曾 光 姜 潮 倪冰雨.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙,400822.中聯(lián)重科股份有限公司,長沙,4003

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工程機械柔性機械臂振動的混合可靠性分析

曾 光1,2姜 潮1倪冰雨1
1.湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙,4100822.中聯(lián)重科股份有限公司,長沙,410013

基于概率-區(qū)間混合不確定性模型及結構可靠性分析方法，針對工程機械多關節(jié)柔性機械臂的振動可靠性進行研究。根據(jù)機械臂不確定參數(shù)的信息完備程度，通過概率變量和區(qū)間變量對不確定參數(shù)進行度量?；谌嵝员奂苡邢拊抡鏀?shù)據(jù)，構建機械臂參數(shù)與結構固有頻率關系的徑向基函數(shù)代理模型，進而通過概率-區(qū)間混合可靠性分析方法對機械臂共振的失效概率進行區(qū)間估計。最后將該方法應用于實際產品，通過工程實例驗證了方法的有效性。

柔性機械臂；振動分析；概率-區(qū)間混合模型；徑向基代理模型

0 引言

在實際工作中，機械臂各關節(jié)角度均為不確定性參數(shù)，構型變化多樣，臂架的系統(tǒng)固有頻率也隨之變化較大，各構型下的動態(tài)響應存在不確定性，當外界載荷頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時，將產生共振并造成結構快速失效，若仍然采用確定性的靜態(tài)分析方法則不能反映上述工程特點，其分析結果也難以反映工程實際，因此，為實現(xiàn)大型工程機械裝備在復雜工況下有效安全地作業(yè)，需要針對上述機械臂振動進行基于不確定性的結構可靠性分析。

對于多關節(jié)機械臂可靠性的研究，目前國內外已有一些研究成果。文獻[1]根據(jù)機器人機械臂各運動參數(shù)的概率信息，對機器人機械臂的總體可靠度進行了評價。考慮到隨機因素的影響，文獻[2]將隨機因子法引入隨機響應面中，提出了一種處理多輸入隨機參數(shù)的雙連桿機械臂系統(tǒng)可靠性分析方法。通過將機械臂分為裝配體結構和單體結構，文獻[3]對工業(yè)機器人機械臂進行了模態(tài)分析，并借助于ANSYS的概率分析模塊對機械臂進行了可靠性研究?？紤]到工程機械臂的加工制造誤差等不確定性因素，文獻[4]基于概率方法構建了不確定性對機械臂運動學和動力學的作用機制模型，并進行了運動學和動力學可靠性研究。由于冗余自由度多關節(jié)機械臂具有靈活度高、避障能力和抗故障風險強的特性，文獻[5]將整個任務分解為多個步驟，最終對機械臂完成整項任務的可靠度進行了估計?？紤]到彈性因素的影響，文獻[6]構建了機械臂端部執(zhí)行器位姿精度的多級模型，實現(xiàn)了對機械臂運動精度的可靠性分析。上述研究多集中于關節(jié)較少、尺寸較小的機械臂機構可靠性方面，而對于多關節(jié)柔性機械臂的結構可靠性，尤其是在振動外載荷作用下的可靠性研究報道目前并不多見。并且，目前對工程機械臂架的可靠性分析多集中于概率假設，即認為不確定因素服從某種概率分布函數(shù)；然而在實際工程中，由于施工工況復雜多變、試驗可測數(shù)據(jù)有限等原因，有些參數(shù)的概率分布函數(shù)難以精確獲取甚至不存在。研究表明[7]，對于此類參數(shù)的不當概率假設可導致對結構可靠性的估計產生較大的偏差，反而增大了工程機械在實際施工中的失效風險。

針對上述問題，本文提出了一種基于概率-區(qū)間混合不確定性的柔性機械臂振動可靠性分析方法。通過在柔性機械臂可變構型范圍空間內建立振動可靠性分析中動力學特性變量關于構型不確定性參量的響應面函數(shù)，并基于構型-動力學特性響應面函數(shù)及激勵載荷情況，建立概率-區(qū)間混合可靠性分析模型，最終采用迭代解耦方法進行求解。

1 柔性機械臂架振動可靠性分析

諸如混凝土泵車、工程起重機、消防車等車載工程機械裝備主要由底盤、動力傳輸系統(tǒng)和臂架系統(tǒng)組成，臂架系統(tǒng)是其最關鍵的部件之一。例如，對于混凝土泵車，混凝土主要通過臂架系統(tǒng)連續(xù)不斷地泵送到澆注點，因此臂架性能的好壞直接影響混凝土澆注質量。

