浙江省寧波鎮(zhèn)海蛟川書院(315200) 滕麗

《反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)》教學(xué)設(shè)計(jì)

浙江省寧波鎮(zhèn)海蛟川書院(315200) 滕麗

一、設(shè)計(jì)理念

1.關(guān)注過程:在教學(xué)活動(dòng)中,讓學(xué)生充分體驗(yàn)畫反比例函數(shù)的過程,并經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、反思建構(gòu)等思維過程.

2.探究式教學(xué):以一系列的探究活動(dòng)為主線,學(xué)生在問題引導(dǎo)下不斷深入,從具體到一般,從直觀到抽象,也讓學(xué)生在解決問題的過程中感受發(fā)現(xiàn)的樂趣,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力.

二、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識(shí)與技能

1.了解反比例函數(shù)圖象的意義.

2.會(huì)畫反比例函數(shù)的圖象.

3.通過對(duì)反比例函數(shù)圖象的分析,掌握反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì):反比例函數(shù)的圖象是由兩個(gè)分支組成的曲線;圖象所在的象限;圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱、關(guān)于直線y=x和y=-x成軸對(duì)稱.

(二)過程與方法

運(yùn)用類比的思想,引導(dǎo)學(xué)生畫圖,通過觀察、分析及歸納圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)的過程,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、化歸、分類討論等思想.

(三)情感、態(tài)度、價(jià)值觀

以積極的態(tài)度進(jìn)行探索,逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力,體會(huì)從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的一個(gè)辯證的過程.

三、教學(xué)重點(diǎn):反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

四、教學(xué)難點(diǎn):反比例函數(shù)的圖象為曲線且分成兩支,給畫圖帶來了復(fù)雜性,是本節(jié)課的難點(diǎn)

五、教學(xué)過程

(一)復(fù)習(xí)引入、以舊探新

問題:我們已經(jīng)知道一次函數(shù)的圖象是一條直線,以前我們是怎樣探究的?反比例函數(shù)的圖象又是怎樣的呢?怎么畫反比例函數(shù)的圖象呢?

設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)一次函數(shù)圖象的回顧,深透類比思想,為引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用描點(diǎn)法畫反比例函數(shù)的圖象作鋪墊,從而引出課題.當(dāng)學(xué)生理解和掌握了“一次函數(shù)及圖象”的學(xué)習(xí)方法和研究路徑后,就能運(yùn)用類比的方法,自主地學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”,真正實(shí)現(xiàn)由學(xué)會(huì)到會(huì)學(xué)的目的.

(二)嘗試發(fā)現(xiàn)、探索新知

問題(1): 列表取值時(shí),x值的取法有什么要求?

問題(2): 觀察所描的點(diǎn)的分布,你有什么發(fā)現(xiàn)?圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)嗎?說說你的想法.

問題(3): 根據(jù)剛才同學(xué)的發(fā)現(xiàn),我們應(yīng)該怎樣連線呢?

設(shè)計(jì)意圖: 學(xué)生初次遇到非線性函數(shù)的圖象,在理解上需要一個(gè)過程,以簡(jiǎn)約、自然的問題驅(qū)動(dòng)教學(xué),觸發(fā)學(xué)生深層次地思考,激發(fā)學(xué)生主動(dòng)地探究.通過對(duì)典型問題的展示交流,分析錯(cuò)誤原因,及時(shí)解決畫圖中存在的錯(cuò)誤,讓學(xué)生憑借以往積累的有關(guān)函數(shù)圖象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),主動(dòng)發(fā)現(xiàn)圖象是由兩個(gè)分支組成的曲線.

探索活動(dòng)2: 如圖,A(1,6),B(6,1)是反比例函數(shù)y=的圖象上的兩點(diǎn),你能說明為什么A、B間的這部分曲線是“凹”下去的嗎?再用幾何畫板驗(yàn)證一下.

說明: 直線AB的解析式為y=-x+7,在1≤x≤6范圍內(nèi)取幾個(gè)x的值,比較和y=-x+7的函數(shù)值的大小,發(fā)現(xiàn)對(duì)于相同的x,y=-x+7的值總大于的值.

設(shè)計(jì)意圖:由于描點(diǎn)的局限性,學(xué)生經(jīng)常會(huì)有這樣的困惑,通過對(duì)具體函數(shù)的計(jì)算分析,再結(jié)合幾何畫板,通過對(duì)點(diǎn)的加密,進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)反比例函數(shù)圖象的理解,培養(yǎng)思維的靈活性和深刻性.

設(shè)計(jì)意圖:通過對(duì)兩個(gè)反比例函數(shù)圖象的觀察、比較、歸納,進(jìn)一步感知雙曲線的特征,在輕松愉快的探索、交流、合作過程中,掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì).

