賈承豐，韓 華，完顏娟，呂亞楠

(武漢理工大學理學院，武漢 430070)

0 引言

近年來，有關復雜網(wǎng)絡的研究備受各領域研究者的關注。而網(wǎng)絡的抗毀性研究一直是研究學者關注的重點。從Barabási[1]研究發(fā)現(xiàn)真實網(wǎng)絡中具備無標度、小世界等特征開始，人們更加關注對于不同類型網(wǎng)絡在面對不同攻擊策略時所表現(xiàn)出的抗毀性。Albert和Barabási[2]等人最先研究了針對網(wǎng)絡中表現(xiàn)出的不同的拓撲特征，提出了以移除節(jié)點為基礎的蓄意攻擊和隨機攻擊策略。Holme[3]等人則分別考慮攻擊點和攻擊邊的情況，根據(jù)度和介數(shù)提出不同的攻擊策略。Rinaldi S M等人[4]綜合考慮了點和邊的相互影響，提出網(wǎng)絡中若有某一個節(jié)點受到攻擊，就會導致一系列的邊和點的相繼失效，網(wǎng)絡間的聯(lián)系會將故障的影響傳播和放大，最終一個很小的故障就有可能對整個系統(tǒng)造成災難性后果。王仁全[5]提出了以網(wǎng)絡的自然連通度為指標，根據(jù)不同的局部信息，對點和邊進行不同策略的點、邊攻擊，揭示了不同網(wǎng)絡結構與網(wǎng)絡抗毀性之間的規(guī)律。

然而上述有關網(wǎng)絡抗毀性研究的攻擊對象都是分別或者綜合考慮點和邊，但復雜系統(tǒng)中的組成元素不單只有最基本的點和邊，模體作為一種網(wǎng)絡中反復出現(xiàn)的相互作用的基本模式也吸引了許多研究者對其展開研究。網(wǎng)絡模體這一概念最早由R.Moli[6]提出。網(wǎng)絡模體是由少量節(jié)點按一定拓撲結構形成的網(wǎng)絡子圖，并且是在真實網(wǎng)絡中富集出現(xiàn)的小規(guī)模模式。Krumov[7]研究了模體在互聯(lián)網(wǎng)中優(yōu)化技術的應用，利用網(wǎng)絡的模體特征來優(yōu)化時序網(wǎng)絡的拓撲結構。Squartini和Gah-aschelli[8]以WTO網(wǎng)絡為對象，把網(wǎng)絡的模體特征作為一種模式識別的手段，揭示了模體對于網(wǎng)絡結構的重要性。韓華等人[9]針對網(wǎng)絡中存在的模體，提出了模體頂點度與邊度的定義，為網(wǎng)絡中點和邊的重要性提供了基于模體特征的衡量指標。Wen J X等人[10]研究社交網(wǎng)絡中的信息傳播，揭示了三節(jié)點模體對于依賴網(wǎng)絡中的傳播穩(wěn)定性有著重要地位。吳翎燕等人[11]從網(wǎng)絡的模體結構分析了構建的網(wǎng)絡的拓撲結構穩(wěn)定，并以此對構建股票網(wǎng)絡進行推廣運用。

隨著模體研究在真實網(wǎng)絡拓撲結構分析的深入，人們意識到包含大量模體的真實網(wǎng)絡的失效方式不能僅僅按照傳統(tǒng)的點邊失效方式來考慮，所以本文提出了在含有模體的網(wǎng)絡中以網(wǎng)絡模體作為基元來考慮網(wǎng)絡的失效方式，并以代數(shù)角度推導模體度的算法，針對模體度設計模體攻擊策略，并與傳統(tǒng)的攻擊手段進行對比，旨在揭示具有模體特征的網(wǎng)絡在模體攻擊下表現(xiàn)出的抗毀性。

1 模體檢驗理論

1.1 模體的定義

模體是一種網(wǎng)絡子圖，是復雜系統(tǒng)中的“小系統(tǒng)”，它的大小介于網(wǎng)絡節(jié)點和社團之間，是真實網(wǎng)絡比隨機網(wǎng)絡中更頻繁出現(xiàn)的小規(guī)模模式，屬于網(wǎng)絡的基本拓撲結構之一。模體在真實網(wǎng)絡中出現(xiàn)的頻率遠遠高于在具有相同節(jié)點和連線數(shù)的隨機網(wǎng)絡中的出現(xiàn)頻率[12]。在大多數(shù)的網(wǎng)絡中，最為常見的是由3個節(jié)點和4個節(jié)點構成的模體，示意圖如圖1、圖2所示。

