高子林,王銀河

(1.廣東工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,廣州 510006;2.重慶三峽學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院,重慶 萬州 404100)

0 引言

混沌系統(tǒng)本質(zhì)上是一類復(fù)雜非線性動(dòng)力系統(tǒng),具有對(duì)初始條件敏感、相空間運(yùn)動(dòng)的分形和奇異吸引子等特殊性質(zhì)。1990年,Pecora和Carrol[1]首次運(yùn)用驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)方法實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步控制,由于在保密通信[2]、信息處理[3]、化學(xué)反應(yīng)[4]和生物系統(tǒng)[5]等領(lǐng)域的潛在應(yīng)用,使之得到迅速發(fā)展,并取得了一系列有價(jià)值的研究成果[6-9]。由于混沌系統(tǒng)模型的不確定性且易受外界干擾,學(xué)者們先后提出了一些智能的混沌同步控制方法，比如自適應(yīng)控制[10],滑模控制[11],線性與非線性反饋控制[12],Backstepping法[13]等。

近年來,T-S模糊邏輯系統(tǒng)已被用于混沌系統(tǒng)同步控制中[14-16]。由于混沌系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)極度敏感,利用T-S模糊邏輯系統(tǒng)來近似表示混沌系統(tǒng)是不可能的。因此,文獻(xiàn)[14-16]采用T-S模糊邏輯系統(tǒng)精確描述了混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,并設(shè)計(jì)模糊控制方案,從而實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的同步。然而,并非所有的混沌系統(tǒng)都可以用T-S模糊邏輯系統(tǒng)精確表示,故文獻(xiàn)[14-16]的方法不能用于解決含有未知非線性函數(shù)的混沌系統(tǒng)同步問題。

許多研究結(jié)果表明模糊邏輯系統(tǒng)是通用逼近器[17]。因此,模糊邏輯系統(tǒng)可以用來近似地逼近混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)[18-20]。從數(shù)學(xué)的角度講,文獻(xiàn)[18-20]中使用的Mamdani型模糊邏輯系統(tǒng)的輸出可以表示為某些模糊基函數(shù)的線性組合,其自適應(yīng)律主要依據(jù)這些組合系數(shù)的估計(jì)而得出的,因此自適應(yīng)律的個(gè)數(shù)等于組合系數(shù)的個(gè)數(shù)。換言之,自適應(yīng)律的個(gè)數(shù)由模糊規(guī)則數(shù)所決定。為了提高控制性能,通常大量的模糊規(guī)則將用于模糊自適應(yīng)控制器中,這會(huì)導(dǎo)致使用大量的自適應(yīng)律去估計(jì)模糊規(guī)則中的組合系數(shù),從而增加了在線計(jì)算時(shí)間，導(dǎo)致系統(tǒng)延時(shí)。

與帶有線性規(guī)則后件的Mamdani或T-S模糊邏輯系統(tǒng)相比,帶有非線性規(guī)則后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)的主要優(yōu)勢(shì)是表示性強(qiáng),可以使用少量的簡(jiǎn)單規(guī)則來描述高度復(fù)雜的非線性函數(shù)[21]。因此,考慮到混沌系統(tǒng)對(duì)時(shí)間延遲的極度敏感性,通過使用帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng),在一定程度上可以減少運(yùn)算量,從而避免系統(tǒng)延時(shí)。然而,帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)的輸出不能用模糊基函數(shù)的線性組合來表示,因此不能使用文獻(xiàn)[18-20]中所提出的同步控制方法。綜上所述，我們應(yīng)尋找一種新的自適應(yīng)模糊控制方法來解決混沌系統(tǒng)同步問題。

