唐朝君

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

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切換拓?fù)湎码x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制

唐朝君

(重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054)

研究具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制問題。首先，對于系統(tǒng)中的跟隨智能體提出了一個(gè)分布式的控制協(xié)議；其次，主要利用非負(fù)矩陣?yán)碚摵痛鷶?shù)圖論的知識，分別給出了固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浜颓袚Q網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎孪到y(tǒng)解決包含控制問題的拓?fù)錀l件；最后，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性。

多智能體系統(tǒng)；包含控制；切換拓?fù)?；離散時(shí)間系統(tǒng)；分布式控制

多智能體系統(tǒng)是近年來迅速發(fā)展起來的一門新興的復(fù)雜系統(tǒng)控制科學(xué)，它的研究涉及數(shù)學(xué)、控制、計(jì)算機(jī)、通信、生物和人工智能等多個(gè)學(xué)科，并得到了來自這些領(lǐng)域研究學(xué)者的廣泛關(guān)注。同時(shí)，由于它在傳感器網(wǎng)絡(luò)、無人駕駛飛行器、移動機(jī)器人、自治水下潛艇、編隊(duì)控制、人造衛(wèi)星簇的姿態(tài)調(diào)整等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，對多智能體系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為當(dāng)前系統(tǒng)控制領(lǐng)域研究的前沿和熱點(diǎn)課題。包含控制是多智能體系統(tǒng)研究中的一個(gè)重要子課題。所謂包含控制是指一群具有自治性的智能體在一定的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和外界環(huán)境下通過交換局部鄰居信息聚集到某一個(gè)給定的靜止或移動的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)。

目前，對包含控制的研究已得到了一些有趣的結(jié)果。Ji,Egerstedt等[1]采用1階偏微分方程建立了包含控制模型，提出了基于Go-To策略的包含控制策略，使跟隨者最終達(dá)到由領(lǐng)導(dǎo)者生成的凸包內(nèi)。Cao等[2]在Ji等的研究成果上研究了固定和切換有向拓?fù)湎碌?階連續(xù)多智能體系統(tǒng)的包含控制問題。溫廣輝等[3]主要利用非光滑控制的方法對具有不確定線性動力學(xué)模型的多智能體系統(tǒng)進(jìn)行了研究。利用H∞控制理論中的規(guī)范投影引理，Li等[4]對具有一般線性動力學(xué)的連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的多智能體系統(tǒng)建立了基于觀測的包含控制模型。Liu和Kan等[5-6]研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌陌刂茊栴}。Liu等[7]研究了基于事件觸發(fā)機(jī)制的包含控制問題。在這些研究結(jié)果中，往往假設(shè)系統(tǒng)的通信拓?fù)涫枪潭ǖ模蛘呙總€(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的通信拓?fù)涠际沁B通的，對系統(tǒng)的通信拓?fù)涞囊蟊容^強(qiáng)。在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，由于智能體的位置不斷變化，智能體之間的通信還會受到障礙物的影響，智能體之間的通信會出現(xiàn)中斷和重新連接的情況。因此，對切換拓?fù)湎掳刂频难芯烤惋@得尤為重要。此外，系統(tǒng)的通信拓?fù)淇赡芤恢倍际遣贿B通的，尋找解決包含控制的最弱的拓?fù)錀l件也是非常必要的。

1 預(yù)備知識

多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)溆糜邢驁DG=(V,E)表示，其中：V={1,2,…,n}為頂點(diǎn)集合，頂點(diǎn)i代表第i個(gè)智能體；E={(i,j)|i,j∈V}為邊集，若智能體j能直接獲取智能體i的信息，則(i,j)∈E，否則(i,j)?E。若(j,i)∈E，則稱頂點(diǎn)j是頂點(diǎn)i的鄰居或智能體j是智能體i的鄰居。從頂點(diǎn)i1到ik的一條有向路由一系列不同的頂點(diǎn)i1,i2,…,ik構(gòu)成，且這些頂點(diǎn)滿足(ij-1,ij)∈E,j=2,3,…,k。如果有向圖G中至少有一個(gè)頂點(diǎn)到其他任何頂點(diǎn)都有有向路，則稱有向圖G包含生成樹。

加權(quán)有向圖G(A)由有向圖G和非負(fù)矩陣A=[aij]∈Rn×n構(gòu)成，滿足aij>0?(j,i)∈E，其中矩陣A稱為鄰接矩陣，aij稱為邊(j,i)的權(quán)重。加權(quán)有向圖G(A)的Laplacian矩陣L=[lij]∈Rn×n定義為

Laplacian矩陣在多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制的研究中具有非常重要的作用，它具有以下性質(zhì)：

引理1[8]0是矩陣L的特征值，e=(1,1,…,1)T是對應(yīng)的特征向量；若G包含生成樹，則0是代數(shù)簡單的，且其他特征值的實(shí)部全大于0。

2 模型描述和主要結(jié)論

設(shè)所研究的多智能體系統(tǒng)含有n個(gè)智能體，用F={1，2，…，m}和R={m+1,m+2,…,n}分別表示跟隨智能體和領(lǐng)導(dǎo)智能體的集合。系統(tǒng)中跟隨智能體的動力力學(xué)模型為：

(1)

其中：k=0,1,2,…，xi(k)∈RN是跟隨智能體i在時(shí)刻k的狀態(tài)；aij(k)是k時(shí)刻邊(j,i)的權(quán)值。假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的位置保持不變，即相應(yīng)的動力學(xué)模型為

(2)