圖1 網(wǎng)絡三節(jié)點模體示例

圖2 網(wǎng)絡四節(jié)點模體示例

1.2 模體的統(tǒng)計特征以及存在性檢驗

1)模體的頻率：如果子圖M是網(wǎng)絡的模體，那么公式(1)稱為模體的頻率[6]。

(1)

其中，n(M)表示具有n個節(jié)點的模體M在實際網(wǎng)絡中出現(xiàn)的次數(shù)，N表示所有n節(jié)點的子圖出現(xiàn)的總次數(shù)。

2)模體的P值：模體M在具有相同節(jié)點的隨機網(wǎng)絡中出現(xiàn)的次數(shù)大于實際網(wǎng)絡中出現(xiàn)次數(shù)的概率。P值越小，則該網(wǎng)絡具有越明顯的模體特征[6]。

3)模體的Z得分：對于模體Mi，它在真實網(wǎng)絡中出現(xiàn)的次數(shù)記為Nreali，它在隨機網(wǎng)絡中出現(xiàn)的次數(shù)記為Nrandi，Nrandi的平均值記為，標準差為σrandi那么模體Mi在該真實網(wǎng)絡中的Z得分[6]為

(2)

根據(jù)以上的模體的概念和基本統(tǒng)計特征可以檢測網(wǎng)絡模體的存在性，并以模體為基礎分析網(wǎng)絡的結構特征。而本文正是基于網(wǎng)絡的模體結構特征，提出了針對模體的攻擊策略。

2 基于模體的測度量

以文獻[3-5]為代表的傳統(tǒng)點、邊攻擊方式中,都直接或者間接地運用節(jié)點度作為攻擊依據(jù)，從而進行隨機或者蓄意攻擊。然而針對以模體為對象的模體攻擊方式，一種新的測度量指標的提出勢在必行。

2.1 模體度的提出

度既是網(wǎng)絡中重要的概念，也是網(wǎng)絡中節(jié)點重要性的衡量指標。節(jié)點i的度ki定義為該節(jié)點的鄰邊的數(shù)目。從網(wǎng)絡抗毀性的角度來說，度越大代表該節(jié)點越重要，攻擊此節(jié)點對于網(wǎng)絡的破壞性越強。

2.2 三角模體度代數(shù)算法

圖3 模體代數(shù)算法圖例

以圖3為例，該圖是一個無向圖，表明它的鄰接矩陣是一個對稱矩陣。

設aij為矩陣A中的元素，那么aij在圖中的含義即是第i個點到第j個點有連邊，又因為該圖中沒有自環(huán)和重邊，所以鄰接矩陣所有元素只可能是0或者1。那aij又可以理解為：由i點到j點走一條邊，可以有aij種走法。

通過上述過程就能推廣到A2。記B=A2,有bij為B中的元素，它的含義是第i個點出發(fā)走兩條邊到達第j個點有bij種走法?？紤]特殊情況——對角線元素bii，表示從i走到某點又回到i的路徑條數(shù)。很顯然這就是i點的度(ki)。

ki=bii

(3)

除了第i行元素相加之和這一求度方法，求鄰接矩陣平方的對角線元素又是另一種的求度的方法。

有了上面的過程，記C=A3，C中的每一個元素cij，表示的就是從i點到j點走三條邊的路徑條數(shù)。還是考慮對角線元素cii，也就是從i出發(fā)到達i點，走三條邊的路徑條數(shù)。很顯然上面的這樣的路徑就是一個三角模體。由于路徑含有有向性，同一個三角模體，路徑會以順時針和逆時針兩種方向經過，所以第i個點的三節(jié)點模體度(kM3(i))公式有：

kM3(i)=cii/2

(4)

這就把模體度與鄰接矩陣聯(lián)系起來。

2.3 四邊模體度代數(shù)算法

四節(jié)點模體有很多形態(tài)，但由Milo[6]研究得知，含有三角形的四節(jié)點模體與三節(jié)點模體有很大的聯(lián)系，所以考慮四節(jié)點模體時不考慮含有三角形的四點模體，本文以下出現(xiàn)的四點模體全部是四邊形模體。

記D=A4，同樣，D中的每一個元素dij，表示的就是從i點到j點走四條邊的路徑條數(shù)。為了研究四點模體，來考慮對角線元素dii。也即是從i點出發(fā)到i點，走四條邊的路徑條數(shù)。這樣就有以下幾種情況：

