遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)　成建卓

一　綜述

在很多圖形中，蘊(yùn)含著數(shù)列的函數(shù)關(guān)系.比如用火柴拼并排擺放的正方形：用4根火柴可以拼出一個(gè)正方形，用7根火柴可以拼出兩個(gè)正方形，用10根火柴可以拼出三個(gè)正方形……用an根火柴可以拼出 n 個(gè)正方形，易知 a1=4，a2=7，a3=10，…，火柴的根數(shù)與擺出的正方形的個(gè)數(shù)的關(guān)系就是數(shù)列.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的證明，相當(dāng)于求等腰梯形的面積，即把兩個(gè)等腰梯形拼成一個(gè)平行四邊形，應(yīng)該說(shuō)數(shù)與形的關(guān)系廣泛存在于數(shù)列問(wèn)題中.

二　經(jīng)典例題解析

例 1如圖， 直角 ΔABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°，作ΔABC的內(nèi)接正方形BEFB1，再做ΔB1FC的內(nèi)接正方形B1E1F1B2，…，依次下去，所有正方形的面積依次構(gòu)成遞減數(shù)列｛an｝，其前n項(xiàng)和為_(kāi)____.

【解析】解決面積問(wèn)題要先從邊長(zhǎng)入手.利用圖形的性質(zhì)，通過(guò)直角三角形中的邊角關(guān)系可以確定相鄰兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)關(guān)系.

故數(shù)列｛bn｝是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以

例2設(shè)C1，C2，…，Cn，…是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，圓Cn都與圓Cn+1相互外切，以rn表示Cn的半徑，已知｛rn｝為遞增數(shù)列.

（1）證明：｛rn｝為等比數(shù)列；

（2）設(shè)r1=1，求數(shù)列｝的前n項(xiàng)和.

【解析】（1）通過(guò)求直線傾斜角的正弦入手.設(shè)Cn的圓心為（姿n，0），得 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得出兩圓半徑之間的關(guān)系，即｛rn｝中rn+1與rn的關(guān)系，證明｛rn｝為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求｛rn｝的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后用錯(cuò)位相減法求和.

設(shè) Cn的圓心為（姿n，0），則 姿n=2rn，同理得 姿n+1=2rn+1，兩式相減得

故2rn+1-2rn=rn+1+rn，解得rn+1=3rn，所以數(shù)列｝為等比數(shù)列.

（2）由于 r1=1，q=3，故

即 Sn=1+2·3-1+3·3-2+…+n·31-n，

例3在平面上畫一個(gè)圓將平面分為兩個(gè)部分；畫兩個(gè)圓，最多將平面分成4個(gè)部分；畫三個(gè)圓最多將平面分成8個(gè)部分……這樣一直畫下去，問(wèn)畫n個(gè)圓最多將平面分成多少個(gè)部分.

【解析】要分成最多的部分，平面上這n個(gè)圓，要滿足每?jī)蓚€(gè)圓相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)圓都不共點(diǎn)；設(shè)畫n個(gè)圓最多將平面分成an個(gè)部分，要找到畫下一個(gè)圓時(shí)，多出多少個(gè)部分，即尋找an和an-1的關(guān)系.

【答案】由題意知 a1=2，a2=4，a3=8，再畫下去如何分析呢？

我們知道，第n個(gè)圓與前n-1個(gè)圓中的每一個(gè)圓都要有兩個(gè)交點(diǎn)，且與原交點(diǎn)不重合，故第n個(gè)圓與前n-1個(gè)圓有2n-2個(gè)交點(diǎn)，也就是新增了2n-2個(gè)交點(diǎn).這新增的2n-2個(gè)交點(diǎn)將第n個(gè)圓分成了2n-2段弧，每一段弧將其所在的區(qū)域分為兩個(gè)區(qū)域，即新增加了2n-2個(gè)區(qū)域，故有an-an-1=2（n-1）.

