吳尚孺，高寶成

(北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的自適應(yīng)余弦擬合隨機(jī)共振幅值估計(jì)研究

吳尚孺，高寶成

(北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100876)

針對(duì)余弦擬合算法計(jì)算量大、準(zhǔn)度不高等問題，本文基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)頻域進(jìn)行平滑處理，提出一種對(duì)特定頻率峰值擬合的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振幅值估計(jì)算法。首先，利用移頻變尺度線性壓縮隨機(jī)共振檢測(cè)出特定頻率并利用所得頻率設(shè)計(jì)出余弦曲線，在此基礎(chǔ)上基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)特定頻率進(jìn)行平滑處理，提出一種以特定頻率的峰值為擬合目標(biāo)的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)方法，從而實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的幅值估計(jì)。通過(guò)仿真數(shù)據(jù)，證明該算法比余弦擬合算法有效率，精度提升了1.33%。

隨機(jī)共振；幅值估計(jì)；平均能量；譜峰值擬合

0 引言

自1981年R.Benzi[1-2]等人提出隨機(jī)共振（Stochastic Resonance，SR）的概念，SR已被廣泛應(yīng)用于微弱信號(hào)的檢測(cè)中。與傳統(tǒng)的去噪方法相比，SR技術(shù)不是消除噪聲，而是利用噪聲提高信噪比來(lái)檢測(cè)微弱信號(hào)。由于SR在噪聲背景下檢測(cè)弱信號(hào)有著一定的優(yōu)勢(shì)，使得隨機(jī)共振技術(shù)在弱信號(hào)檢測(cè)成為了一個(gè)熱點(diǎn)。目前，隨機(jī)共振對(duì)微弱信號(hào)特定頻率的檢測(cè)已經(jīng)比較完善，主要有二次采樣轉(zhuǎn)換頻率尺度[3-4]、 EMD模型分解[5-6]和自適應(yīng)調(diào)節(jié)參數(shù)優(yōu)化SR模型系統(tǒng)[7-8]等。

然而，為了進(jìn)一步滿足工程的需求，還需要對(duì)微弱信號(hào)的幅值的大小進(jìn)一步研究討論。文獻(xiàn)[9]從還原粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的角度提出了恢復(fù)公式，但是需要對(duì)信號(hào)還原中存在的畸變點(diǎn)進(jìn)行處理；文獻(xiàn)[10]避開畸變點(diǎn)的討論，采用余弦擬合對(duì)隨機(jī)共振信號(hào)進(jìn)行反演擬合，但是噪聲較大或者頻率成分較多時(shí)也難以擬合到真實(shí)的幅值；文獻(xiàn)[11]采用了基于帶通濾波基礎(chǔ)上的模態(tài)分解（EMD），但是會(huì)帶來(lái)多余的邊際噪聲影響。

本文首先闡述了隨機(jī)共振理論原理，并對(duì)文獻(xiàn)[10]提到的余弦擬合展開分析，并針對(duì)其計(jì)算量大、精度不高等問題，提出一種對(duì)譜峰值擬合的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振幅值估計(jì)算法。仿真信號(hào)證明了該方法的有效性。

1 隨機(jī)共振理論與余弦擬合算法

1.1 隨機(jī)共振理論

在雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)中，根據(jù)非線性郎之萬(wàn)方程，隨機(jī)共振系統(tǒng)方程可以表示為:

其中，s( t)為微弱信號(hào)，n( t)為高斯白噪聲信號(hào)，E[ n( t)]=0，E[ n( t) n( t-τ)]=2Dσ( τ)n( t)=2Dξ(t)，D為噪聲強(qiáng)度，a和b為系統(tǒng)函數(shù)的參數(shù)。當(dāng)輸入信號(hào)s( t)+n( t)的能量足夠大時(shí)，那么輸入信號(hào)將會(huì)克服系統(tǒng)勢(shì)壘，在兩穩(wěn)態(tài)之間產(chǎn)生躍遷，發(fā)生隨機(jī)共振。同時(shí)，隨機(jī)共振還必須滿足小參數(shù)模型，也即是微弱信號(hào)的特定頻率f0在0.01 Hz附近。