1)路徑剛好是一個四邊形，也即是四點模體，如路徑1→2→5→4→1；

2)路徑走了一條邊四次，如路徑1→2→1→2→1；

3)路徑走了兩條不同的邊兩次，如路徑1→2→5→2→1。

基于以上3種情況都屬于走四條邊的路徑，但只有情形1)對求出四點模體有意義。排除情況2)3)可以導出第i點的四點模體度(kM4(i))公式有：

(5)

通過上述的模體度算法，就可以對模體節(jié)點提供了新的測量度，然后針對模體度這一新的測度，提出不同的針對模體的攻擊策略。

3 模體攻擊抗毀性研究

3.1 模體攻擊策略

不同于傳統(tǒng)攻擊方式中的點邊失效，現(xiàn)實生活中還有很多關于模體的失效機制。如三節(jié)點的蛋白酶網(wǎng)絡，三節(jié)點作為一個整體不僅與外部節(jié)點有相互作用，三節(jié)點之間也有相互作用的關系，缺失一個節(jié)點，就會導致此三節(jié)點的相互作用失效，從而蛋白酶分子就失效[13-14]；移動傳輸BOSS三節(jié)點系統(tǒng)，系統(tǒng)元件中三節(jié)點之間相互傳輸信息，若一個節(jié)點失效，此傳輸系統(tǒng)元件失效[15]；mRNA轉錄遺傳密碼時，由三個核苷酸編譯一個蛋白，在三個核苷酸完整的情況下才能保證完整的編譯，若其中一個失效，則該mRNA段失去編譯功能[16]。又如電子線路中的四邊形模式中，一個電路元件的過壓會導致小的電路模式的過壓[17]。

基于上述研究和事實的網(wǎng)絡失效方式，本文提出了一種針對模體特性的失效方式和攻擊策略。模體攻擊的失效方式是：攻擊一個模體點后，與模體點相連的邊失效，并且包含該點的模體也失效。即設網(wǎng)絡為G(V,E)，其中V為網(wǎng)絡中節(jié)點的集合，E為網(wǎng)絡中邊的集合，設M0為檢測到的模體，若節(jié)點v0受到攻擊，除了與v0相連的e失效，另外還有對于所有的M0?v0，其中的e0?M0全失效。

圖4 模體攻擊示意圖

圖4中的黑色節(jié)點為受到攻擊的點，黑色粗邊是包含該點的模體，在該點受到攻擊后，除了與該點相連的邊失效之外，該點所在模體中的邊也相應失效。

攻擊策略則是根據(jù)模體度的大小進行模體蓄意(MIA)和模體隨機(MRA)兩種不同方式的攻擊。模體蓄意攻擊是把節(jié)點按模體度的大小進行排序，優(yōu)先攻擊模體度大的節(jié)點；模體隨機攻擊則是隨機挑選節(jié)點進行攻擊。將兩種模體攻擊方式與傳統(tǒng)的蓄意攻擊(IA)和隨機攻擊(RA)對比。同樣是分為蓄意攻擊和隨機攻擊，傳統(tǒng)的點邊蓄意攻擊策略是依據(jù)節(jié)點的度，而模體攻擊則是模體度。通過網(wǎng)絡邊連通性指標[18]S(e)得到針對含有模體的網(wǎng)絡，模體攻擊的效果要優(yōu)于傳統(tǒng)攻擊。因為關于模體的網(wǎng)絡失效，影響的是點與點之間關系的破裂，也就是說影響的對象是邊，所以本文選擇的是邊連通性，網(wǎng)絡連通性指標如下：

S(e)=Ns/Nedge

(6)

其中，Ns為網(wǎng)絡攻擊后，形成的最大連通子圖中所有連邊數(shù)，Nedge為原始網(wǎng)絡中的總邊數(shù)。

事實上，也可以把兩個節(jié)點和其連邊看成一個兩節(jié)點的模體，則傳統(tǒng)的點邊失效方式即是指攻擊兩點模體中的一個點，與該點相連的模體(也就是與點相連的邊)失效，所以傳統(tǒng)的點邊失效是本文提出的基于模體攻擊失效的特殊情況。

