鄭國慶，唐清干，祝光湖

(桂林電子科技大學數(shù)學與計算科學學院，桂林 541004)

0 引言

傳染病數(shù)學模型可以追溯到1927年Kermack與McKendrick創(chuàng)立的“倉室模型”，至今仍在廣泛應用，并被不斷發(fā)展和推廣[1-2]。傳染病模型能夠描繪疾病的傳播過程，解釋疾病的流行因素，并為疾病的防治工作給予理論指導[1]。模型中倉室結(jié)構(gòu)以及個體在倉室的轉(zhuǎn)移由具體疾病決定，考慮不同的疾病和傳播方式，現(xiàn)已建立了非常多的傳染病模型[1-2]。經(jīng)典的有SIS和SIR模型，如在SIS模型中，所有個體將會被分成兩類：S-易感者(Susceptibles)和I-染病者(Infected)。易感者被感染者感染后可以恢復，但不具備免疫力。模型用常微分方程描述如下：

其中β=pC(N)表示傳染率，γ表示恢復率，C(N)是接觸率，p表示每次接觸的傳染概率。傳統(tǒng)模型假設(shè)群體是均勻混合，個體間的接觸機會相等，如上式中C和β，這種假設(shè)往往無法體現(xiàn)個體的異質(zhì)性，相應的模型往往不夠準確。而新興的復雜網(wǎng)絡(luò)理論為傳染病模型的構(gòu)建提供了很好的工具，能夠更精確地描述傳播過程[3-4]。

從20世紀末開始，復雜網(wǎng)絡(luò)研究逐步滲透到數(shù)理、生命和工程等眾多不同的領(lǐng)域，并獲得了很多開創(chuàng)性的成果[3-16]。在眾多的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，星型網(wǎng)絡(luò)是一種典型的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)，由一個中心節(jié)點和多個邊界點構(gòu)成，每一個邊界點都與中心節(jié)點相連，但邊界點之間不連接，如圖1a所示。如局域網(wǎng)，內(nèi)部所有個人計算機與一個總服務器相連，形成以總服務器為中心的一個星型網(wǎng)絡(luò)。星型網(wǎng)絡(luò)也可推廣到多個中心的情形，如在社會網(wǎng)絡(luò)中以少數(shù)人為中心的社區(qū)或單位[4]。最近研究表明系統(tǒng)都不是孤立存在的，因而由不同子網(wǎng)相互作用構(gòu)成的耦合網(wǎng)絡(luò)更能準確地刻畫真實系統(tǒng)，如交通網(wǎng)絡(luò)和計算機網(wǎng)絡(luò)等[4-6]。本文將把單層星型網(wǎng)絡(luò)推廣到兩層星型耦合網(wǎng)絡(luò)，如圖1b所示。這是一類特色的社團結(jié)構(gòu)，特別的，在中心城市及其周邊縣城構(gòu)成的交通系統(tǒng)中，如果把兩個中心城看成是中心節(jié)點，周邊縣城看出邊緣節(jié)點，而忽略交通量較少的縣城連接，則此系統(tǒng)可用兩層星型耦合網(wǎng)絡(luò)表示。研究此網(wǎng)絡(luò)上的傳播能夠揭示疾病在中心和周邊地區(qū)傳播擴散的規(guī)律并獲得有效的防控策略?，F(xiàn)實生活也有類似案例，如2003年非典先從中國經(jīng)濟繁榮、人口流動性大的廣州和北京這兩個中心城市開始蔓延至周邊地區(qū)，之后引起大范圍的擴散。

圖1 兩種星型網(wǎng)絡(luò)兩層星際網(wǎng)絡(luò)由兩個單層星型模型構(gòu)成，兩個中心節(jié)相連，每層中的邊界點除了與該層的中心節(jié)點相連還與另一層中對應的邊界點相連。

傳染病的防控策略主要有3種：控制感染源、切斷傳播途徑和保護感染者，具體有隔離和接種等。例如在非典全面爆發(fā)時期，政府將被感染者和疑似感染者進行隔離，對所有單位和學校等公共場所定期消毒，并號召人們出行帶著口罩。這些措施有效減輕了SARS病毒擴散。另外，疫苗可以刺激機體產(chǎn)生抗體，通過提高對病毒的免疫力來預防疾病，進而減少疾病傳播的范圍。世界衛(wèi)生組織的數(shù)據(jù)顯示，通過接種全球麻疹死亡人數(shù)從2000年的54.4萬例下降到2013年的14.5萬例，降幅約75%。最近針對復雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點，人們提出了幾類有效的免疫策略，如熟人免疫、目標免疫和主動免疫等[7-9]。研究發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性和個體行為的自適應性很大程度上左右著疾病的傳播和控制[3,7-10]，因此研究特定網(wǎng)絡(luò)上的傳染病擴散和防控有著實際意義。