值得注意的是,雖然混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)可以使用模糊邏輯系統(tǒng)近似逼近,并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)出了帶有參數(shù)自適應(yīng)律的模糊同步控制器，但是,上述同步方法并沒有考慮混沌系統(tǒng)中參數(shù)未知的情況，故存在一定的局限性。相反，文獻(xiàn)[22-28]只研究了帶有未知參數(shù)混沌系統(tǒng)的同步問題，而忽略了混沌系統(tǒng)中含有未知非線性函數(shù)的情況。為了彌補(bǔ)這兩種情形的不足,本文重點(diǎn)研究了一類帶有完全未知非線性項(xiàng)和參數(shù)的混沌系統(tǒng)同步問題。首先，使用帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)逼近混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù),并將一個(gè)時(shí)變參數(shù)引入到帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)中；然后結(jié)合自適應(yīng)方法,對(duì)混沌系統(tǒng)中未知參數(shù)進(jìn)行在線估計(jì),并通過Lyapunov穩(wěn)定性定理完成了對(duì)自適應(yīng)模糊同步控制器的設(shè)計(jì)和分析。特別指出的是,帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)只需很少的模糊規(guī)則去逼近混沌系統(tǒng)中的未知非線性函數(shù)，且自適應(yīng)律的個(gè)數(shù)與模糊規(guī)則數(shù)無關(guān)，這在一定程度上減少了在線運(yùn)算量和時(shí)間延時(shí)。故該方法不僅可以使規(guī)則少、解釋性強(qiáng)的模糊邏輯系統(tǒng)具有更廣泛的應(yīng)用，而且更符合混沌系統(tǒng)同步在實(shí)際應(yīng)用中的要求。

1 模型描述及基本假設(shè)

考慮一類混沌驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

(1)

混沌系統(tǒng)(1)的響應(yīng)系統(tǒng)如下:

(2)

設(shè)同步誤差為e=y-x,由式(1)和(2)可得如下誤差動(dòng)態(tài)方程

(3)

注：1)如果選取參數(shù)α=10,δ=28,γ=8/3,非線性函數(shù)f1(x)=-x1x3,f2(x)=x1x2，則混沌系統(tǒng)(1)為L(zhǎng)orenz混沌系統(tǒng)。2)本文為了描述簡(jiǎn)單,故選擇了典型的3維混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。值得注意的是，本文在設(shè)計(jì)混沌系統(tǒng)同步控制器的過程中，其動(dòng)態(tài)微分方程(1)的右端是連續(xù)的函數(shù)，我們稱系統(tǒng)(1)為右端連續(xù)混沌系統(tǒng)。事實(shí)上，本文提出的混沌系統(tǒng)同步控制方法和思路不僅適用于右端連續(xù)混沌系統(tǒng)的同步，同樣也適用于右端不連續(xù)混沌系統(tǒng)的同步。例如，針對(duì)文獻(xiàn)[29]提出的一類分段線性Lorenz混沌系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)微分方程的右端包含不連續(xù)項(xiàng)，研究表明采用本文的同步控制方法和思路依然能夠?qū)崿F(xiàn)右端不連續(xù)混沌系統(tǒng)的同步。

假設(shè)11)|ζi(t)|≤ωi(t),|ξi(t)|≤σi(t),i=1,2,3,其中,ωi(t),σi(t)是已知函數(shù),且在[0,+∞]是連續(xù)有界的;2)fk(x)在緊致集合W?R3上滿足不等式|fk(x)-fk(y)|≤Lk‖x-y‖,其中,參數(shù)Lk,k=1,2可能是未知的。

2 帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)

由于系統(tǒng)(1)中的fk(x),k=1,2是未知的函數(shù),因此可以使用帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)FS{k}逼近未知函數(shù)fk(x)?？紤]在論域W?R3上,第k個(gè)模糊邏輯系統(tǒng)FS{k}具有如下模糊規(guī)則:

(4)

如果采用單點(diǎn)模糊化,乘積推理規(guī)則和中心平均解模糊處理時(shí),帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)(4)的輸出如式(5)所示:

(5)

(6)

如果在帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)(5)的輸入端串聯(lián)一個(gè)伸縮因子為ρ-1的伸縮器,那么這時(shí)的T-S模糊邏輯系統(tǒng)的輸出可以表示為(6)。工程中常用的電致伸縮器、放大器等都是伸縮器的具體物理實(shí)現(xiàn)。