當(dāng)隨機(jī)共振的特定頻率0f不滿足小參數(shù)模型時(shí)，由文獻(xiàn)[10]提供了一種移頻變尺度（FRSR）的方法。它對(duì)頻譜整個(gè)頻段進(jìn)行分段壓縮處理，cf為每段的頻段起點(diǎn)。對(duì)于任意特定頻率0f，總能找到合適的線性壓縮比例k，進(jìn)行變尺度壓縮，使其滿足小參數(shù)模型。壓縮公式為：

當(dāng)輸入信號(hào)為單頻時(shí)，cf為0，此時(shí)壓縮公式為：0/ffk=。因此，對(duì)于任意輸入信號(hào)，總能運(yùn)用FRSR算法檢測(cè)出它的頻率成分。

1.2 余弦擬合算法

對(duì)于任意滿足dirichlet條件的微弱信號(hào)()s t，總可以將其展開成傅里葉級(jí)數(shù)，即

其中，0Ω是()s t的基波頻率，0Ωk是()s t的第k次諧波，0a、ka和kb為各次諧波幅值。

對(duì)其變形，能得到如下式子：

余弦擬合算法就是基于這個(gè)基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)的。首先利用移頻變尺度檢測(cè)出輸入信號(hào)的頻率，然后利用所得頻率設(shè)計(jì)出余弦曲線。假設(shè)檢測(cè)出特定頻率f1和f2，那么就可以設(shè)計(jì)出余弦輸入曲線為：

其中β（i）為待估計(jì)參數(shù)，i=1,2,3,4。

根據(jù)最小二乘法原理，殘差平方和Q為

當(dāng)Q取得最小值時(shí)，那么對(duì)應(yīng)的β（i）將會(huì)是最優(yōu)擬合序列。

對(duì)于殘差平方和Q的計(jì)算不僅繁瑣，而且隨著β（i）的數(shù)量的增多，不僅計(jì)算量急劇增大，而且擬合的誤差也越來(lái)越大。同時(shí)，最小二乘法對(duì)于異常參數(shù)特別敏感，可是隨著信噪比的降低，異常參數(shù)出現(xiàn)的概率就越大，擬合偏差也就越大。

2 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的自適應(yīng)余弦擬合隨機(jī)共振幅值估計(jì)

為了避開上述問題，本文將不再以殘差平方和Q為目標(biāo)函數(shù)，而是變成以雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出頻譜的特定頻率的峰值為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)對(duì)β（i ）的自適應(yīng)尋優(yōu)。

2.1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理

對(duì)于整個(gè)頻段而言，輸入信號(hào)中的周期成分能量主要集中于特定頻段。而相對(duì)于噪聲而言，輸入信號(hào)的周期成分在頻域上的表現(xiàn)更類似于一個(gè)位于特定頻率的脈沖信號(hào)，因此運(yùn)用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)整個(gè)頻段中的特定頻段進(jìn)行平滑處理能有效的“描述”出環(huán)境噪聲，從而能很大程度上還原出環(huán)境噪聲。本文將以特定頻率0f為中心，fΔ為頻帶帶寬，將形態(tài)開—閉和形態(tài)閉—開結(jié)合使用，從而達(dá)到平滑的目的，最大程度上還原出輸入信息中的環(huán)境噪聲成分。

圖1是對(duì)信號(hào)進(jìn)行形態(tài)學(xué)處理前后的頻譜對(duì)比示意圖。圖中的fΔ為處理信號(hào)的頻帶帶寬。通過(guò)對(duì)比分析，認(rèn)為經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理后的信號(hào)就是原始信號(hào)中的環(huán)境噪聲。依據(jù)這個(gè)前提，進(jìn)一步提出自適應(yīng)隨機(jī)共振余弦擬合幅值估計(jì)的算法。