其中xi(k)∈RN是領(lǐng)導(dǎo)智能體i在時(shí)刻k的狀態(tài)。為研究方便，設(shè)N=1，利用Kronecker積，后面的結(jié)論容易推廣到高維情形。

定義1 如果

(3)

其中D(k)=[dij(k)]∈Rn×n。

假設(shè)系統(tǒng)中每個(gè)智能體都能獲取自身的狀態(tài)信息，即aii(k)>0。矩陣D(k)可寫成分塊矩陣的形式

其中D1(k)∈Rm×m,D2(k)∈Rm×(n-m)。令

其中α(k)=D2(k)e。

為了得到主要結(jié)論，需要下面的幾個(gè)結(jié)論：

引理3[9]設(shè)m≥2是一個(gè)正整數(shù)，P1,P2,…,Pm是n階的非負(fù)矩陣，且對角線元素均大于0，則

其中γ的值由矩陣P1,P2,…,Pm來確定。

引理4[8]設(shè)A=[aij]∈Rn×n是一個(gè)隨機(jī)矩陣，且對角線元素全大于0。如果Γ(A)包含生成樹，則矩陣A為SIA矩陣。

首先考慮通信拓?fù)涔潭ú蛔兊那樾?，此時(shí)式(3)變?yōu)?/p>

x(k+1)=Dx(k)

定理1 設(shè)系統(tǒng)的通信拓?fù)銰包含聯(lián)合生成樹，則系統(tǒng)解決包含控制問題，且

(4)

其中

由于

故

由x(k)=Dkx(0)易得式(4)。

由于(I-D1)-1D2e=e和(I-D1)-1非負(fù)，因此由式(4)可得

即系統(tǒng)解決包含控制問題。

注1 從定理1可以看到：對于固定拓?fù)涞那樾危S智能體的狀態(tài)最終趨于由領(lǐng)導(dǎo)智能體的狀態(tài)所生成的凸包內(nèi)，而且各個(gè)跟隨智能體的狀態(tài)將趨于一個(gè)固定值。

接下來考慮切換拓?fù)涞那樾危傻靡韵陆Y(jié)論：

證明 該證明的部分思想源于文獻(xiàn)[8],這里考慮的是具有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體的包含控制問題。

注2 從定理2的證明可以看出：當(dāng)系統(tǒng)的通信拓?fù)涫乔袚Q拓?fù)鋾r(shí)，雖然跟隨智能體的狀態(tài)最終趨于領(lǐng)導(dǎo)智能體生成的凸包內(nèi)，但各跟隨智能體的狀態(tài)將隨時(shí)間不斷變化。

3 數(shù)值仿真

在二維空間中考慮包含控制，設(shè)多智能體系統(tǒng)含有5個(gè)跟隨智能體(用頂點(diǎn)1～5表示)和3個(gè)領(lǐng)導(dǎo)智能體(用頂點(diǎn)6～8表示)，系統(tǒng)所有可能的通信拓?fù)錇镚1、G2、G3，如圖1所示，并按照順序依次變化。假設(shè)圖中所有邊的權(quán)值均為1。領(lǐng)導(dǎo)智能體的位置和跟隨智能體的初始位置隨機(jī)取定。跟隨智能體的位置隨時(shí)間的變化軌跡如圖2所示。從圖2可以看出：跟隨智能體的狀態(tài)最終趨于領(lǐng)導(dǎo)智能體所構(gòu)成的凸包內(nèi)(紅色三角形區(qū)域?yàn)轭I(lǐng)導(dǎo)智能體的位置所構(gòu)成的凸包)。

圖1 系統(tǒng)的通信拓?fù)?/p>

圖2 跟隨智能體的狀態(tài)軌跡

4 結(jié)束語

利用矩陣?yán)碚摵痛鷶?shù)圖論的方法研究了具有切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞碾x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制。對于固定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洌?dāng)系統(tǒng)的通信拓?fù)浒?lián)合生成樹時(shí)，所給的協(xié)議解決包含控制問題，而且系統(tǒng)中所有跟隨智能體的狀態(tài)各自趨于一個(gè)固定的值。對于切換網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，?dāng)系統(tǒng)的通信拓?fù)浒?lián)合生成樹時(shí)，所給的協(xié)議解決包含控制問題，此時(shí)各跟隨智能體的狀態(tài)將隨時(shí)間不斷變化，可能不會趨于一個(gè)固定值。本研究成果極大地減弱了包含控制中對系統(tǒng)通信拓?fù)涞南拗?，進(jìn)一步豐富了包含控制的理論。

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(責(zé)任編輯 陳 艷)

Containment Control of Discrete-Time Multi-Agent Systems with Switching Topologies

TANG Zhao-jun

(College of Science, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054, China)

Containment control of discrete-time multi-agent systems with multiple leaders is investigated. Firstly, a distributed control protocol is proposed for the follower-agents in the system. Secondly, conditions on the topology are derived under both fixed topology and switching topologies by employing theory of nonnegative matrix and algebraic graph. Finally, numerical simulations are provided to illustrate the effectiveness of the theoretical results.

multi-agent system; containment control; switching topology; discrete-time system；distributed control

2017-01-18 基金項(xiàng)目：重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(KJ1600915);重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(cstc2016jcyjA0396)

唐朝君(1979—),男,河南鄭州人,博士,講師,主要從事多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制研究，E-mail:zhaojuntang@163.com。

唐朝君.切換拓?fù)湎码x散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的包含控制[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2017(5):143-147.

format：TANG Zhao-jun.Containment Control of Discrete-Time Multi-Agent Systems with Switching Topologies[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(5):143-147.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.05.024

TP18;O231

A

1674-8425(2017)05-0143-05