使用上述帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)(5)對(duì)混沌系統(tǒng)中未知非線性函數(shù)進(jìn)行近似逼近,并根據(jù)逼近精度進(jìn)行如下假設(shè)。

3 同步控制器設(shè)計(jì)

針對(duì)上述控制目標(biāo),對(duì)響應(yīng)系統(tǒng)(2)提出如下控制方案:

(7a)

(7b)

且參數(shù)自適應(yīng)律分別為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

其中,λ1,λ2,βj,j=1,2,3,4,5是調(diào)節(jié)正常數(shù);η是大于零的設(shè)計(jì)常數(shù),且滿足{x|‖x‖≤η)?W。

定理1考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2),如果假設(shè)1～假設(shè)2成立,那么通過控制器(7)和自適應(yīng)律(8)～(15)的作用,可以達(dá)到控制目標(biāo)的要求。

證明:定理1的證明可以通過如下兩種情形完成。

情形1‖e‖>|ρ|θ

=s(e1(α(e2-e1)+ξ1(t)-ζ1(t)+u1)+e2(δe1-e2+f1(y)-f1(x)+ξ2(t)-
ζ2(t)+u2)+e3(-γe3+f2(y)-f2(x)+ξ3(t)-ζ3(t)+u3)-

=s(e1(α(e2-e1)+u1)+e1(ξ1(t)-ζ1(t))+e2(δe1-e2+u2)+

e2(f1(y)-f1(x)+ξ2(t)-ζ2(t))+e3(-γe3+u3)+

e3(f2(y)-f2(x)+ξ3(t)-ζ3(t))-

e3(f2(y)-f2(x)+ξ3(t)-ζ3(t))-

=s(e1(ξ1(t)-ζ1(t))+e2(f1(y)-f1(x)+ξ2(t)-ζ2(t))+

≤s(|e1|(|ξ1(t)|+|ζ1(t)|)+|e2|(|f1(y)-f1(x)|+|ξ2(t)|+|ζ2(t)|)+

≤s(|e1|(σ1+ω1)+|e2|(L1‖e‖+σ2+ω2)+

=-ηs<0

(16)

由不等式(16)容易看出狀態(tài)向量X能夠在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面s=0，注意到{X|s=0}?D,情形1得以證明。

情形2‖e‖≤|ρ|θ

=e1(α(e2-e1)+ξ1(t)-ζ1(t)+u1)+e2(δe1-e2+f1(y)-f1(x)+
ξ2(t)-ζ2(t)+u2)+e3(-γe3+f2(y)-f2(x)+ξ3(t)-ζ3(t)+u3)+

=e1(α(e2-e1)+ξ1(t)-ζ1(t)+u1)+e2(δe1-e2+ξ2(t)-ζ2(t)+u2)+e2(f1(y)-f1(x)+ν1)+
e3(-γe3+ξ3(t)-ζ3(t)+u3)+e3(f2(y)-f2(x)+ν2)+

