甘肅省蘭州市榆中縣萃英學(xué)校(730100) 馬永勝

一道數(shù)學(xué)題給我的啟示

甘肅省蘭州市榆中縣萃英學(xué)校(730100) 馬永勝

這是一道曾經(jīng)出現(xiàn)在小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)圓的面積計(jì)算后出現(xiàn)的一道求陰影部分計(jì)算的題目.就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形里面有兩個(gè)面積相同的扇形和一個(gè)半圓圍成,最后要計(jì)算這三個(gè)圖形重疊部分的面積.看似簡(jiǎn)單,做起來(lái)的確不容易!

圖1

圖2

仔細(xì)觀察題目,試了好多種移動(dòng)拼圖的方法,都沒(méi)能把這道題做出了.幾個(gè)晚上我冥思苦想,終于想到用做輔助線的方法把這個(gè)圖形化解成常見的圖形,然后用加減的辦法找出陰影部分的面積,下面把我的做法寫出來(lái),和大家共勉.

一、作圖思路

1.用四邊形CEFD的面積減去扇形ECD的面積,就可得到弧面三角形EFD的面積.

2.用四邊形HCDF的面積減去三角形HCM的面積再減去扇形MCD的面積,剩下的就是弧面三角形MFD的面積.

3.弧面三角形EFD的面積減去弧面三角形MFD的面積就是弧面三角形EFM的面積.

4.扇形EFL的面積減去弧面三角形EFM的面積再乘以2就可算出圖中陰影部分的面積.

二、按照上面的解題思路,我對(duì)本道題作如下解答

已知:正方形邊長(zhǎng)為“1”.

第一步: ∵Rt△ECF ～=Rt△DCF ∴四邊形CEFD的面積=FD×CD=∵在Rt△DCF 中,tan∠DCF=∴ ∠DCF ≈ 26.565°∴ ∠DCE=2∠DCF ≈53.13°∴扇形ECD的面積∴弧面三角形EFD的面積0.0366.

第三步:弧面三角形EFM=弧面三角形EFD-弧面三角MFD=0.0366-0.0219≈0.0147.

第四步: ∵ ∠EFL=90°- ∠BFE =90°-∠ECD=90°-53.13°≈ 36.87°∴扇形 ELF 的面積≈0.0804∴題目所求的陰影部分的面積=(扇形ELF的面積-弧面三角形EFM)×2=(0.0804-0.0147)×2≈0.06569×2≈0.13.

到此為止,這道題總算是解決了!

反過(guò)頭來(lái),我們?cè)倏纯催@道題的條件,如果讓小學(xué)生做,幾乎是沒(méi)有辦法的.除非再增加兩個(gè)已知條件,那就是①∠DCF≈26.565°②∠MCT=30°.如果讓已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)知識(shí)的初中生去做這道題,知道tan就可以利用計(jì)算器算出∠DCF≈26.565°.總而言之,這道題讓只學(xué)習(xí)了圓面積和扇形面積計(jì)算的小學(xué)六年級(jí)學(xué)生去做,幾乎是不可能做出來(lái)的!

由此,我再次感受到人類數(shù)學(xué)界的一些看似簡(jiǎn)單的題目,做起來(lái)卻不那么容易.比如哥德巴赫猜想:“任意大于2的偶數(shù),都可表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和”,看似簡(jiǎn)單,至今無(wú)人能夠證明.“1+1=2”人人都知道的結(jié)論,但無(wú)法證明.這就是數(shù)學(xué),一個(gè)神秘的學(xué)科.作為一名教師,希望我們有時(shí)間多研究一些題目,來(lái)動(dòng)動(dòng)自己日漸退化的腦筋.