孔凡哲　祖丹

在人類發(fā)展史上相當長的時間內，代數問題只能通過代數方法加以解決。而幾何問題也只能通過幾何工具加以解決。正是由于一位偉大數學家笛卡兒一次偶然的發(fā)明。開啟了人類數學的新天地——這就是建立坐標系、形成解析法。有了解析法這個非常重要的數學工具。代數學與幾何學之間的壁壘被徹底打破。一門新的學科——解析幾何誕生了。

一、偶然中的必然

據說，正服兵役的法國哲學家、數學家笛卡兒。在一次戰(zhàn)斗中被俘，被關進牢房。每天孤獨的時光無法打發(fā)，只有墻角上的那個蜘蛛網能給他帶來一絲快樂。他驚奇地發(fā)現。蹲在蜘蛛網中心的蜘蛛，總能準確無誤地捕捉到撞到蜘蛛網上的蚊子、蒼蠅等獵物（如圖1所示）。為什么呢？

笛卡兒發(fā)現，埋伏在蜘蛛網中心的蜘蛛，能通過究竟是哪根蜘蛛網線震動，以及震動的強度。判斷獵物在哪個方位和距離中心有多遠。

這意味著。在蜘蛛網上。確定一個點的位置。需要而且僅僅需要兩個量即可。

受蜘蛛捕捉獵物的啟發(fā)，笛卡兒發(fā)明了一種確定位置的有效工具——平面直角坐標系。他的方法是：

在平面內，畫兩條原點重合、相互垂直而且具有相同單位長度的數軸。這樣就建立了平面直角坐標系。

有了這個偉大的發(fā)明，人們就可用一對有序實數表示平面內的點的位置。為了紀念笛卡兒這個重大貢獻。人們通常將平面直角坐標系稱為笛卡兒坐標系，將這種方法稱為解析法。

二、感受確定位置的多種方法。培養(yǎng)空間觀念

生活中經常需要確定物體的位置。比如，確定學校的位置，對弈時確定棋子的位置。海戰(zhàn)中確定艦艇的位置等。在平面內確定物體的位置，一個數據肯定是不夠的。比如。在電影院找座位。不僅需要知道第幾排。還需要知道第幾個座位。

利用方位角和距離，可以確定物體的位置。蜘蛛就是如此。一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛網上的獵物，在實施抓捕前，它必須確定兩個數據：一個是獵物到自己的距離，另一個是獵物相對于自己的方位角。

與蜘蛛相似。炮兵對目標進行射擊時。需要確定方位角和距離。如下頁圖2所示。此時，炮兵就是憑借距離和方位角兩個數據對敵方陣地進行精準射擊的。

同樣地，我們可以用經度和緯度確定位置。例如，2016年11月18日下午?？傦w行時間長達33天的神舟十一號載人飛船順利返回著陸。人們利用“全球定位系統”——GPS，在茫茫草原上，很快找到了著陸的返回艙（如圖3所示）。這是因為全球任何一個地方都存在唯一的經度和緯度，可以通過目標物（如神舟十一號飛船的返回艙）發(fā)出的信號，利用GPS測得它所在位置的經度和緯度，就能順利找到返回艙。

雖然用來確定平面位置的方法多種多樣，但是，它們都有一個共同的特征，這就是需要兩個基本數據。亦即，在平面內，確定點的位置需要兩個（彼此獨立的）數據。

三、積累幾何經驗，進一步發(fā)展數形結合意識

在生活中。平面直角坐標系最重要的作用就是利用有序數對定位。

在象棋中，馬3進4（第三列的馬進到第四列）和馬4進3（第四列的馬進到第三列）中的3代表的含義是完全不同的。

在平面直角坐標系中，對于平面上的任意一點P，都有唯一的一個有序數對（a，b）與它對應；反過來，對于任意一個有序數對（a，b），都有平面上唯一的一點P與它對應。

下面是一道密碼題。如圖4。有兩組有序數對（2，5）（1，3）（4，6）（1，6）和（5，2）（3，1）（6，4）（6，1），你能根據這兩組有序數對分別找到所對應的成語嗎？[注：（2，5）對應的漢字是“天”]

那么，成語“破釜沉舟”對應的密碼是什么？你還能找到哪些成語？請寫出它們的密碼。

四、中考通關

例題（2016年呼和浩特）已知平行四邊形ABCD的頂點A在第三象限。對角線AC的中點為坐標原點，一邊AB與戈軸平行且AB=2。若點A的坐標為（a，b），則點D的坐標為____。

分析：這道題考查的是平行四邊形的性質，用有序數對表示點的位置，坐標圖形變換（對稱）等知識，難度較大。根據平行四邊形的性質得到CD=AB=2。由已知條件得到點B的坐標為（2+a，b）或（a-2，6），再根據點D與點B關于原點對稱。即可得到結論。

解：如圖5所示。

∵四邊形ABCD是平行四邊形。

∴CD=AB=2。

∵點A的坐標為（a，b），AB與x軸平行。

∴點B的坐標為（2+a，b）。

∵點D與點B關于原點對稱，

∴點D的坐標為（-2-a，-b）。

如圖6所示。

同理可得點B的坐標為（a-2，b），而點D與點B關于原點對稱。故點D的坐標為（2-a，-6）。

綜上所述：點D的坐標為（-2-a，-b）或（2-a。-b）。