☉江蘇東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)南校區(qū) 崔恒劉

杜絕“拿來主義”，改編推進(jìn)發(fā)展

☉江蘇東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教育集團(tuán)南校區(qū) 崔恒劉

一、話題起因

備課是每個(gè)老師必做的課前準(zhǔn)備工作，布置給學(xué)生練習(xí)的題，習(xí)慣上也喜歡自己先計(jì)時(shí)做一遍，學(xué)生考試時(shí)只要有可能必與學(xué)生同考，我的感覺是只有自己親自做了，才能知曉試題，明確教學(xué)目標(biāo)，講解時(shí)才會(huì)有針對(duì)性，打造高效的課堂.最近在做我市《2017中考說明與訓(xùn)練》的綜合訓(xùn)練三時(shí)，對(duì)于填空壓軸題，做后感悟頗多，在此與大家交流，原題是：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連接OB，動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)且滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點(diǎn)C.點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，則PA∶PC=_______.

圖1

二、苦苦探索

解這題整整用了25分鐘，首先遇到的是審題上的困難，題目中有條件“動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)”，而題目配的圖形中“動(dòng)點(diǎn)P不在直線OB上”，是提供的圖沒有用，還是另有玄機(jī)？再三讀題，確信我們必須重新畫圖，如何畫出大致準(zhǔn)確的示意圖是我遇到的又一難關(guān).做題積累的經(jīng)驗(yàn)告訴我準(zhǔn)確的幾何圖形能提供幾何直觀，發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系，有利于觀察、分析、探索思路，專家說“先有直覺感知，后有邏輯推理！”但畫出滿足題目條件的準(zhǔn)確圖并非一件順其自然的事，難度很大.因?yàn)榻?jīng)過原點(diǎn)的直線有無數(shù)條，因此直線OB的位置沒法確定，從而點(diǎn)P的位置也難以確定，動(dòng)中取靜，先大體估一個(gè)位置，按要求畫出直線OB、在直線OB上取點(diǎn)P，連AP，畫出∠APQ=90°，交X軸于點(diǎn)C，如圖2，但這樣的圖形難以滿足條件“直線CP與y軸交于點(diǎn)E，且∠ACE=∠AEC”，因此調(diào)整畫圖順序，分析條件“∠APQ=90°、∠ACE=∠AEC”，這實(shí)質(zhì)上告訴我們AP垂直平分線段CE，因此理順題目的語句，先畫直線CE交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)E，再作線段CE的垂直平分線交y軸于點(diǎn)A，再過點(diǎn)A畫直線l平行于x軸（其實(shí)直線l是一條無用的直線，點(diǎn)B也是無用的點(diǎn)，讀到此我們必須排除這些干擾因素），連AC、OP交于點(diǎn)D，畫出圖3，滿足題目條件的圖形大致畫出了（問題是不一定正好滿足最后的條件PD=2OD，這是后面改編試題的思維起點(diǎn)）.圖有了，解題的思路也出來了，由于點(diǎn)P是Rt△COE的斜邊CE的中點(diǎn)，由中點(diǎn)聯(lián)想中線的有關(guān)性質(zhì)，因此取OC邊的中點(diǎn)M，連PM交AC于點(diǎn)F，則線段PM是Rt△COE的中位線，所以，且PM∥OE.根據(jù)平行線分線段成比例定理，F(xiàn)也是線段AC的中點(diǎn)，所以FM是△COA的中位線.設(shè)FM=x，則AO=2x.由PM∥OB，得△OAD∽△PFD.由于PD=2OD，所以PF=2AO=4x.又PF是△CAE的中位線，所以AE=2PF=8x.由于∠ACE=∠AEC，所以AC=AE=8x.

圖2

圖3

在Rt△COA中，AO=2x，AC=8x，根據(jù)勾股定理得：

圖4

由于題目條件是動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上運(yùn)動(dòng)，因此還要考慮點(diǎn)P在線段OB的反向延長線上.類比思考分析，同樣的困難仍然是“圖”，橫仿第一種情況畫出草圖，如圖4所示.由于點(diǎn)P是Rt△COE的斜邊CE的中點(diǎn)，因此取OC邊的中點(diǎn)M，連PM交AC于點(diǎn)F，則線段PM是 Rt△COE的中位線，所以，且PM∥OE.根據(jù)平行線分線段成比例定理，F(xiàn)也是線段AC的中點(diǎn)，所以有FM是△COA的中位線.設(shè)FM=x，則AO=2x.由PM∥OE，得△OAD∽△PFD.由于PD=2OD，所以PF=2AO=4x，PF又是△CAE的中位線，所以AE=2PF=8x.由于∠ACE=∠AEC，所以AC=AE=8x.