目前柔性機械臂架系統(tǒng)在設計上趨于輕型化，而且隨著臂桿長度不斷增大，臂架的柔性影響越來越明顯。由于多關節(jié)機械臂結構始終處于動載荷作用下，臂架系統(tǒng)會出現(xiàn)一定程度的低頻振動，這種低頻振動不僅不利于臂架系統(tǒng)的控制和末端定位，而且會加速臂架的疲勞破壞。此外，當機械臂工作于特定工況、伸展成特定姿態(tài)、動態(tài)載荷頻率與臂架固有頻率接近至一定程度時，臂架就開始劇烈搖晃并導致動應力顯著增大，因此準確了解各工況下臂架結構固有頻率與動態(tài)載荷特征尤為重要。

對于柔性機械臂的振動可靠性評估，其不確定性主要來源于載荷的不確定性和動力學特性的不確定性。載荷的不確定性包括頻率、大小和作用形式等的不確定性。動力學特性的不確定性則包括兩個方面：第一，結構的幾何尺寸、材料屬性、制造工藝、時變損傷、關節(jié)間隙、動力學求解方法等的影響難以精確確定，造成即使已知柔性機械臂的構型，數(shù)學模型的動力學特性預測結果也會與實際情況存在一定的差異；第二，柔性機械臂是一個多自由度系統(tǒng)，工作過程中構型在不斷變化，構型的變化將會造成機械臂動力學特性的顯著變化。對于實際工程問題，由于試驗條件限制和實際工況的不可預知性，有些不確定性參數(shù)因試驗樣本的充足可以構建精確的概率分布(如機械臂的振動載荷)，而有些參數(shù)因樣本缺乏只能給定其變化區(qū)間(如決定機械臂工作構型的各個關節(jié)角度等)。僅僅基于概率理論進行可靠性分析很難精確得到所有不確定變量的概率分布函數(shù)，采用概率-區(qū)間混合模型進行柔性機械臂的振動可靠性評估為目前較具實際工程意義的處理方法。

1.1 機械臂共振的概率可靠性分析

工程中一般認為結構固有頻率落入載荷激振頻率一定范圍內時發(fā)生共振失效，記Ωf為機械臂架共振導致結構失效時結構固有頻率fd的集合，則Ωf可表示為

Ωf={fd|fex(1-δ)

(1)

式中，fex為激振力頻率;δ為頻率的錯開范圍系數(shù)。

激振力頻率隨工況(姿態(tài)、擋位等)的變化而變化，根據(jù)工程經驗數(shù)據(jù)積累，一般可近似描述為服從某一概率分布的隨機變量，因此，對于固有頻率為fd的機械臂架結構，其因共振導致結構失效將成為隨機事件，共振失效概率即為機械臂架固有頻率落入激振頻率范圍的概率，可表示為

Pf=Pr(fex(1-δ)

(2)

式中，Pr()為概率計算函數(shù)。

由于上述機械臂共振的失效概率又可表示為

Pf=1-Pr({fdfex(1+δ)})

(3)

即

Pf=1-Pr(fdfex(1+δ))

(4)

不妨分別記極限狀態(tài)函數(shù)g1和g2為

(5)

則上述機械臂共振失效概率Pf又可記為

Pf=1-Pr(g1(fd,fex)>0)-Pr(g2(fd,fex)>0)

(6)

因此，上述機械臂共振的失效概率可轉化為兩個單失效模式的可靠性問題，其中機械臂架結構的固有頻率fd假設為一確定值，激振力頻率fex為一隨機變量。此類問題目前已得到大量研究，可通過一階可靠性方法(first order reliability method,FORM)[8-9]、二階可靠性方法(second order reliability method,SORM)[10]等方法進行求解。

1.2 機械臂共振的概率-區(qū)間混合可靠性分析

在上述分析中，機械臂結構的固有頻率fd被考慮為一確定值。然而由于在實際施工環(huán)境下，機械臂架的姿態(tài)在運行中將隨具體任務或施工位置點的改變而變化，因此其固有頻率也將發(fā)生改變。如圖1所示的混凝土泵車，臂架的各姿態(tài)角將隨澆注點的位置變化而改變，臂架將呈現(xiàn)出多種不同的姿態(tài)，因此整個臂架結構的固有頻率無法保證在整個施工任務中保持不變，而是隨著臂架各姿態(tài)角變化而變化的一個變量。機械臂架結構的固有頻率關于臂架姿態(tài)參數(shù)的數(shù)學描述可表示為