3.2 三節(jié)點模體攻擊實驗

1)模體存在性檢驗

由上述模體攻擊的概念可知，只有當網(wǎng)絡中顯著存在模體時，模體攻擊失效才顯著區(qū)別于傳統(tǒng)的點邊攻擊方式，而且不同的網(wǎng)絡具有不同的模體特征，所以在攻擊前，首先要檢驗模體的存在性。本文利用1.2中提出的模體存在性檢驗手段以及Rand-ESU[19]算法，通過模體發(fā)現(xiàn)軟件FANMOD，對幾種不同規(guī)模的虛擬網(wǎng)絡(BA網(wǎng)絡[1]、ER網(wǎng)絡[20])和實證網(wǎng)絡(橄欖球網(wǎng)絡[21]、人體神經網(wǎng)絡[22]、Email網(wǎng)絡[23])進行模體存在檢驗，為接下來的模體攻擊奠定基礎。只有網(wǎng)絡存在模體特征，模體攻擊對該網(wǎng)絡才有顯著的毀壞性。

表1 網(wǎng)絡中三角形模體的存在性Tab.1 The existence of triangular motifs in the network

根據(jù)表1，Z得分為正數(shù)，P值為0，得到以上5種網(wǎng)絡都有三角模體特征，可以對其進行模體攻擊。

2)模體攻擊實驗結果

根據(jù)模體度的大小，每次攻擊一個節(jié)點，攻擊次數(shù)為t，采用蓄意模體攻擊(MIA)和隨機模體攻擊(MRA)以上5種網(wǎng)絡，并與傳統(tǒng)的蓄意攻擊(IA)和隨機攻擊(RA)作比較。

從圖4～圖8中，可以得到，從蓄意和隨機各角度看，在網(wǎng)絡具有模體特征的情況下模體攻擊后網(wǎng)絡失效速率大于傳統(tǒng)的點邊攻擊；每條曲線與S(e)=0.5的交點代表讓網(wǎng)絡崩潰的攻擊次數(shù)的閾值[18]，具體次數(shù)由表2體現(xiàn)?？梢钥闯瞿ｓw攻擊次數(shù)閾值小于傳統(tǒng)的點邊攻擊次數(shù)閾值，說明對于模體攻擊，只需要攻擊較少的次數(shù)就能導致網(wǎng)絡的崩潰，網(wǎng)絡展現(xiàn)出較差的抗毀性。

而特別的，在ER網(wǎng)絡(見圖4)和橄欖球網(wǎng)絡(見圖6)中，模體隨機攻擊的速率甚至高于傳統(tǒng)的點蓄意攻擊方式，且崩潰閾值也是模體隨機攻擊小于點蓄意攻擊。導致這一現(xiàn)象的原因可以從表1中分析得出，ER網(wǎng)絡和橄欖球網(wǎng)絡三角模體的平均模體頻率較大，這說明網(wǎng)絡中大量存在三角模體，像這樣模體特征比較明顯的網(wǎng)絡，用模體攻擊效果會更優(yōu)。進一步說明，模體特征明顯的網(wǎng)絡在面對模體攻擊的時候，表現(xiàn)出較差的抗毀性，且模體特征越明顯，網(wǎng)絡的抗毀性越差。

圖5 不同策略攻擊ER網(wǎng)絡效果比較Fig.5 Comparison of different strategies to attack ER networks

圖6 不同攻擊策略攻BA網(wǎng)絡效果比較

圖7 不同策略攻擊橄欖球網(wǎng)絡效果比較Fig.7 Comparison of different strategies to attack football networks

圖8 不同策略攻擊神經網(wǎng)絡網(wǎng)絡效果比較

3.3 四節(jié)點模體攻擊實驗

針對四節(jié)點模體特征的網(wǎng)絡，我們有針對性地研究四邊形模體。因為許多四節(jié)點模體中已經包含了三節(jié)點模體，對于包含三節(jié)點模體的四節(jié)點模體許多性質與三節(jié)點模體相同，因為更高層次上的模體通常由其低層次模體的組合來顯現(xiàn)[6]。例如在圖2中的四節(jié)點模體中，只有最后一個不包含三節(jié)點模體，其余的都包含。為了避免重復研究，實驗中的四節(jié)點模體都是四邊形模體。

圖9 不同策略攻擊電子郵件網(wǎng)絡效果比較

崩潰閾值模體蓄意攻擊模體隨機攻擊點蓄意攻擊點隨機攻擊ER網(wǎng)絡4057120144BA網(wǎng)絡2015944137橄欖球網(wǎng)絡8112932人體神經網(wǎng)絡6538107Email網(wǎng)絡31134101325

