蔡虹

數(shù)學(xué)概念是反映事物在空間形式和數(shù)量關(guān)系方面本質(zhì)屬性的基本單位，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系中最基本的構(gòu)成元素。讓學(xué)生正確掌握一定的數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的基本任務(wù)，也是學(xué)生具有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要求和標(biāo)志。

學(xué)生在建構(gòu)自身概念的過程中，是以自身的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的。由于知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、生活經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平的差異，學(xué)生對(duì)同一概念的理解和認(rèn)知會(huì)有所不同，學(xué)生頭腦中存在的與科學(xué)概念不一致的認(rèn)識(shí)稱為“迷思概念”。學(xué)生在學(xué)習(xí)和運(yùn)用重要的數(shù)學(xué)概念時(shí)常常受到迷思概念困擾，影響數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)質(zhì)量。修正數(shù)學(xué)迷思概念教學(xué)的關(guān)鍵是促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的正確理解和運(yùn)用，減少迷思概念的產(chǎn)生，從不同的角度修正自己的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)科學(xué)概念的全面準(zhǔn)確理解。

一、把握認(rèn)知起點(diǎn)：迷思概念修正的前提

建構(gòu)主義認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)是學(xué)生迷思概念改變、發(fā)展和重建的過程，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)具有“可利用性”“可辨別性”。學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)是否有用于同化新知識(shí)的觀念，是概念學(xué)習(xí)活動(dòng)順利進(jìn)行的關(guān)鍵。學(xué)生構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是以原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)內(nèi)容為基礎(chǔ)的。如果原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏新知識(shí)學(xué)習(xí)的連接點(diǎn)，新內(nèi)容的輸入沒有相應(yīng)的舊知與之發(fā)生作用，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就不可能進(jìn)行擴(kuò)充和建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

教師研究學(xué)生原有概念和思維方式，掌握其學(xué)習(xí)和理解知識(shí)的障礙是概念修正的前提。教師只有深入了解學(xué)生的迷思概念，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)的有利經(jīng)驗(yàn)、思維障礙、學(xué)習(xí)路徑的研究，才能合理地創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突。了解學(xué)生原有的迷思概念，可以采用課前調(diào)查和導(dǎo)課了解的方法得到。

例如在六年級(jí)學(xué)習(xí)“比例尺”前對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，出示中國地圖，提問學(xué)生：你見過它嗎？它表示什么意思？你是怎么理解的，把你的理解寫下來。調(diào)研的目的是了解學(xué)生對(duì)生活中常見的比例尺是否有感知以及對(duì)比例尺的理解。調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生多從長(zhǎng)度比、距離比或者面積比等角度來理解比例尺的概念。這說明比例尺對(duì)學(xué)生來說并不陌生，但熟悉并不等于熟知，學(xué)生對(duì)比例尺的概念理解容易受到長(zhǎng)度和面積兩個(gè)維度的干擾，而面積又比長(zhǎng)度容易感知。通過前期調(diào)查，了解學(xué)生認(rèn)知偏差，教師在教學(xué)中就可以設(shè)計(jì)適應(yīng)學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的認(rèn)知活動(dòng)。

二、搭建問題支架：迷思概念修正的動(dòng)力

建構(gòu)主義支架式教學(xué)的關(guān)鍵是根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”，設(shè)計(jì)適度的“腳手架”幫助學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，并完成在他人的協(xié)助下能完成的學(xué)習(xí)任務(wù)。腳手架的搭建需要教師具備問題意識(shí)，有了問題才會(huì)有真正意義上的思考和活動(dòng)。問題支架把新知識(shí)分解轉(zhuǎn)換成幾個(gè)支架問題，讓學(xué)生通過一定的方式沿著問題支架逐漸建構(gòu)新知識(shí)。

當(dāng)學(xué)生用迷思概念理解和解釋問題時(shí)，學(xué)生原有的概念與科學(xué)概念出現(xiàn)“不協(xié)調(diào)”現(xiàn)象，學(xué)生無法用原有迷思概念解決問題，這時(shí)學(xué)生會(huì)依托教師設(shè)計(jì)的問題支架主動(dòng)地修正迷思概念。心理學(xué)研究表明，當(dāng)認(rèn)知沖突越強(qiáng)烈，學(xué)生的求知欲就會(huì)越強(qiáng)，學(xué)習(xí)思維的價(jià)值也就越大。教師搭建的問題支架，需要以問題沖突動(dòng)搖其迷思概念，幫助學(xué)生進(jìn)行概念的同化或順應(yīng)，從而形成科學(xué)的新概念。