圖1 混凝土泵車臂架結構系統(tǒng)Fig.1 Structural system of booms of the concrete pump truck

fd=fd(θ1,θ2,…,θn)

(7)

(8)

(9)

對于該失效概率區(qū)間的求解，則需要對結構進行概率-區(qū)間混合可靠性分析。

2 概率-區(qū)間混合可靠性分析方法

結構可靠性定義為結構在規(guī)定的時間內和規(guī)定的條件下，完成規(guī)定功能的能力。當結構的整體或者某一部分超過某一個特定的狀態(tài)時，就不能滿足預定的功能，這一狀態(tài)稱之為結構的極限狀態(tài)。設X=(X1,X2,…,Xm)是影響結構功能的m個基本隨機變量，Y=(Y1,Y2,…,Yn)為n個區(qū)間變量，則結構的極限狀態(tài)函數(shù)可表示為[14]

g(X,Y)=0

(10)

當g(X,Y)>0時表示結構可靠，g(X,Y)≤0時表示結構失效。則結構的失效概率可定義為

Pf=Pr{g(X,Y)≤0}

(11)

(12)

(13)

相應地，可靠度指標β也不再是一個定值，而是屬于一個區(qū)間，即β∈[βL,βU]，其中βU和βL分別表示最大和最小可靠度指標。

圖2 極限狀態(tài)帶Fig.2 Limit-state zone

基于一階可靠性方法(FORM)[8-9]，求解如下兩個優(yōu)化問題：

(14)

(15)

可得到極限狀態(tài)帶的最大和最小可靠度指標[11]。其中，U為服從標準正態(tài)分布的隨機向量，由原空間中的隨機變量X=(X1,X2,…,Xm)轉換而來。因此，結構的最大和最小失效概率可以表示為

(16)

利用式(14)和式(15)對可靠度指標進行求解涉及一個復雜的兩層嵌套優(yōu)化問題，其中內層為進行區(qū)間分析確定功能函數(shù)在區(qū)間變量上的極值，外層為進行概率分析確定最可能的失效點，通常計算效率極低。為此，本文采用文獻[11]提出的解耦方法進行求解，將區(qū)間分析嵌入到最可能失效點的尋找過程中，每次迭代過程中依次進行概率分析和區(qū)間分析，取得的中間值依次被相互調用，經過多次迭代最終使內外層同時達到穩(wěn)定解，這樣就大大地提高了計算效率。具體迭代過程可參考文獻[11，15]。

3 工程應用

混凝土泵車臂架的振動主要由混凝土在輸送管內的周期性流動沖擊載荷所引起，激振力頻率一般為0.2～0.4 Hz，并且隨工況的變化而變化；而機械臂豎直方向的一階頻率約為0.3～0.4 Hz。當機械臂工作于特定工況、伸展成特定姿態(tài)、沖擊載荷頻率與臂架固有頻率接近至一定程度時，臂架就開始劇烈搖晃并導致動應力顯著增大。本文將上述方法應用于圖1所示的某型實際混凝土泵車多關節(jié)柔性臂的振動分析，構建了泵車臂架的混合可靠性分析模型，并通過第2節(jié)中的解耦方法對該混合模型進行求解，最終獲得了該混凝土泵車臂架在不同工況下的失效概率區(qū)間?？紤]到機械臂架結構固有頻率關于臂架姿態(tài)參數(shù)的響應分析是基于有限元仿真模型的，單次計算非常耗時，為提高效率，本文基于徑向基函數(shù)(radial basis function, RBF)[16]構建了固有頻率關于姿態(tài)參數(shù)的精確代理模型，避免了仿真模型的不斷調用，極大地提高了上述混合可靠性問題的求解效率。

3.1 徑向基函數(shù)代理模型

代理模型方法的主要思想就是通過構造一個計算量小但計算結果與仿真分析相近的數(shù)學模型來“代理”仿真分析模型。常用的代理模型主要有多項式響應面模型、Kriging模型、徑向基函數(shù)模型、人工神經網絡模型等。徑向基函數(shù)是一種靈活性好、結構簡單、計算量相對較少的代理模型，具有許多優(yōu)異的數(shù)學特性，被廣泛用于偏微分方程求解、地球物理、測繪測量、遙感與信息處理等領域[17-18]。徑向基函數(shù)是以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性疊加構造出來的模型，其基本形式如下：