本文利用Jennifer等人提出的有效度模型[11-12]，研究兩層星型網(wǎng)絡(luò)上疾病的傳播，探索有效的疾病控制策略。下一節(jié)我們給出刻畫模型的常微分方程組。第3節(jié)我們采用The next generation matrix方法分析疾病的基本再生數(shù)。第4節(jié)我們介紹兩種防控疾病的方法：截斷傳播途徑和對易感者免疫。第5節(jié)中，我們利用Matlab分別對兩種防控方法做數(shù)值模擬，通過依次改變傳染率，群體規(guī)模和易感者的初值比較兩種方法的優(yōu)劣性。最后我們對結(jié)果進行分析與討論。

1 有效度模型

有效度模型是由Jennifer等人于2010年提出的一種新的網(wǎng)絡(luò)傳染病的建模思想[11-13]。與傳統(tǒng)的平均場模型相比，它不僅將所有節(jié)點根據(jù)狀態(tài)分為易感者或感染者，而且還記錄了相連的鄰居個數(shù)和狀態(tài)，例如用Ssi表示具有s個易感鄰居和i個感染鄰居的易感節(jié)點數(shù)量；如果一個Ssi類節(jié)點被它的i個感染鄰居中的某個感染，則從Ssi類變?yōu)镮si類節(jié)點，節(jié)點狀態(tài)發(fā)生了變化；如果一個Ssi類節(jié)點的i個感染鄰居中某個恢復，節(jié)點就會從Ssi類變?yōu)镾s+1,i-1類；如果某個Ssi類節(jié)點的s個易感鄰居中某個被感染，節(jié)點就從Ssi類變?yōu)镾s-1,i+1類。

由此靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上SIS有效度模型可表示為[13]：

(1)

(2)

根據(jù)上述模型，本文分析兩層星型網(wǎng)絡(luò)傳染病的有效度模型的常微分系統(tǒng)。假設(shè)每層邊界點的個數(shù)為n，中心點個數(shù)為1，恢復率γ=1。對于邊界點，它的度是2，即k=s+i=2。對應的有效度模型為

而對于中心節(jié)點，它的度是n+1，即k=s+i=n+1，有效度模型為

其中，0≤t≤n+1，G=Δ/Λ，H=Φ/Ψ。

2 基本再生數(shù)

在傳染病動力學研究中，基本再生數(shù)是一個十分重要的概念。假設(shè)群體中的所有個體均是易感者，此時一個感染者在平均患病期內(nèi)所感染的人數(shù)就定義為基本再生數(shù)[1,2,14]，一般用R0表示。如果R0<1，則一個染病者在其患病期間感染人數(shù)不足一個，疾病將會迅速消亡；相反如果R0>1，則疾病會始終存在并形成地方病。因此為了防止疾病的流行，必須采取相應的方法盡量減少R0。通常用R0=1作為決定疾病是否消亡的閾值。

有效度模型(1)和(2)滿足平衡條件，即所有易感節(jié)點的感染鄰居總數(shù)和所有感染節(jié)點的易感鄰居總數(shù)均等于所有連接易感節(jié)點和感染節(jié)點邊的總數(shù)[11]：

(3)

根據(jù)式(3)，方程(2)可以改寫成：

(4)

在無病平衡點附近，感染節(jié)點的數(shù)量很少，一個易感節(jié)點的感染鄰居數(shù)量多于1的情況不大可能，即對一切i>1，Ssi≈0。則有：

因此在無病平衡點附近有：

(5)

下面采用The next generation matrix方法來計算模型的基本再生數(shù)R0。將(1)和(5)在無病平衡點處線性化，其雅克比矩陣寫成F-V的形式，其中F矩陣表示疾病生成項。V矩陣表示轉(zhuǎn)移項[14]。對于一個固定的度k(1≤k≤M)，(1)和(5)可以寫成2(k+1)個方程，但由于Sk0是全易感類，沒有機會接觸染病者，這類方程可以忽略，這樣需要考慮的方程共有2k+1個。