例如對(duì)于四年級(jí)面積概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生很早就積累了對(duì)面積的體驗(yàn)，但是這種體驗(yàn)卻和他們對(duì)物體的其他屬性（長(zhǎng)度、體積、顏色、質(zhì)量等）的感知揉合起來，特別是不能很好地和“體積”區(qū)分開來。同時(shí)，在理解面積時(shí)，學(xué)生能較好地理解“封閉圖形”“物體表面”“大小”等名稱術(shù)語，但對(duì)于“面積與圖形或物體擺放位置是否有關(guān)系”上，不少學(xué)生認(rèn)為只有向上擺放才有面積。因此，教學(xué)時(shí)首先設(shè)計(jì)“數(shù)學(xué)書和鉛筆盒誰大”的情境，學(xué)生根據(jù)原有生活經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為面積多是“向上擺放的、平平的面”的大小。當(dāng)出現(xiàn)物體表面不同方位的平面（曲面）時(shí)，學(xué)生就會(huì)對(duì)不同位置的面（如側(cè)面）是否具有面積產(chǎn)生思維沖突。教師追問：“面積是否和方位有關(guān)？真的只有向上擺放的‘面才有面積？鉛筆盒內(nèi)部的平面算不算面積？”搭建的問題支架讓學(xué)生真實(shí)暴露思維困惑，不斷地將學(xué)生的疑問指向?qū)γ娣e定義本身的理解，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)與結(jié)構(gòu)。

三、豐富探究經(jīng)驗(yàn)：迷思概念修正的關(guān)鍵

經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生構(gòu)建理解的直接素材，是學(xué)生親身或間接經(jīng)歷活動(dòng)過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)，是學(xué)生獲得知識(shí)、理解技能的載體。庫伯的經(jīng)驗(yàn)學(xué)習(xí)理論就認(rèn)為，經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)的途徑，學(xué)習(xí)是“始于經(jīng)驗(yàn)、然后回歸于經(jīng)驗(yàn)”。基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一，也是學(xué)生獲得終身發(fā)展的基本源泉。教師應(yīng)當(dāng)啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生把具體經(jīng)驗(yàn)向抽象的、概念性的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化，使其獲得抽象經(jīng)驗(yàn)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。數(shù)學(xué)迷思概念對(duì)學(xué)生而言，看不見、摸不著，理解起來有困難。創(chuàng)設(shè)多層次數(shù)學(xué)活動(dòng)，通過動(dòng)作表征、表象表征、符號(hào)表征等多種表征方式，可以豐富學(xué)生“做的經(jīng)驗(yàn)”“想的經(jīng)驗(yàn)”“用的經(jīng)驗(yàn)”，幫助學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從抽象到具體的自我感悟、自我構(gòu)建的過程，從而促進(jìn)學(xué)生理解抽象的概念。

例如“倍”的概念是學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中從加法結(jié)構(gòu)過渡到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。學(xué)生往往看到“倍”就乘，沒有建立一個(gè)正確的“倍”的直觀模型。在學(xué)習(xí)前，多數(shù)學(xué)生具有“份”的概念，而少部分學(xué)生具有“倍”的認(rèn)識(shí)，但受到“比多少”的影響就僅關(guān)注多出來的部分。教學(xué)時(shí)可設(shè)計(jì)四個(gè)層次活動(dòng)，活動(dòng)一：動(dòng)手操作，讓學(xué)生用圖片擺出3和4比、3和5比、3和6比，體會(huì)不同數(shù)量間的比較關(guān)系；活動(dòng)二：觀察比較，發(fā)現(xiàn)異同，讓學(xué)生體會(huì)哪組的擺法“最與眾不同”；活動(dòng)三：表達(dá)關(guān)系，通過算式表達(dá)、文字表達(dá)等方式揭示“倍”的概念；活動(dòng)四：變式練習(xí)，通過位置變式、數(shù)量變式使學(xué)生加深認(rèn)識(shí)深化標(biāo)準(zhǔn)的重要性。在活動(dòng)三環(huán)節(jié)，添加指向“倍”概念的追問，諸如“2在哪里”“為什么3個(gè)一圈”“明明是3個(gè)，為什么說看成1”等等，幫助說的學(xué)生加深“倍”概念理解，幫助聽的學(xué)生厘清兩者關(guān)系，學(xué)會(huì)新的表達(dá)方式。多層次的教學(xué)活動(dòng)放慢了學(xué)生的腳步，留給學(xué)生更多思考和內(nèi)化的時(shí)間，為學(xué)生抽象概括、自主構(gòu)建提供了基礎(chǔ)，這比直接給出精確的數(shù)學(xué)概念更加有效。

