江蘇省啟東折桂中學(xué)(226200) 顧向紅

二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省啟東折桂中學(xué)(226200) 顧向紅

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,二次函數(shù)的重要性不言而喻,鑒于中考復(fù)習(xí)時(shí)間緊迫,內(nèi)容繁雜,設(shè)計(jì)出典型而又高效的案例往往是教師的首要任務(wù).作為拋磚引玉,筆者奉上二次函數(shù)綜合復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì),本設(shè)計(jì)共兩課時(shí),針對(duì)城鎮(zhèn)中學(xué),學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對(duì)較好.若用在鄉(xiāng)村中學(xué)可適當(dāng)調(diào)整.

1 知識(shí)復(fù)活

下面一段拋物線(xiàn)函數(shù)圖像,一:你能寫(xiě)出它的解析式嗎?你用什么方法求的?和大家分享一下,說(shuō)出你的理由?

(2)補(bǔ)全函數(shù)圖像,說(shuō)出他的性質(zhì)?什么時(shí)候y＞0,Y＜0?

教學(xué)目標(biāo):掌握二次函數(shù)的表達(dá)式,體會(huì)二次函數(shù)的意義.

圖1

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)熟悉的基礎(chǔ)題幫助學(xué)生建立簡(jiǎn)單的知識(shí)結(jié)構(gòu),呈現(xiàn)方式清新自然,不陌生,已接受,好生成,易發(fā)展.

2 經(jīng)典再現(xiàn)

(2016達(dá)州)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a/=0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),與y軸的交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,-1)之間(不包括這兩點(diǎn)),對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1.下列結(jié)論:1

圖2

①abc＞0

②4a+2b+c＞0

③4ac-b2＜8a

⑤b＞c.

其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是( )

A.①③B.①③④

C.②④⑤D.①③④⑤

教學(xué)目標(biāo):會(huì)用數(shù)表、圖像和表達(dá)式三種表示方法來(lái)表示二次函數(shù),并會(huì)相互轉(zhuǎn)化;會(huì)畫(huà)二次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:考察學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像性質(zhì)的理解.主要針對(duì)問(wèn)題有:如何選擇適當(dāng)?shù)膾佄锞€(xiàn)以簡(jiǎn)化計(jì)算.如何將交點(diǎn)B在(0,-2)和(0,-1)之間轉(zhuǎn)化為代數(shù)式.

3 求解析式

(2016無(wú)錫)已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a＞0)的圖象與x軸的負(fù)半軸和正半軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,它的頂點(diǎn)為P,直線(xiàn)CP與過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸的直線(xiàn)交于點(diǎn)D,且CP:PD=2:3

圖3

圖4

教學(xué)目標(biāo):利用二次函數(shù)的圖像解決問(wèn)題,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生熟悉數(shù)形結(jié)合法解題,能把幾何點(diǎn)的意義(A,B,P)用代數(shù)坐標(biāo)等價(jià)表述,解題思路略述:(1)由二次函數(shù)的解析式可求出對(duì)稱(chēng)軸為x=1,過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,所以O(shè)E:EB=CP:PD;

(2)過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F,交PE于點(diǎn)G,構(gòu)造直角三角形CDF,利用tan∠PDB=即可求出FD,由于

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);△CPG～△CDF,所以可求出PG的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出a的值,最后將A(或B)的坐標(biāo)代入解析式即可求出c的值.

4 經(jīng)典求面積問(wèn)題

y=x2-2x-3于x軸交于AB兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D,求OCDA的面積?P在AC下方拋物線(xiàn)的點(diǎn)求三角形ACP的面積?P若在BC段拋物線(xiàn)上的點(diǎn)上求面積S△BCP?

變式一:求何時(shí)P到AC距離最大?

變式二:P在x軸下方的拋物線(xiàn),三角形PAC面積取何值有兩點(diǎn),三點(diǎn),四點(diǎn)?

變式三: p在拋物線(xiàn)上何時(shí)S△ABP=S△ABC,S△ABP=2S△ABC

圖5

圖6

圖7

教學(xué)目標(biāo):通過(guò)利用二次函數(shù)的圖像解決問(wèn)題,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法;樹(shù)立主動(dòng)參與積極探索嘗試、猜想和發(fā)現(xiàn)的精神.

