王穎俐，王飛，謝文丹

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

王穎俐，王飛，謝文丹

（長治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長治 046011）

文章研究了近淺海系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題。根據(jù)力學(xué)的相關(guān)原理，利用受力平衡，建立了系泊系統(tǒng)各個(gè)部分的受力模型，得到多元非線性方程組，以浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度最小為目標(biāo)，使得系泊系統(tǒng)的各個(gè)部位達(dá)到最優(yōu)。

系泊系統(tǒng)；受力平衡；傾斜角度

1 研究背景及問題重述

以2016年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題為研究背景，研究系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題，即：為了使得浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能的小，如何確定錨鏈的型號(hào)、長度和重物球的質(zhì)量問題。

2 問題的分析

系泊系統(tǒng)要求錨鏈末端和錨的鏈接處的切線方向與海床所形成的夾角不能超過16°，否則錨就會(huì)被拖行，使得節(jié)點(diǎn)移位而丟失。該傳輸節(jié)點(diǎn)的水聲通訊系統(tǒng)安裝在一個(gè)密封的圓柱形鋼桶內(nèi)，其中鋼桶長為1 m，外徑為30 cm，設(shè)備和鋼桶總重為100kg。鋼桶上接第4節(jié)鋼管，下接電焊錨鏈。若要水聲通訊設(shè)備的工作效果最佳，則鋼桶應(yīng)該豎直。鋼桶的傾斜角度，即鋼桶與豎直線的夾角超過5°時(shí)，設(shè)備的工作效果較差。為了控制鋼桶的傾斜角度，則需在鋼桶與電焊錨鏈鏈接處懸掛一個(gè)重物球。因此所研究的系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)問題就是為了確定錨鏈的型號(hào)、長度和重物球的質(zhì)量，使得浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能的小。

首先根據(jù)整體分析確定浮標(biāo)的受力情況。然后再進(jìn)行局部分析，以水平方向的力為x軸，以豎直方向的力為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，利用牛頓第一定律，即在合外力為0的情況下物體保持靜止，建立系泊系統(tǒng)各個(gè)部分的受力模型，以浮標(biāo)的吃水深度和游動(dòng)區(qū)域及鋼桶的傾斜角度最小為目標(biāo)，通過Maple軟件計(jì)算，逐步迭代得到。最后利用Maple軟件得到錨鏈形狀圖為一個(gè)類拋物線。

3 模型假設(shè)及符號(hào)說明

3.1 模型假設(shè)

（1）假設(shè)海水對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的摩擦力以及各部分之間的摩擦力忽略不計(jì)；

（2）假設(shè)水聲通訊系統(tǒng)正常工作；

（3）假設(shè)系泊系統(tǒng)始終能正常工作，且不發(fā)生意外狀況；

（4）附表中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)有效。

3.2 符號(hào)說明

符號(hào) 表示含義 單位 符號(hào) 表示含義 單位θ（i=1,2,…5） 各節(jié)鋼管及鋼桶與豎直方向的度（°） F鋼桶所受的浮力 牛頓（N）i的傾斜角度夾角桶浮F浮 浮標(biāo)所受的浮力 牛頓（N） F重浮 重物球所受的浮力 牛頓（N）M 浮標(biāo)的質(zhì)量 千克（kg） F錨 錨鏈對(duì)鋼桶的拉力 牛頓（N）F風(fēng) 近淺海風(fēng)荷載 牛頓（N） x 錨鏈在水平方向的長度 米（m）α 錨鏈與錨鏈接處在水平方向的度（°） X 游動(dòng)區(qū)域的半徑 米（m）夾角F拉 整體分析時(shí)系統(tǒng)對(duì)浮標(biāo)的拉力 牛頓（N） y 錨鏈在豎直方向的長度 米（m）m 鋼管的質(zhì)量 千克（kg） T 錨鏈的張力 牛頓（N）m1 鋼桶的總質(zhì)量 千克（kg） R 張力在水平方向的分力 牛頓（N）m2 重物球的質(zhì)量 千克（kg） F壓 錨所受到的地面的壓力 牛頓（N）F（ii=1,2,3，4） 各鋼管間的相互拉力 牛頓（N） F總浮除了浮標(biāo)之外其他所有部分的牛頓（N）總浮力F?。?各鋼管所受的浮力 牛頓（N） m總除了浮標(biāo)之外其他所有部分的千克（kg）總質(zhì)量f 錨所受的摩擦力 牛頓（N）μ 海床的摩擦系數(shù)（0.6） H 水深 米（m）α R物體在水中的相對(duì)重力