2.2 自適應(yīng)隨機(jī)共振余弦擬合幅值估計(jì)算法

當(dāng)信號(hào)滿足小參數(shù)模型發(fā)生隨機(jī)共振，將會(huì)在頻域上產(chǎn)生與微弱信號(hào)頻率相對(duì)應(yīng)的譜值。譜值反映著輸入信號(hào)的幅值變形程度，且它是一個(gè)非線性放大的過(guò)程。由于頻域上的峰值對(duì)于擬合參數(shù)β（i ）中的相位并不敏感，因此設(shè)計(jì)余弦參數(shù)時(shí)將不再考慮相位。

圖1 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理信號(hào)頻譜對(duì)比圖Fig.1 Mathematical morphology processing signal spectrum comparison chart

因此，以特定頻率上的幅值為擬合目標(biāo)，本文提出了一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的自適應(yīng)余弦擬合隨機(jī)共振幅值估計(jì)算法。當(dāng)單頻微弱信號(hào)s( t)和噪聲n( t)一起作為隨機(jī)共振系統(tǒng)輸入信號(hào)s( t)+n( t)時(shí)，整個(gè)算法如下：

（1）當(dāng)微弱信號(hào)的特征頻率f0已知的情況下，對(duì)輸入信號(hào)作FFT變換后，記錄下特定頻率f0對(duì)應(yīng)的幅值，用Amp來(lái)表示，并在在特定頻率f0的附近選取合適的頻段帶寬（一般5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)），對(duì)頻域進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理，而其他頻段保持不變。那么可以認(rèn)為平滑后的頻域信號(hào)Nois為本次輸入信號(hào)的噪聲信號(hào)特征。

（2）結(jié)合移頻變尺度線性壓縮算法檢測(cè)出特定頻率f0，并利用所得頻率設(shè)計(jì)出余弦曲線，用s?來(lái)表示，那么有s?=A?.sin(2π.f0.t)，其中幅值A(chǔ)?未知，A?也就是本次的調(diào)節(jié)參數(shù)。

（3）通過(guò)匹配特定頻率上的幅值尋求最優(yōu)幅值A(chǔ)?。把設(shè)計(jì)輸入信號(hào)的周期成分s?和平滑后處理得到的環(huán)境噪聲Nois作為設(shè)計(jì)輸入，經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)將會(huì)得到一個(gè)新的頻段譜峰值amp。通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)進(jìn)行遍歷，直到滿足amp-Amp≤0.002。記下此時(shí)的A?，用A?best來(lái)表示。那么則認(rèn)為t為估計(jì)出來(lái)的微弱信號(hào)s( t)的幅值。

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出設(shè)計(jì)的算法流程圖如圖2所示。它通過(guò)所設(shè)步長(zhǎng)ΔA去遍歷區(qū)間（0,Amax）實(shí)現(xiàn)匹配尋優(yōu)過(guò)程。其中，預(yù)處理信號(hào)包括區(qū)間（0,Amax）和初始值A(chǔ)0的選定、原始信號(hào)經(jīng)過(guò)隨機(jī)共振系統(tǒng)的譜峰值A(chǔ)mp和特定頻率0f的獲取、以及對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)平滑處理等。當(dāng)滿足ampAmp≥后，就可以初步得到幅值的合理區(qū)間。為了進(jìn)一步提高精度，通過(guò)設(shè)定閾值0.002和二分查找迭代次數(shù) 去對(duì)區(qū)間進(jìn)一步仔細(xì)尋優(yōu)。

圖2 設(shè)計(jì)算法流程圖Fig.2 Flow chart of design algorithm

3 仿真與分析

本節(jié)將對(duì)上述算法進(jìn)行仿真并與余弦擬合法進(jìn)行對(duì)比，對(duì)其性能展開分析。

仿真 輸入幅值為0.3，特征頻率為0.01的正弦信號(hào)，高斯白噪聲強(qiáng)度為0.5。采樣頻率為2Hz，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為4096。