設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)第一個(gè)求梯形面積詮釋求面積通解方法,放入梯形通過(guò)適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)解決問(wèn)題,同時(shí)把握核心思想割補(bǔ)化成直底,引入多種解法.通過(guò)合成題目進(jìn)一步鞏固函數(shù)性質(zhì)如何看圖像,利用函數(shù)建模及分類(lèi)討論思想滲入其中.

5 動(dòng)態(tài)圖像問(wèn)題組

(2015?常州)已知二次函數(shù)y=x2+(m-1)x+1,當(dāng)x＞1時(shí),y隨x的增大而增大,而m的取值范圍是( )

A.m=-1 B.m=3

C.m≤-1 D.m≥-1

(2014淄博)已知二次函數(shù)y=a(x-h)2+k(a＞0)其圖像過(guò)點(diǎn)(0,2)(8,3)則h的值可以是?

A.6 B. 5 C.4 D. 3

(2014嘉興)當(dāng)-2≤x≤1時(shí),二次函數(shù)y=-(xm)2+m2+1有最大值4,則實(shí)數(shù)m的值?

教學(xué)目標(biāo):逐步體會(huì)和認(rèn)識(shí)二次函數(shù);體會(huì)從特殊函數(shù)到一般函數(shù)的過(guò)渡,注意找函數(shù)之間的聯(lián)系和區(qū)別.

設(shè)計(jì)意圖:這是有梯度學(xué)習(xí)型的題組,針對(duì)學(xué)生對(duì)動(dòng)態(tài)的圖像本身的認(rèn)識(shí)較為膚淺的問(wèn)題,便于學(xué)生的自然理解和逐漸領(lǐng)悟,完成一個(gè)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài),單純到復(fù)合的知識(shí)體系,促使知識(shí)模塊化.

6 二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用

(2016?福建龍巖)某網(wǎng)店嘗試用單價(jià)隨天數(shù)而變化的銷(xiāo)售模式銷(xiāo)售一種商品,利用30天的時(shí)間銷(xiāo)售一種成本為10元/件的商品售后,經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)得到此商品單價(jià)在第x天(x為正整數(shù))銷(xiāo)售的相關(guān)信息,如表所示:

___銷(xiāo)售量n(件)n=50-x___________銷(xiāo)售單價(jià)m(元/件)__當(dāng)1≤x≤20時(shí),m=20+1 2x__當(dāng)21≤x≤30時(shí),m=10+420 x__

(1)請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品單價(jià)為25元/件?

(2)求網(wǎng)店銷(xiāo)售該商品30天里所獲利潤(rùn)y(元)關(guān)于x(天)的函數(shù)關(guān)系式;

(3)這30天中第幾天獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

教學(xué)目標(biāo): 利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題,靈活應(yīng)用二次函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖:考察學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用,同時(shí)也考察學(xué)生計(jì)算能力.

解:(1)分兩種情況

經(jīng)檢驗(yàn)x=28是方程的解∴x=28

答:第10天或第28天時(shí)該商品為25元/件.

(2)分兩種情況

7 課后作業(yè)

(1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖8所示,且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a-b|-|3b+2c|,則P,Q的大小關(guān)系是___.

(2)(2014嘉興)當(dāng)-2≤ x≤ 1時(shí),二次函數(shù)y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,球?qū)崝?shù)m的值?

(3)(2015?天津)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù)).

(I)當(dāng)b=2,c=-3時(shí),求二次函數(shù)的最小值;

(II)當(dāng)c=5時(shí),若在函數(shù)值y=l的怙況下,只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng),求此時(shí)二次函數(shù)的解析式;

(III)當(dāng)c=b2時(shí),若在自變量x的值滿(mǎn)足b≤x≤b+3的情況下,與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為21,求此時(shí)二次函數(shù)的解析式.