根據(jù)Jennifer等人的研究[11,13]，矩陣F的表達式為

(6)

其中，uk和vk都是2(k+1)×1的向量。uk的第一個元素是kSk0，其它元素都是0。而vk的前k-1個元素分別是k-1，2(k-2)，…，t(k-t)，…，k-1，其余元素均為0。這里F是一個M(M+2)階矩陣，對它進行初等變換可知道矩陣F的秩是1。

根據(jù)上面的方程可寫出矩陣V2：

O.Diekmann等人用譜半徑ρ來表示基本再生數(shù)R0=ρ(FV-1)，ρ(A)表示矩陣A的譜半徑，即矩陣A的最大特征值的絕對值[16]。有效度模型的基本再生數(shù)可以表示為[13]：

(7)

根據(jù)式(7)，兩層星型網(wǎng)絡(luò)傳染病的有效度模型的基本再生數(shù)可表示為

3 防控策略

為了控制疾病擴散，我們應該采取一些防控策略來降低基本再生數(shù)。這里我們介紹兩種最常見的方法。第一種是控制感染源，切斷傳播途徑，如禽流感病毒爆發(fā)時，應盡可能的減少與家禽的直接接觸；第二種是保護易感者，對易感者接種疫苗，使其對病毒具有免疫能力。

3.1 切斷連邊

假設(shè)兩層星型網(wǎng)絡(luò)中每層邊界點的個數(shù)為n，中心點個數(shù)為1。采取每種方法都會有3種不同的方案。我們先考慮第一種方法——切斷傳播路徑，即斷邊，有下面3類實施方案。

1)切斷兩個邊界點之間的邊，如圖2a所示。假設(shè)選擇10%的邊斷開，此時模型中有3類節(jié)點，分別是度為1的節(jié)點，度為2的節(jié)點以及度為n+1的中心節(jié)點。根據(jù)(7)式，基本再生數(shù)可表示為

圖2 切斷傳播路徑的3種方案

2)切斷邊界點與中心點之間的邊，如圖2b所示。假設(shè)上下各選擇10%的邊斷開，此時模型中有3類節(jié)點，分別是度為1和度為2的的邊界點以及度為(0.9n+1)的中心點。根據(jù)式(7)，基本再生數(shù)為

3)切斷兩個中心點之間的邊，如圖2c所示。此時模型中有兩類節(jié)點，分別是度為2的邊界點以及度為n的中心點。那么基本再生數(shù)為：

3.2 免疫節(jié)點

考慮第二種方法防控方法，即免疫節(jié)點，同樣也有三種實施方案。

圖3 免疫節(jié)點的3種實施方案

1)隨機選擇一些易感的邊界點，對其進行免疫，如圖3a所示。假設(shè)上下各選擇10%的易感邊界點進行免疫，則此時模型中有3類節(jié)點，分別是度為1和度為2的邊界點以及度為(0.9n+1)的中心點。此時的基本再生數(shù)為：

2)免疫其中一個中心點，如圖3b所示。則此時模型中有3類節(jié)點，分別是度為1點和度為2的邊界點以及度為n的中心點。此時的基本再生數(shù)：

3)對兩個中心點都免疫，如圖3c所示。則此時模型中只有度為1的節(jié)點。此時的基本再生數(shù)為：

4 數(shù)值分析

我們已經(jīng)計算了各種控制方案的基本再生數(shù)，為了揭示模型參數(shù)對傳播過程的影響，從而出最佳的疾病控制方案，下面我們利用Matlab軟件模擬傳播模型與斷邊和免疫的3種方案的基本再生數(shù)R0隨感染率β、S20的初值、邊界點規(guī)模n變化的曲線圖。下面假設(shè)γ=1，初始時刻有一個中心節(jié)點被感染。