圖3（a）和（c）為輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)發(fā)生隨機(jī)共振的時(shí)頻圖。從圖中能看出，輸入信號(hào)發(fā)生了明顯的隨機(jī)共振現(xiàn)象。這也是本次仿真的充要條件。圖3（b）和（d）為對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)學(xué)形態(tài)平滑處理的前后頻譜對(duì)比圖。本次仿真中特定頻率為0.01，平滑處理時(shí)帶寬Δf=0.004。在本次仿真中，設(shè)定遍歷區(qū)間為（2.5,0.6），初始值A(chǔ)0=0.25，設(shè)定閾值為0.005，步長(zhǎng)ΔA=0.05，迭代次數(shù)n=5。通過(guò)6次的仿真得到表格1。從表格1中能明顯得出，本次仿真出來(lái)的結(jié)果明顯圍繞著理想幅值A(chǔ)=0.3上下波動(dòng)。對(duì)尋優(yōu)出來(lái)的A?進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，平均均方差差為Δd =0.0144。

下面與文獻(xiàn)[10]里面提到的余弦擬合算法做一個(gè)對(duì)比。在本文中，直接采用Matlab自帶的cftool曲線擬合工具箱。對(duì)其進(jìn)行6次仿真，得到表2。

對(duì)表2中最優(yōu)值的擬合值β（0）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，平均均方差差為Δd =0.0184。通過(guò)對(duì)比，本文的算法比余弦擬合算法平均偏差降低了0.0040。相對(duì)于理想幅值0.3，精度提升了1.33%。

圖3 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸入輸出時(shí)頻圖Fig.3 Bistable system input and output time-frequency diagram

表1 自適應(yīng)余弦法擬合結(jié)果Tab.1 Results of adaptive cosine fitting based on mathematical morphology

表2 基于Matlab的余弦擬合結(jié)果Tab.2 Results of cosine fitting based on mathlab

4 結(jié)論

本文研究了余弦擬合算法對(duì)隨機(jī)共振幅值反演的過(guò)程，分析了余弦擬合算法的不足，提出了以特定頻率的峰值為擬合目標(biāo)的自適應(yīng)參數(shù)調(diào)節(jié)方法。為了盡可能還原出環(huán)境噪聲，采用了數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。該算法物理意義明確，過(guò)程簡(jiǎn)單。通過(guò)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證，該算法比余弦擬合算法精度要高。

[1] Benzi R, Alfonoso S, Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance[J]. Journal of Physics A General Physics, 1981, 14(11): L453-457.

[2] Benzi R, Sutera A, Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance[J]. Journal of Physics A General Physics, 2004, 14(11): L453.

[3] 冷永剛, 王太勇. 二次采樣用于隨機(jī)共振從強(qiáng)噪聲中提取弱信號(hào)的數(shù)值研究[J]. 物理學(xué)報(bào), 2003, 52(10): 2432-2437.

[4] 鄭堂, 李世平, 程雙江, 等. 為檢測(cè)微弱周期信號(hào)對(duì)二次采樣隨機(jī)共振相關(guān)參數(shù)的研究[J]. 計(jì)量學(xué)報(bào), 2015(3).

[5] 韓東穎, 丁雪娟, 時(shí)培明. 基于自適應(yīng)變尺度頻移帶通隨機(jī)共振降噪的EMD多頻微弱信號(hào)檢測(cè)[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2013, 49(8): 10-18.

[6] 張超, 陳建軍, ZhangChao, 等. 隨機(jī)共振消噪和EMD分解在軸承故障診斷中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究, 2013, 29(1): 35-38.

[7] 陳敏, 胡蔦慶, 秦國(guó)軍, 等. 參數(shù)調(diào)節(jié)隨機(jī)共振在機(jī)械系統(tǒng)早期故障檢測(cè)中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2009, 45(4): 131-135.

[8] 李嶺陽(yáng), 王華慶, 沈偉, 等. 基于粒子群優(yōu)化的移頻變尺度隨機(jī)共振方法[C]//全國(guó)設(shè)備潤(rùn)滑油與液壓學(xué)術(shù)會(huì)議. 2015.