(17)

式中，wi為線性疊加系數(shù);φi(r)為徑向函數(shù);ns為樣本點個數(shù)。

徑向函數(shù)是以樣本點為中心，以預測點x與樣本點x(i)之間的歐氏距離為自變量的一類函數(shù)，表示如下：

φi(r)=φ(‖x-x(i)‖)

(18)

通過不同的線性疊加系數(shù)wi，RBF能夠近似不同的響應函數(shù)。常用的徑向基函數(shù)見表1，其中c為形狀參數(shù)，σ為標準差，r=‖x-x(i)‖為Euclidean范數(shù)。

表1 常用的徑向基函數(shù)

3.2 泵車臂架混合可靠性分析流程

綜合上述分析，將基于徑向基函數(shù)代理模型的混凝土泵車柔性機械臂架振動混合可靠性分析具體流程歸納如下：

(1)在柔性機械臂可變構型范圍空間內，建立振動可靠性分析中動力學特性變量(例如結構固有頻率fd)關于構型不確定性參量θ=(θ1,θ2,…,θn)的代理模型。①建立柔性機械臂架動力學模型。柔性機械臂架的動力學建模方法很多，有限元法是一種比較成熟的建模方法，適用于多種柔性機械臂結構。②試驗設計。將構型不確定性參量θ=(θ1,θ2,…,θn)視為試驗設計的因素，根據(jù)因素個數(shù)和各因素的限制變化范圍確定水平數(shù)，選擇合適的抽樣方法進行抽樣。③構造合適的代理模型。對所選樣本點進行試驗，并根據(jù)試驗所得的樣本數(shù)據(jù)，采用合適的響應面模型構造動力學特性變量fd關于構型不確定參量θ的近似響應函數(shù)：

fd=fd(θ)=fd(θ1,θ2,…,θn)

(19)

并對其近似能力進行驗證。

(2)基于步驟(1)建立的構型-動力學特性響應面函數(shù)，結合激勵載荷情況，建立概率-區(qū)間混合可靠性分析模型，并求解。①確定功能函數(shù)。根據(jù)外載荷L、系統(tǒng)動力學特性fd和振動狀態(tài)變量的允許值，確定柔性機械臂振動問題的功能函數(shù)如下:

Z=g(L,f)=g(L,θ1,θ2,…，θ5)

(20)

3.3 結果分析

按泵車臂架的設計要求，本文中頻率的錯開范圍系數(shù)取δ=0.05。選擇圖3所示的各關節(jié)位置臂節(jié)間的夾角θ1、θ2、θ3、θ4、θ5為區(qū)間變量。根據(jù)工程經驗數(shù)據(jù)積累，獲得激振力頻率的工程統(tǒng)計分布如表2所示。根據(jù)該統(tǒng)計分布特征，本文將激振力頻率處理為隨機變量，并采用Weibull分布對激振力頻率進行擬合，獲得隨機變量的相關參數(shù)。

圖3 混凝土泵車臂架姿態(tài)角Fig.3 Attitude angles between booms of the concrete pump truck

表2 關于激振力頻率的工程統(tǒng)計分布

Weibull分布的概率密度函數(shù)表達形式如下：

(21)

其中，根據(jù)樣本統(tǒng)計信息估計得到比例參數(shù)λ=0.2765，形狀參數(shù)k=2.7598。表3所示為該泵車臂架共振分析所考慮的主要不確定變量及其概率/非概率特征參數(shù)。

表3 泵車臂架共振問題不確定變量Tab.3 Uncertain variables involved in the resonance vibration of the boom of pump truck

由于混凝土泵車臂架工況環(huán)境復雜，在實際工程中通常難以得到臂架機械臂固有頻率fd與不確定變量間的顯式函數(shù)表達式，本文擬通過有限元仿真獲得臂架振動構型樣本數(shù)據(jù)，并建立響應面進行擬合以對實際響應函數(shù)進行近似。圖4為某型混凝土泵車臂架的有限元頻率分析模型，本文根據(jù)5種臂架構型的模態(tài)頻率試驗數(shù)據(jù)修正了有限元模型，通過均勻采樣得到100個臂架構型樣本點進行有限元分析，建立徑向基函數(shù)形式的代理模型對臂架的固有頻率進行近似估計，并通過多個驗證點校核模型的精度。表4所示為構建的徑向基函數(shù)的基函數(shù)及相應的系數(shù)。