1)模體存在性檢驗

與三節(jié)點模體類似，對一個網(wǎng)絡考慮模體攻擊，首先要考慮模體在該網(wǎng)絡中的存在性，采用虛擬網(wǎng)絡和實證網(wǎng)絡各兩個，接下來利用1.2中提出的模體存在性檢驗手段以及由Rand-ESU算法，通過模體發(fā)現(xiàn)軟件FANMOD，對幾種網(wǎng)絡(BA網(wǎng)絡、ER網(wǎng)絡、酵母菌網(wǎng)絡[24]、美國空軍網(wǎng)絡[25])進行模體存在檢驗，為接下來的模體攻擊奠定基礎。

表3 網(wǎng)絡中四邊形模體的存在性Tab.3 The existence of quadrilateral motifs in the network

根據(jù)表3，由于ER、BA網(wǎng)絡的Z得分為負數(shù)，P值都為1，可以得到四邊形模體不是上述兩個網(wǎng)絡的模體，或者說這兩個網(wǎng)絡四邊形模體特征并不明顯，因為在上述兩個虛擬網(wǎng)絡中，點與邊的聯(lián)系并不像現(xiàn)實網(wǎng)絡中錯綜復雜，出現(xiàn)四邊模體的概率就會很低，所以不考慮用模體攻擊的方式。而在酵母菌和美國空軍網(wǎng)絡中，Z得分為正數(shù)，P值為0，可以認為這兩種網(wǎng)絡具有四邊形模體特征，可以對其進行模體攻擊。

圖10 不同策略攻擊酵母菌網(wǎng)絡效果比較Fig.10 Comparison of different strategies to attack yeast networks

圖11 不同策略攻擊美國空軍網(wǎng)絡效果比較Fig.11 Comparison of different strategies to attack USA air networks

2)模體攻擊實驗結果

與三節(jié)點模體攻擊類似，根據(jù)各模體度的大小，每次攻擊一個節(jié)點，攻擊次數(shù)為t作為橫坐標，采用蓄意模體攻擊(MIA)和隨機模體攻擊(MRA)以上5種網(wǎng)絡，并與傳統(tǒng)的蓄意攻擊(IA)和隨機攻擊(RA)手段作比較。

從圖9和圖10中，可以得到與三節(jié)點模體相似的結論，從蓄意和隨機各角度看，在網(wǎng)絡具有模體特征的情況下模體攻擊后網(wǎng)絡失效速率快于傳統(tǒng)的點攻擊；從表4中也可以看出，網(wǎng)絡崩潰的閾值是模體攻擊小于傳統(tǒng)的點攻擊，說明對于模體攻擊，只需要攻擊較少的次數(shù)就能導致網(wǎng)絡的崩潰，網(wǎng)絡展現(xiàn)出較差的抗毀性。

表4 網(wǎng)絡崩潰攻擊次數(shù)閾值Tab.4 Network crash attacks thresholds

4 總結與展望

本文針對有模體特征的網(wǎng)絡提出了攻擊方式與攻擊策略?；诶碚摵同F(xiàn)實中網(wǎng)絡的失效方式，發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的失效方式并不能與之相適應，因此，在傳統(tǒng)攻擊失效的基礎上，新的模體攻擊方式被提出，針對此種攻擊方式，又有與傳統(tǒng)攻擊策略類似的模體攻擊策略與之對應。即先根據(jù)模體度的大小作為衡量模體節(jié)點重要性的一個指標。通過理論推導得到模體度的算法，再根據(jù)該指標在有模體特征的網(wǎng)絡中進行隨機、蓄意攻擊，在不同規(guī)模、不同類型的網(wǎng)絡中發(fā)現(xiàn)模體攻擊方式優(yōu)于傳統(tǒng)攻擊方式。而且網(wǎng)絡的模體特征越明顯，網(wǎng)絡表現(xiàn)出的抗毀性越差。

目前對于含有模體特征的網(wǎng)絡抗毀性研究剛剛起步，現(xiàn)有研究了針對模體度對模體節(jié)點進行攻擊，導致模體特征網(wǎng)絡失效。但一方面，衡量模體節(jié)點的重要性不僅僅只有模體度，新的衡量指標有待提出。另一方面，模體中還含有關鍵的邊，如果對模體邊進行攻擊，網(wǎng)絡又會呈現(xiàn)出不同的抗毀性，這也是未來亟待解決的研究問題。

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