[9] 張瑩, 王太勇, 冷永剛, 等. 雙穩(wěn)隨機(jī)共振的信號(hào)恢復(fù)研究[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 40(4): 528-534.

[10] 譚繼勇, 陳雪峰, 何正嘉. 采用余弦擬合的隨機(jī)共振反演技術(shù)研究[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 44(1): 41-45.

[11] 張海如, 王國(guó)富, 張法全, 等. 改進(jìn)的隨機(jī)共振和EMD混合模型用于轉(zhuǎn)子早期故障檢測(cè)[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2014(2): 83-89.

[12] Bouchet A, Alonso P, Pastore J I, et al. Fuzzy mathematical morphology for color images defined by fuzzy preference relations[J]. Pattern Recognition, 2016, 60: 720-733.

[13] T'Kindt V, Monmarché N, Tercinet F, et al. An Ant Colony Optimization algorithm to solve a 2-machine bicriteria flowshop scheduling problem[J]. European Journal of Operational Research, 2002, 142(2): 250-257.

[14] Kong M, Tian P, Kao Y. A new ant colony optimization algorithm for the multidimensional Knapsack problem[J]. Computers & Operations Research, 2008, 35(8): 2672-2683.

[15] Xu Y, Wu J, Du L, et al. Stochastic resonance in a genetic toggle model with harmonic excitation and Lévy noise[J]. Chaos Solitons & Fractals the Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science & Nonequilibrium & Complex Phenomena, 2016, 92: 91-100.

[16] Duranteau M, Valierbrasier T, Conoir J M, et al. Random acoustic metamaterial with a subwavelength dipolar resonance[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2016, 139(6): 3341-3352.

[17] Semenov V, Zakharova A, Maistrenko Y, et al. Delayedfeedback chimera states: Forced multiclusters and stochastic resonance[J]. Physical Review Letters, 2016, 112(112): 054102.

[18] 張國(guó)勇, 王軍, 李少謙. 自適應(yīng)隨機(jī)共振系統(tǒng)最佳參數(shù)設(shè)計(jì)[J]. 2017.

[19] 楊紅娜, 郝如江, 梁建華. 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整優(yōu)化研究[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2017, 30(1): 76-80.

[20] 李一博, 王會(huì)芳, 張博林. 基于勢(shì)函數(shù)參數(shù)的隨機(jī)共振性能研究[J]. 納米技術(shù)與精密工程, 2017, 15(2): 114-120.

Stochastic Resonance Amplitude Estimation of Adaptive Cosine Fitting Based on Mathematical Morphology

WU Shang-ru, GAO Bao-cheng
(School of Automation, Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876, China)

Aiming at the problem that the cosine fitting algorithm is large and the accuracy is not high, this paper proposes a kind of adaptive parameter adjustment of Stochastic Resonance Amplitude Estimation with fitting specific frequency for the peak frequency based on mathematical morphology. Firstly, the specific frequency is detected by Scale-transformation theory and the cosine curve is designed by using the obtained frequency. With mathematical morphology processing spectrum, an adaptive parameter adjustment method with the peak of a specific frequency as the fitting target is proposed to achieve the amplitude of the weak signal. Through the simulation data, it is proved that the algorithm is more efficient than the cosine fitting algorithm, and the precision is improved by 1.33%.

Stochastic resonance; Amplitude estimation; Cosine fitting; Mathematical morphology; Adaptive parameter adjustment

TH17

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.05.016

吳尚孺，男，(1990-)，北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院碩士研究生，主要從事隨機(jī)共振幅值研究仿真工作。

高寶成，男，(1961-)，北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院副教授，主要從事聲信號(hào)檢測(cè)與處理，計(jì)算機(jī)測(cè)控系統(tǒng)等工作。

本文著錄格式：吳尚孺，高寶成. 基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的自適應(yīng)余弦擬合隨機(jī)共振幅值估計(jì)研究[J]. 軟件，2017，38（5）：71-74