探索活動(dòng)5:反比例函數(shù)圖象軸對(duì)稱的探究

任務(wù)(1):反比例函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,仔細(xì)觀察,反比例函數(shù)的圖象還具備怎樣的對(duì)稱性?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證你的判斷,以小組為單位進(jìn)行合作,并交流你的方法.

任務(wù)(2): 你能用推理的方法證明你的判斷嗎?這有一定的難度,試試看.實(shí)驗(yàn):將所畫的函數(shù)圖象分別沿直線y=x和直線y=-x折疊.

圖1

證明: 如圖,設(shè)點(diǎn)A1(x,y)是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),由△A1OB1～=△A2OB2求出點(diǎn)A1關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A2的坐標(biāo)(x,y),∵∴點(diǎn)A在2y=(k/=0)的圖象上.故反比例函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.同理,還關(guān)于直線y=-x對(duì)稱.

設(shè)計(jì)意圖: 反比例函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性是重要性質(zhì)之一,今后解決問題中有廣泛的應(yīng)用.設(shè)計(jì)由易到難、從實(shí)驗(yàn)到推理、從具體到抽象、兼顧各個(gè)層次的學(xué)生的任務(wù),關(guān)注學(xué)生的差異.

(三)強(qiáng)化新知、鞏固提高

(1)判斷k是正數(shù)還是負(fù)數(shù);

(2)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;

(3)補(bǔ)畫這個(gè)反比例函數(shù)圖象的另一支;

設(shè)計(jì)意圖: 問題層層深入,螺旋上升,從不同的角度對(duì)反比例函數(shù)及其圖象和性質(zhì)進(jìn)行鞏固和提升,特別地,(3)(4)兩小題是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來理解反比例函數(shù)圖象,第(5)小題也涉及了反比例函數(shù)中“k”的意義,進(jìn)一步加深了對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)和靈活運(yùn)用.

(四)反思小結(jié)、系統(tǒng)升華

以“大家好,我是雙曲線…”為開頭,根據(jù)本節(jié)課所學(xué)到的內(nèi)容,寫一段關(guān)于反比例函數(shù)圖象的自述.

設(shè)計(jì)意圖: 自述式小結(jié)讓學(xué)生在編寫小結(jié)的過程中主動(dòng)回顧本節(jié)課的內(nèi)容,形式新穎活潑,增加親切感.這樣的小結(jié)體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,為學(xué)生搭建了自我展示的平臺(tái),可以讓每個(gè)學(xué)生都動(dòng)起來,體會(huì)成功的喜悅.

六、教學(xué)反思

反比例函數(shù)的圖象為曲線且分成兩支,準(zhǔn)確理解并掌握?qǐng)D象特征是本節(jié)課的難點(diǎn),為了突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),設(shè)置了五個(gè)探究活動(dòng),以問題作載體,引導(dǎo)學(xué)生參與,指導(dǎo)學(xué)生探究,讓學(xué)生充分經(jīng)歷由特殊到一般的探究過程,通過學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、動(dòng)手操作等方法最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維的積極性,讓學(xué)生從整體上一步步地理解并掌握反比例函數(shù)的圖象.

學(xué)生雖然有用描點(diǎn)法畫一次函數(shù)圖象的經(jīng)驗(yàn),由于反比例函數(shù)圖象的復(fù)雜性及特殊性,在取點(diǎn)時(shí)注意事項(xiàng)、兩支曲線為什么不連續(xù)、如何用光滑曲線連線、圖象為什么是“凹”的、雙曲線延伸趨勢(shì)為什么不是“圓”等存在疑惑,若教師用講授式規(guī)范地畫出圖象,也還是不能解決學(xué)生的疑惑.基于此,本節(jié)課從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過問題串,讓學(xué)生充分經(jīng)歷“問題—猜想—探究—結(jié)論—驗(yàn)證”的過程,在進(jìn)行列表、描點(diǎn)、作圖的活動(dòng)中,就滲透了反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì).本節(jié)課多次使用幾何畫板輔助教學(xué),幫助學(xué)生直觀、形象地理解圖象的特征,有效地節(jié)省了時(shí)間,增大了課堂容量.

從教學(xué)效果看,學(xué)生參與意識(shí)濃,學(xué)習(xí)積極性高,思維活躍,師生、生生之間配合融洽,教學(xué)效果明顯.不過,本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容豐富,對(duì)學(xué)生的思維要求比較高,對(duì)于基礎(chǔ)稍薄弱班級(jí)的同學(xué)可能容量略大,實(shí)際教學(xué)中可以適當(dāng)增減部分.

圖2

圖83