Hou Z, Tan M. Decentralized adaptive consensus control for multi-manipulator system with uncertain dynamics[C]. Proc 2008 IEEE Int Conf on Systems, Man and Cybernetics, Singapore, 2008, 2712-2717.

[13] Hemati N, Kwatny H. Bifurcation of equilibria and chaos in permanent-magnet machines[C]. Proceeding of the 32nd Conference on Decision and Control, San Antonio, Texas, 1993: 475-479.

[14] Wei D Q, Zhang B, Luo X S, et al. Effects of couplings on the collective dynamics of permanent-magnet synchronous motors[J]. IEEE Trans Circuits Syst II Exp Briefs, 2013, 60(10): 692-696.

(責(zé)任編輯 耿金花)

Synchronizatin of Chaos in Star Coupled Motor Networks Based on Lyapunov Stability Theory

WANG Mufeng1, WEI Duqu1, LUO Xiaoshu1, ZHANG Bo2， QU Lili3

(1.College of Electronic Engineering, Guangxi Normal University, Guilin 541004, China;2.College of Electric Power, South China University of Technology, Guangzhou 510610, China;3.School of Automation, Foshan University，F(xiàn)oshan 528000, China)

The stability operation of the motor drive system is seriously affected when the motors in networks fall into chaotic motion. In this paper, coupling functions are designed to achieve asymptotically synchronization based on Lyapunov stability theory and coordination control of multi-agent. Theoretical analysis and numerical simulation results demonstrate the correctness and effectiveness of the proposed control strategy. This control strategy may play an important role in the stability operation of complex motor networks in industrial automation manufacturing.

motor networks; Lyapunov stability theory; coordination control of multi-agent; synchronization of chaos; permanent magnet synchronous motor (PMSM)

1672-3813(2017)02-0026-05；

10.13306/j.1672-3813.2017.02.004

2016-03-28；

2016-10-19

國家自然科學(xué)基金(11562004,61263021,51277030)

汪慕峰(1990-)，男，安徽宿州人，碩士研究生,主要研究方向為復(fù)雜電機系統(tǒng)及網(wǎng)絡(luò)混沌控制。

韋篤取(1975-)，男，廣西貴港人，博士，教授,主要研究方向為復(fù)雜電機網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為分析與控制。

O415

A