4.1 切斷連邊的效果分析

圖4表示在不同的參數(shù)條件下，切斷連邊對基本再生數(shù)的影響。左圖表明基本再生數(shù)與感染率是成正比，因此降低感染率能有效地減少疾病的傳播；中圖表明基本再生數(shù)與S20的初值變化是成反比的關(guān)系，說明網(wǎng)絡(luò)中易感節(jié)點越多疾病越不容易傳播；右圖表明基本再生數(shù)與邊界點規(guī)模是成正比，因此減少邊界點的規(guī)模能有效降低疾病的傳播。總而言之，切斷途徑的3種方案的曲線都能降低基本再生數(shù)，但第1種方案(切斷10%邊界連邊)效果不理想，而若只切斷中心節(jié)點之間的一條邊，效果也一般，第2種方案(切斷10%邊界與中心的連邊)效果最佳。

圖4 在不同的情況下，切斷連邊對基本再生數(shù)R0的影響Fig.4 The effects of disconnecting links on the basic reproduction number R0in case of different situations

4.2 免疫節(jié)點的效果分析

圖4表示在不同的參數(shù)條件下，免疫節(jié)點對基本再生數(shù)的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)免疫的3種方案都能有效地降低基本再生數(shù)。其中第2種方案(免疫一個中心節(jié)點)效果最差，第3種方案(免疫兩個中心節(jié)點)效果最佳，基本能達到將基本再生數(shù)控制在0的附近，使疾病徹底消除。

圖5 在不同的情況下，免疫節(jié)點對基本再生數(shù)R0的影響Fig.5 The effects of vaccinating nodes on the basic reproduction numberR0in case of different situations

從圖5也可以看出免疫10%的邊界點比免疫其中一個中心節(jié)點更有效。下面我們通過改變接受免疫的邊界點數(shù)量，分析免疫邊界點和一個中心節(jié)點的等效性，結(jié)果如圖6所示。我們發(fā)現(xiàn)將接受免疫的邊界點數(shù)量設(shè)定為1%時，兩種方案的基本再生數(shù)曲線基本重合；當免疫的邊界點越多，控制效果就會越好。由此可知，當網(wǎng)絡(luò)規(guī)模很大時，免疫中心節(jié)點即有效又經(jīng)濟，而且規(guī)模越大，效果越明顯。

β=0.03,S10(0)=0.01n,S20(0)=0.5n圖6 免疫邊界點與中心點的比較

5 結(jié)論

本文運用復雜網(wǎng)絡(luò)和傳染病動力學理論研究了傳染病在兩層星型網(wǎng)絡(luò)上傳播動力性。首先利用SIS有效度模型將個體根據(jù)其鄰居的狀態(tài)進行分類，從而細化了傳播過程。接著根據(jù)The next generation matrix方法分析了模型的基本再生數(shù)。為了降低基本再生數(shù)從而控制疾病的傳播，我們提出了切斷傳播途徑和免疫個體兩種方法，根據(jù)不同情況又將其各自細分為3種不同的實施方案，并求出相應的基本再生數(shù)。最后我們利用Matlab數(shù)值分析，獲得了兩層星型網(wǎng)絡(luò)上參數(shù)對疾病的傳播影響以及有效的控制方案。

研究表明基本再生數(shù)與感染率和邊界點規(guī)模成正比，降低感染率或邊界點規(guī)模都能有效的減少疾病的傳播；基本再生數(shù)與易感者的初值規(guī)模成反比，網(wǎng)絡(luò)中初始時刻感染者越多會使疾病迅速擴散。這說明兩層星型網(wǎng)絡(luò)的特殊結(jié)構(gòu)對疫情傳播有直接影響，那些與感染者有直接接觸的易感者會很容易被感染，而且網(wǎng)絡(luò)節(jié)點數(shù)越多疾病傳播越迅猛。我們還發(fā)現(xiàn)在兩層星型模型中，我們提出的六種防控方案都能降低基本再生數(shù)，但是通過比較可以看出切斷部分邊界點與中心點的接觸途徑以及免疫兩個中心點對疾病控制最有效。因此我們在疾病防控時要重點關(guān)注那些活動頻繁和度大的節(jié)點，將這些點隔離或者免疫能大大降低傳染病對社會財產(chǎn)和人們生命安全的威脅。

本文結(jié)果是基于靜態(tài)網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播，適用于傳播速度相對于群體結(jié)構(gòu)變化快得多的情況。我們設(shè)定的兩層星型模型中心節(jié)點上下各一個，但在現(xiàn)實中，一個群體內(nèi)的中心節(jié)點或許有多個，這樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就會變得復雜多變。如何將我們的理論研究貼近實際情況，解決現(xiàn)實問題是我們今后研究的動力和方向。

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