解: (I)當(dāng)b=2,c=-3時(shí),二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴當(dāng)x=-1時(shí),二次函數(shù)取得最小值-4;

(II)當(dāng)c=5時(shí),二次函數(shù)的解析式為y=x2+bx+5,由題意得,x2+bx+5=1有兩個(gè)相等是實(shí)數(shù)根,∴△ =b2-16=0,解得,b1=4,b2=-4,∴次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+4x+5,y=x2-4x+5;

(III)當(dāng)c=b2時(shí),二次函數(shù)解析式為y=x2+bx+b2,圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)

圖9

(4)如圖,拋物線(xiàn)y=ax2+bx-5(a/=0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,-5),與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OC=5OB,拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.

(1)求這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式;

(2)聯(lián)結(jié) AB、BC、CD、DA,求四邊形ABCD的面積;

(3)如果點(diǎn)E在y軸的正半軸上,且∠BEO=∠ABC,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

圖10

解: (1)∵ 拋 物 線(xiàn) y =ax2+bx-5與y軸交于點(diǎn)C,∴ C(0,-5),∴ OC = 5.∵OC=5OB,∴OB=1,又點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,∴ B(-1,0).∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,-5)和點(diǎn)B(-1,0),∴,解得,∴這條拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=x2-4x-5.

(2)由y=x2-4x-5,得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-9).連接AC,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,-5),點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,-5),又 S△ABC=×4×5=10,S△ACD=×4×4=8,∴ S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=18.(3)過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB,垂足為點(diǎn)H.∵S△ABC=×AB×CH=10,AB=,∴ CH=在 Rt△BCH中,∠BHC=90°,BC=3,∴ tan∠CBH=.∵ 在 Rt△BOE 中,∠BOE=90°,tan∠BEO=∵ ∠BEO= ∠ABC,得,∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

(5)(2016?湖北隨州?9分)九年級(jí)(3)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第x天(1≤x≤90,且x為整數(shù))的售價(jià)與銷(xiāo)售量的相關(guān)信息如下.已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件,設(shè)該商品的售價(jià)為y(單位:元/件),每天的銷(xiāo)售量為p(單位:件),每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w(單位:元).

____時(shí)間x(天)1____30___60__90__每天銷(xiāo)售量p(件)___198__140__80__20_

(1)求出w與x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)問(wèn)銷(xiāo)售該商品第幾天時(shí),當(dāng)天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?并求出最大利潤(rùn);

(3)該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中,共有多少天每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5600元?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果.

二次函數(shù)的應(yīng)用;一元一次不等式的應(yīng)用.

解: (1)當(dāng)0≤ x≤ 50時(shí),設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b(k、b為常數(shù)且k/=0),∵ y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn) (0,40)、(50,90),∴解得:,∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40;當(dāng)50＜x≤90時(shí),∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=.由書(shū)記可知每天的銷(xiāo)售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系,設(shè)每天的銷(xiāo)售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n(m、n為常數(shù),且m/=0),∵p=mx+n 過(guò)點(diǎn) (60,80)、(30,140),∴解得:且 x為整數(shù)),當(dāng) 0≤ x≤ 50時(shí),w=(y-30)·p=(x+40-30)(-2x+200)=-2x2+180x+2000;當(dāng)50＜x≤90時(shí),w=(90-30)(-2x+200)=-120x+12000.綜上所示,每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是

(2)當(dāng)0≤x≤50時(shí),w=-2x2+180x+2000=-2(x-45)2+6050,∵a=-2＜0且0≤x≤50,∴當(dāng)x=45時(shí),w取最大值,最大值為6050元.當(dāng)50＜x≤90時(shí),w=-120x+12000,∵k=-120＜0,w隨x增大而減小,∴當(dāng)x=50時(shí),w取最大值,最大值為6000元.∵6050＞6000,∴當(dāng)x=45時(shí),w最大,最大值為6050元.即銷(xiāo)售第45天時(shí),當(dāng)天獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是6050元.

(3)當(dāng)0≤ x≤ 50時(shí),令w=-2x2+180x+2000≥5600,即-2x2+180x-3600≥ 0,解得:30≤ x≤ 50,50-30+1=21(天);當(dāng)50 ＜ x ≤ 90時(shí),令w=-120x+12000≥ 5600,即-120x+6400≥ 0,解得:50＜x≤53,∵x為整數(shù),∴50＜x≤53,53-50=3(天).綜上可知:21+3=24(天),故該商品在銷(xiāo)售過(guò)程中,共有24天每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于5600元.