四、強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)：迷思概念修正的平臺(tái)

數(shù)學(xué)是解決問題的工具，是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)的載體?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，一方面要利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界問題；另一方面要從現(xiàn)實(shí)生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)方法加以解決。應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，也包括概念教學(xué)過程。

學(xué)生對(duì)概念的掌握需要經(jīng)歷由具體到抽象，再由抽象到具體的多次往復(fù)過程。而教學(xué)中，教師容易把解題技巧直接告訴學(xué)生，再通過模仿記住技巧。結(jié)果在稍有變化的情境中，“特技”失靈，靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題成為“泡影”。數(shù)學(xué)家波利亞曾說過，當(dāng)我們不能解決一個(gè)問題的時(shí)候，不妨回到定義中去。這說明加強(qiáng)概念自覺應(yīng)用意識(shí)，在應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)迷思概念的修正，尋找解決問題的新思路的重要性。

例如對(duì)于三年級(jí)分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)，教材和教師提供的圖形往往是形狀相同、大小相等的圖形，學(xué)生經(jīng)過反復(fù)的感官刺激，認(rèn)為只有分得的每個(gè)部分形狀一樣才能叫平均分。教學(xué)中，教師補(bǔ)充圖1，讓學(xué)生說一說是否能用分?jǐn)?shù)表示，如果可以，用怎樣的分?jǐn)?shù)表示。許多學(xué)生認(rèn)為不可以用分?jǐn)?shù)表示。教師用動(dòng)畫演示成圖2，學(xué)生立刻明白可以用1/2表示。教師追問：“涂色個(gè)數(shù)與未涂色個(gè)數(shù)有沒有變化？為什么現(xiàn)在可以用1/2表示？”學(xué)生在應(yīng)用概念解決問題過程中，認(rèn)識(shí)到涂色的與未涂色位置不是整齊排放，但個(gè)數(shù)一樣多，也就是平均分。經(jīng)過這樣的變式教學(xué)，學(xué)生能準(zhǔn)確理解平均分的概念，排除形式干擾，領(lǐng)悟平均分的本質(zhì)。

五、重構(gòu)概念體系：迷思概念修正的保障

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)經(jīng)過個(gè)人內(nèi)化的產(chǎn)物，是科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生心理結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào)作用的結(jié)果。學(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于一個(gè)不斷分化、逐步精確的過程，教師不僅要了解知識(shí)本身的體系，還要幫助學(xué)生在頭腦中形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)新概念的理解鞏固與深化。

心理學(xué)家布魯納認(rèn)為，獲得的知識(shí)如果沒有完整的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那多半是會(huì)被遺忘的知識(shí)。數(shù)學(xué)比其他學(xué)科具有更高的邏輯性和系統(tǒng)性，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用概念圖、比較表、韋恩圖等方式，在理解相似概念異同、上下位概念聯(lián)系及區(qū)別中“重建”及“整合”的概念體系。

例如對(duì)于“直線、線段、射線”，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)可能會(huì)混淆概念。教師可以設(shè)計(jì)比較表，通過一個(gè)有序的框架，讓學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行比較、歸納和提煉，從直觀的數(shù)學(xué)模型向抽象的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化，感悟不同圖形的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)特征，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。

概念學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，是將原有經(jīng)驗(yàn)和新信息進(jìn)行分析、選擇和重建的過程。教師要重視學(xué)生已有的迷思概念，整合優(yōu)化教學(xué)策略，把握教學(xué)細(xì)節(jié)，搭建問題支架，豐富探究方式，修正迷思概念，直到形成正確的科學(xué)概念。

責(zé)任編輯 羅 峰