圖4 某型混凝土泵車臂架有限元頻率分析模型Fig.4 Finite element analysis model for frequencies of booms of a concrete pump truck

表4 泵車臂架豎直方向一階固有頻率的響應面模型

通過對泵車臂架不確定參數(shù)進行概率/區(qū)間度量，并構建徑向基函數(shù)對實際臂架振動固有頻率關于以上不確定參數(shù)的函數(shù)關系進行近似，即可基于概率-區(qū)間混合可靠性分析技術對泵車臂架的共振問題進行可靠性求解。通過計算求得泵車臂架在不同工況下的失效概率為Pf∈[4.71%,50.44%]。結果表明，在不同工況下，至少存在某一種工況，使得在該工況下臂架的失效概率可達到50.44%。致使臂架失效概率達到最大值50.44%的姿態(tài)及其姿態(tài)角情況如圖5所示。在實際施工過程中，應當避免使混凝土泵車臂架構成或接近此種姿態(tài)，以防結構破壞失效。而如果完全基于傳統(tǒng)概率可靠性分析，在信息量不足的情況下將多關節(jié)柔性機械臂關節(jié)夾角在[0°, 90°]或[90°, 180°]內視為均勻分布，計算可得該臂架在不同工況下的綜合失效概率僅為5.03%，這一結果因沒有考慮到泵車臂架在某些極端工況下的最不利因素，導致對臂架可靠度的判斷錯誤。因此，對工程機械臂架進行混合可靠性分析有助于臂架系統(tǒng)在各施工工況下結構的可靠性估計，使得在設計階段對結構的可靠性狀況了解更為全面，避免因誤判導致實際施工過程中發(fā)生結構失效。

圖5 最大失效概率(50.44%)所對應的臂架姿態(tài)Fig.5 The boom gesture case of the maximum failure probability (50.44%)

4 結論

針對柔性機械臂架振動可靠性分析中臂架動力學特性多變、部分構型參數(shù)難以精確度量、仿真分析計算量大等特點，本文提出了基于徑向基函數(shù)響應面的柔性機械臂架混合可靠性分析方法。通過構建柔性機械臂架結構振動失效的混合可靠性模型，對臂架結構的振動失效概率區(qū)間進行了估計。通過結果分析我們發(fā)現(xiàn)，對區(qū)間變量作不合理的概率假設，可導致對臂架結構實際可靠度的嚴重錯誤判斷。因此，在參數(shù)信息缺乏的情況下，混合可靠性分析方法可為結構的可靠性分析提供一個合理的失效概率區(qū)間(而非一確定的數(shù)值)，將有助于實際工程機械臂架的安全設計，為柔性機械臂架結構系統(tǒng)的可靠運行提供保障。

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(編輯 王艷麗)

Hybrid Reliability Analysis for Flexible Manipulator Vibrations in Engineering Machinery

ZENG Guang1, 2JIANG Chao1NI Bingyu1

1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University, Changsha,410082 2.Zoomlion Heavy Industry Science and Technology Co.， Ltd., Changsha,410013

Based on the probabilistic and interval hybrid model and structural reliability analysis method, vibration reliability analyses for engineering mechanical systems with multi-joint flexible manipulators was investigated. According to different types of the uncertain parameters in mechanical manipulators, the uncertainties were quantified by random and interval variables. With simulation data of finite element model, a RBF agent model was built for structural natural frequencies with regard to mechanical manipulator’s parameters. And the failure probability of the mechanical manipulators due to resonance was evaluated based on the probabilistic and interval hybrid reliability analysis method. Finally the above analysis method was applied for a practical project example to make an illustration.

flexible manipulator; vibration analysis; probabilistic and interval hybrid model; radial basis function(RBF) agent model

2016-04-15

國家自然科學基金資助項目(11172096，51222502)

TB114.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.12.003

曾 光，男，1983年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生，中聯(lián)重科股份有限公司中央研究院工程師。研究方向為工程機械結構的可靠性。姜 潮，男，1978年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室教授、博士研究生導師。倪冰雨(通信作者)，男，1989年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生。E-mail:nby@hnu.edu.cn。