=e1(ξ1(t)-ζ1(t)-sgn(e1)(σ1+ω1)-ge1-es)+

e2(ξ2(t)-ζ2(t)-sgn(e2)(σ2+ω2)-ge2-es)+e2(f1(y)-f1(x)+ν1)+

e3(ξ3(t)-ζ3(t)-sgn(e3)(σ3+ω3)-ge3-es)+e3(f2(y)-f2(x)+ν2)+

=e1(-ge1-es)+e2(-ge2-es)+e3(-ge3-es)+e1(ξ1(t)-ζ1(t))-sgn(e1)e1(σ1+ω1)+

e1(ξ1(t)-ζ1(t))-sgn(e1)e1(σ1+ω1)+e2(ξ2(t)-ζ2(t))-sgn(e2)e2(σ2+ω2)+

e3(ξ3(t)-ζ3(t))-sgn(e3)e3(σ3+ω3)+

≤-eTPe+|e1|(|ξ1(t)|+|ζ1(t)|)-sgn(e1)e1(σ1+ω1)+|e2|(|ξ2(t)|+|ζ2(t)|)-

sgn(e2)e2(σ2+ω2)+|e3|(|ξ3(t)|+|ζ3(t)|)-sgn(e3)e3(σ3+ω3)+

≤-eTPe+|e1|(σ1+ω1)-sgn(e1)e1(σ1+ω1)+|e2|(σ2+ω2)-

sgn(e2)e2(σ2+ω2)+|e3|(σ3+ω3)-sgn(e3)e3(σ3+ω3)+

=-eTPe≤0

(17)

4 仿真算例

{負(fù)(N),零(Z)，正(P)}

定義T-S模糊邏輯系統(tǒng)FS{1}的模糊規(guī)則如下

ifx1is‘Z’ theny1=0.001

ifx1is ‘N’ andx3is ‘N’ theny1=-|x1x3|

ifx1is ‘P’ andx3is ‘N’ theny1=|x1x3|

同樣,T-S模糊邏輯系統(tǒng)FS{2}的模糊規(guī)則定義如下

ifx1is ‘Z’ theny2=0.001

ifx1is ‘N’ andx2is ‘N’ theny2=|x1x2|

ifx1is ‘P’ andx2is ‘N’ theny2=-|x1x2|

其中,模糊集的隸屬度函數(shù)本文選擇為:μz(x)=e-x2,μN(yùn)(x)=e-(x+40)2,μP(x)=e-(x-40)2。

在仿真的過程中,混沌系統(tǒng)中的所有非線性函數(shù)和參數(shù)均是未知的,每一個(gè)非線性函數(shù)只用了3條帶有非線性后件的模糊規(guī)則進(jìn)行逼近，這比文獻(xiàn)[14-16,18-20]中所使用的模糊規(guī)則數(shù)都要少。同時(shí),參數(shù)自適應(yīng)律的個(gè)數(shù)與模糊規(guī)則數(shù)目無關(guān),并且混沌系統(tǒng)在0.6秒以內(nèi)就實(shí)現(xiàn)了同步。因此,本文提出的同步控制方法不僅減小了在線運(yùn)算的負(fù)擔(dān),增加了模糊規(guī)則的可解釋性,而且為混沌系統(tǒng)同步在實(shí)際工程應(yīng)用中提供了更為寬泛的條件。

圖1 x1和y1的響應(yīng)曲線Fig.1 Response curves for x1 and y1

圖2 x2和y2的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves for x2 and y2

圖3 x3和y3的響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves for x3 and y3

圖4 同步的誤差曲線Fig.4 Error curres of synchronized systems

圖5 參數(shù)ρ,估計(jì)變量和的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 Time response for and

5 結(jié)論

本文將時(shí)變參數(shù)ρ(t)引入到帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)中,結(jié)合自適應(yīng)方法,針對(duì)一類帶有完全未知非線性項(xiàng)和參數(shù)的混沌系統(tǒng),提出了一種自適應(yīng)模糊同步控制方法,并使用Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行了論證分析。由于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)中的參數(shù)和非線性項(xiàng)均是未知的，從工程應(yīng)用方面講,本文提出的方法更符合混沌系統(tǒng)同步在實(shí)際應(yīng)用中的要求。值得注意的是,帶有非線性后件的T-S模糊邏輯系統(tǒng)具有更高的逼近能力和表示能力,只需很少的模糊規(guī)則就能完成對(duì)混沌系統(tǒng)中非線性函數(shù)的逼近,同時(shí),自適應(yīng)律的個(gè)數(shù)與模糊規(guī)則數(shù)無關(guān)。這不僅減少了在線運(yùn)算量和時(shí)間延時(shí)，而且使通過直覺推理生成規(guī)則少、解釋性強(qiáng)的模糊邏輯系統(tǒng)具有更廣泛的應(yīng)用。

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