所以畫n個(gè)圓最多可將平面分成n2-n+2個(gè)部分.

注：類似的問(wèn)題很多，如人教版教材必修5第二章《數(shù)列》的前言部分提到了類似的問(wèn)題：

在平面上畫1條直線，將平面分成2個(gè)部分；畫2條直線，最多可以將平面分成4個(gè)部分；畫3條直線，最多可以將平面分成7個(gè)部分……這樣一直畫下去，問(wèn)畫n條直線，最多可以將平面分成多少個(gè)部分.這個(gè)問(wèn)題的解法與例3基本一樣，我們來(lái)分析一下：

設(shè)畫n條直線最多將平面分成an個(gè)部分，下面尋找an和an-1的關(guān)系.平面上n-1條直線將平面最多分成an-1個(gè)部分，第n條直線與前n-1條直線都相交，多出了n-1個(gè)交點(diǎn)，即第n條直線被這些交點(diǎn)依次分成n段，這n段中的每一條射線或線段都將其所在的原來(lái)完整的區(qū)域一分為二，這說(shuō)明畫出第n條直線后，平面上多出了n個(gè)部分，故有anan-1=n.

例 4過(guò) P（1，0）做曲線 C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k≥2）的切線，切點(diǎn)為 Q1，設(shè) Q1在 x 軸上的投影為P1，又過(guò)P1做曲線的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影為P2，依次下去得到一系列點(diǎn)，Q1，Q2，…，Qn.設(shè) Qn的橫坐標(biāo)為 an.求證：

【解析】尋找an和an-1的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.在一般情況下，是由點(diǎn)Pn-1（an-1，0）向曲線引切線，切點(diǎn)為 Qn（an，0），通過(guò)求導(dǎo)，寫出切線方程，再帶入點(diǎn) Pn-1的坐標(biāo)（an-1，0），即可找到遞推關(guān)系.

【答案】（1）y=xk，故 y′=kxk-1，故曲線在的切線斜率為

由點(diǎn) Pn-1（an-1，0）向曲線引切線，切點(diǎn)為 Qn（an，0），

切線方程為：y-akn=kakn-1（x-an），過(guò)點(diǎn) Pn-1（an-1，0），有

故數(shù)列｛an｝是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以

（2）運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明：

例5給出下面的數(shù)表序列：

其中表（n=1，2，3…）有 n行，第 1 行的 n個(gè)數(shù)是1，3，5，…，2n-1，從第 2 行起，每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.

（1）寫出表4，驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，將結(jié)論推廣到表n（n≥3），并證明.

（2）每個(gè)數(shù)表中最后一行都只有一個(gè)數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，…，記此數(shù)列為｛bn｝，

【解析】根據(jù)題設(shè)，分析“數(shù)圖”中數(shù)字排列的規(guī)律，找出數(shù)量關(guān)系.對(duì)于（2）要充分運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)法求和解決問(wèn)題.

【答案】（1）表 4 為

它的第 1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項(xiàng)為 4，公比為 2 的等比數(shù)列.

將這一結(jié)論推廣到表 n（n≥3），即表 n（n≥3）各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列.證明如下：

首先：表 n（n≥3）的第 1 行 1，3，5，…，2n-1 是等差數(shù)列，其平均數(shù)是；其次，若表 n（n≥3）的第 k（1≤k≤n-1）行，a1，a2，…，an-k+1是等差數(shù)列，則第 k+1 行 a1+a2，a2+a3，…，an-k+an-k+1也是等差數(shù)列.

由等差數(shù)列的性質(zhì)知，表n（n≥3）的第k行的平均數(shù)與第k+1行的平均數(shù)分別為，

由此可知，表n（n≥3）各行中的數(shù)都成等差數(shù)列，且各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項(xiàng)為n，公比為2的等比數(shù)列.

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)列問(wèn)題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是挖掘圖形的性質(zhì)，通過(guò)由特殊到一般的歸納、猜想、證明等方法解決問(wèn)題.