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        蜘蛛網(wǎng)誘發(fā)的數(shù)學(xué)革命

        2017-07-08 11:32:25孔凡哲祖丹
        關(guān)鍵詞:笛卡兒序數(shù)蜘蛛網(wǎng)

        孔凡哲 祖丹

        在人類發(fā)展史上相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi),代數(shù)問(wèn)題只能通過(guò)代數(shù)方法加以解決。而幾何問(wèn)題也只能通過(guò)幾何工具加以解決。正是由于一位偉大數(shù)學(xué)家笛卡兒一次偶然的發(fā)明。開(kāi)啟了人類數(shù)學(xué)的新天地——這就是建立坐標(biāo)系、形成解析法。有了解析法這個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具。代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)之間的壁壘被徹底打破。一門(mén)新的學(xué)科——解析幾何誕生了。

        一、偶然中的必然

        據(jù)說(shuō),正服兵役的法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒。在一次戰(zhàn)斗中被俘,被關(guān)進(jìn)牢房。每天孤獨(dú)的時(shí)光無(wú)法打發(fā),只有墻角上的那個(gè)蜘蛛網(wǎng)能給他帶來(lái)一絲快樂(lè)。他驚奇地發(fā)現(xiàn)。蹲在蜘蛛網(wǎng)中心的蜘蛛,總能準(zhǔn)確無(wú)誤地捕捉到撞到蜘蛛網(wǎng)上的蚊子、蒼蠅等獵物(如圖1所示)。為什么呢?

        笛卡兒發(fā)現(xiàn),埋伏在蜘蛛網(wǎng)中心的蜘蛛,能通過(guò)究竟是哪根蜘蛛網(wǎng)線震動(dòng),以及震動(dòng)的強(qiáng)度。判斷獵物在哪個(gè)方位和距離中心有多遠(yuǎn)。

        這意味著。在蜘蛛網(wǎng)上。確定一個(gè)點(diǎn)的位置。需要而且僅僅需要兩個(gè)量即可。

        受蜘蛛捕捉獵物的啟發(fā),笛卡兒發(fā)明了一種確定位置的有效工具——平面直角坐標(biāo)系。他的方法是:

        在平面內(nèi),畫(huà)兩條原點(diǎn)重合、相互垂直而且具有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸。這樣就建立了平面直角坐標(biāo)系。

        有了這個(gè)偉大的發(fā)明,人們就可用一對(duì)有序?qū)崝?shù)表示平面內(nèi)的點(diǎn)的位置。為了紀(jì)念笛卡兒這個(gè)重大貢獻(xiàn)。人們通常將平面直角坐標(biāo)系稱為笛卡兒坐標(biāo)系,將這種方法稱為解析法。

        二、感受確定位置的多種方法。培養(yǎng)空間觀念

        生活中經(jīng)常需要確定物體的位置。比如,確定學(xué)校的位置,對(duì)弈時(shí)確定棋子的位置。海戰(zhàn)中確定艦艇的位置等。在平面內(nèi)確定物體的位置,一個(gè)數(shù)據(jù)肯定是不夠的。比如。在電影院找座位。不僅需要知道第幾排。還需要知道第幾個(gè)座位。

        利用方位角和距離,可以確定物體的位置。蜘蛛就是如此。一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛網(wǎng)上的獵物,在實(shí)施抓捕前,它必須確定兩個(gè)數(shù)據(jù):一個(gè)是獵物到自己的距離,另一個(gè)是獵物相對(duì)于自己的方位角。

        與蜘蛛相似。炮兵對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊時(shí)。需要確定方位角和距離。如下頁(yè)圖2所示。此時(shí),炮兵就是憑借距離和方位角兩個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)敵方陣地進(jìn)行精準(zhǔn)射擊的。

        同樣地,我們可以用經(jīng)度和緯度確定位置。例如,2016年11月18日下午??傦w行時(shí)間長(zhǎng)達(dá)33天的神舟十一號(hào)載人飛船順利返回著陸。人們利用“全球定位系統(tǒng)”——GPS,在茫茫草原上,很快找到了著陸的返回艙(如圖3所示)。這是因?yàn)槿蛉魏我粋€(gè)地方都存在唯一的經(jīng)度和緯度,可以通過(guò)目標(biāo)物(如神舟十一號(hào)飛船的返回艙)發(fā)出的信號(hào),利用GPS測(cè)得它所在位置的經(jīng)度和緯度,就能順利找到返回艙。

        雖然用來(lái)確定平面位置的方法多種多樣,但是,它們都有一個(gè)共同的特征,這就是需要兩個(gè)基本數(shù)據(jù)。亦即,在平面內(nèi),確定點(diǎn)的位置需要兩個(gè)(彼此獨(dú)立的)數(shù)據(jù)。

        三、積累幾何經(jīng)驗(yàn),進(jìn)一步發(fā)展數(shù)形結(jié)合意識(shí)

        在生活中。平面直角坐標(biāo)系最重要的作用就是利用有序數(shù)對(duì)定位。

        在象棋中,馬3進(jìn)4(第三列的馬進(jìn)到第四列)和馬4進(jìn)3(第四列的馬進(jìn)到第三列)中的3代表的含義是完全不同的。

        在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)P,都有唯一的一個(gè)有序數(shù)對(duì)(a,b)與它對(duì)應(yīng);反過(guò)來(lái),對(duì)于任意一個(gè)有序數(shù)對(duì)(a,b),都有平面上唯一的一點(diǎn)P與它對(duì)應(yīng)。

        下面是一道密碼題。如圖4。有兩組有序數(shù)對(duì)(2,5)(1,3)(4,6)(1,6)和(5,2)(3,1)(6,4)(6,1),你能根據(jù)這兩組有序數(shù)對(duì)分別找到所對(duì)應(yīng)的成語(yǔ)嗎?[注:(2,5)對(duì)應(yīng)的漢字是“天”]

        那么,成語(yǔ)“破釜沉舟”對(duì)應(yīng)的密碼是什么?你還能找到哪些成語(yǔ)?請(qǐng)寫(xiě)出它們的密碼。

        四、中考通關(guān)

        例題(2016年呼和浩特)已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在第三象限。對(duì)角線AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),一邊AB與戈軸平行且AB=2。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)___。

        分析:這道題考查的是平行四邊形的性質(zhì),用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置,坐標(biāo)圖形變換(對(duì)稱)等知識(shí),難度較大。根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD=AB=2。由已知條件得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2+a,b)或(a-2,6),再根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。即可得到結(jié)論。

        解:如圖5所示。

        ∵四邊形ABCD是平行四邊形。

        ∴CD=AB=2。

        ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),AB與x軸平行。

        ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2+a,b)。

        ∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

        ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2-a,-b)。

        如圖6所示。

        同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a-2,b),而點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2-a,-6)。

        綜上所述:點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2-a,-b)或(2-a。-b)。

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