4 模型的建立與求解

利用牛頓第一定律[1]，對(duì)系泊系統(tǒng)傳輸節(jié)點(diǎn)進(jìn)行整體分析和局部分析。首先進(jìn)行整體分析如圖1所示。

圖1 傳輸節(jié)點(diǎn)示意圖（僅為結(jié)構(gòu)塊示意圖，未考慮尺寸比例）

如圖1所示，每個(gè)鋼管和豎直方向的夾角和鋼桶與豎直方向的夾角，分別用θ（ii=1，2，…5）表示，下面對(duì)整體進(jìn)行受力分析。分析如下：把浮標(biāo)以下的部位看成懸鏈線[2]，如圖2所示：

浮標(biāo)受自身的重力Mg，海水對(duì)其的浮力F浮，近海風(fēng)對(duì)它的荷載力F風(fēng)，懸鏈線的拉力F拉，其中懸鏈線方程為：

圖2 系泊系統(tǒng)整體示意圖

懸鏈線的張力為：

聯(lián)立（1）（2）（3）式，利用Maple軟件計(jì)算可得浮標(biāo)的吃水深度為：

當(dāng)v=12m/s時(shí)，h=0.8008420463m；當(dāng)v=24m/s時(shí)，h=1.050419325m。

再針對(duì)局部進(jìn)行受力分析，分析情況如下表1所示：

表1 系泊系統(tǒng)各部分受力分析表

根據(jù)F錨對(duì)錨鏈的受力進(jìn)行分析，并將錨鏈看為一個(gè)懸鏈線，可得方程組：

因此，浮標(biāo)的游動(dòng)范圍是在海平面上與錨豎直方向相交的點(diǎn)為圓心，X=10.11356613為半徑的圓，則所得錨鏈形狀如圖3所示，利用Maple軟件進(jìn)行作圖，取第二卦限的圖像，即為錨鏈的形狀。

圖3 V=36m/s時(shí)的錨鏈形狀

從上述結(jié)果可以看出，當(dāng)風(fēng)速為V=36 m/s時(shí)，錨鏈在錨點(diǎn)處與海床的夾角超過了所要求的最大角度16°，使得錨被拖行，導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)移位丟失，故應(yīng)調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量，使其節(jié)點(diǎn)位置不變。通過受力分析畫出受力圖，如圖4所示。

圖4 浮標(biāo)與錨的整體受力分析

根據(jù)受力平衡原理，可聯(lián)立方程組：

解之可得：m=2570 kg

同理可得，要使鋼桶的傾斜角度不超過5°時(shí)重物球的質(zhì)量為：m=5285 kg

綜上可得，需調(diào)節(jié)重物球的質(zhì)量在2570～5285 kg，使得錨鏈在錨點(diǎn)與海床的夾角不超過16°和鋼桶的傾斜角不超過5°。

［1］艾薩克·牛頓（著），趙振江（譯）.自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理［M］.商務(wù)印書館，2006.7.

［2］王丹，劉家新.一般狀態(tài)下懸鏈線方程的應(yīng)用［J］.船海工程，2007，36（3）：26-28.

The Design of Mooring System

Wang Ying-li，Wang Fei，Xie Wen-dan
（Department of Mathematics Changzhi University,Changzhi Shanxi 046011）

This paper studies the design of nearly shallow sea mooring.According to the relevant principles of mechanics,we got the nonlinear multivariable equations by using the principle of force equilibrium.To make any part of the mooring system achieve the optimal,we aimed at minimum of draft depth of buoy,the winding angle area and steel drum.

mooring system;the stress balance;tilt angle

O369

A

1673-2014（2017）02-0006-04

（責(zé)任編輯 趙巨濤）

山西省大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目（2017429）；長治學(xué)院科研項(xiàng)目（201514）

2017—02-22

王穎俐（1987— ），女，山西臨汾人，碩士，講師，主要從事時(shí)間序列分析及排隊(duì)論等領(lǐng)域的研究。