在Rt△COA中，AO=2x，AC=8x.

三、兩點(diǎn)思考

中考說明在老師心目中占據(jù)極其重要的地位，大市的中考說明是指導(dǎo)全市中考復(fù)習(xí)的綱要，老師必然會(huì)認(rèn)真研究學(xué)習(xí)中考說明，了解中考命題的指導(dǎo)思想，掌握中考復(fù)習(xí)的考試范圍與能力要求，研究中考說明提供的綜合訓(xùn)練，掌握考試的形式及試卷結(jié)構(gòu)，根據(jù)研究中考說明的心得體會(huì)制訂中考復(fù)習(xí)的目標(biāo)方向，指導(dǎo)中考復(fù)習(xí).綜合訓(xùn)練三的第16題是填空壓軸題，試題來源于何處？考查目標(biāo)是什么？對(duì)我們復(fù)習(xí)教學(xué)有什么啟示？

1.命題切勿“拿來主義”.

本題在求解時(shí)好象沒有用到條件“直線l平行于x軸”和“第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上”，為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？是我解錯(cuò)了，還是題目條件多余？審查我的解答過程，步步有理有據(jù)，看看書后提供的答案：“或”，也沒有錯(cuò)，因此我想條件“直線l平行于x軸”和“第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上”是多余的，放在此處會(huì)干擾學(xué)生的思維.我嘗試進(jìn)鳳凰數(shù)學(xué)網(wǎng)02號(hào)VIP群交流，浙江紹興酈興江老師告訴我“這是他們浙江省紹興市2014年中考卷解答壓軸題的最后一問，命題老師如此設(shè)計(jì)題目配圖，意在加大對(duì)學(xué)生動(dòng)態(tài)圖形作圖能力的考查，優(yōu)秀學(xué)生不化上一定的解答時(shí)間是得不出準(zhǔn)確答案的.”酈老師提供原題如下：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，交y軸于點(diǎn)A，第一象限內(nèi)的點(diǎn)B在l上，連接OB，動(dòng)點(diǎn)P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點(diǎn)C.

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，若點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，1），求PA的長.

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段OB的延長線上時(shí)，若點(diǎn)A的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，求PA∶PC的值.

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線OB上時(shí)，點(diǎn)D是直線OB與直線CA的交點(diǎn)，點(diǎn)E是直線CP與y軸的交點(diǎn)，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA∶PC的值.

原來我市中考說明上的這道填空題直接截取紹興市2014年中考題的第三問而得，圖是直接復(fù)制粘貼的.紹興的壓軸大題有第（1）和（2）問鋪路，多少給解題者（學(xué)生、教師）指明點(diǎn)方向，在輔助線及構(gòu)圖上也有一定的鋪墊，包括審題、理解題意.直接截取其最后一問，圖也直接復(fù)制粘貼，用來作填空壓軸題，難度就放大了，等于你要學(xué)生上二樓，但抽掉了樓梯，看看學(xué)生上樓的非凡本領(lǐng).解題時(shí)單把符合題意的圖形作出來就會(huì)把讓解題者搞暈，而現(xiàn)在的學(xué)生，畫圖能力普遍較差，（現(xiàn)在的作業(yè)用的是印刷精美的書，不用抄題，不用畫圖，最多就是在圖上作作輔助線而已，老師普遍不重視或不需要學(xué)生抄題），因此不少地市這幾年也加大對(duì)學(xué)生的動(dòng)態(tài)作圖能力的考查力度，這可以理解.但命題老師希望不出現(xiàn)滿分（或說希望有高分的學(xué)生涌現(xiàn)出來，但不希望出現(xiàn)大量的滿分學(xué)生來）也可以理解，但不考慮學(xué)生的實(shí)際，任意加大難度，命題直接采用拿來主義，想通過此題抑制99%的人得分，基于這樣的目的，就不能理解了.另外，命題直接采用拿來主義也有失公平.考卷中所謂的難題能不能拉開差距，要看命題人的水平，最好的難題應(yīng)該既不要是超級(jí)難題，又不要是陳題，要有思維含量，更要有一定的靈活性，有一定的探究梯度，這樣的考題可能才會(huì)真正考出學(xué)生的思維層次，能夠拉開差距，考試時(shí)才有區(qū)分度.像這樣的題目，應(yīng)當(dāng)給出示意圖，因?yàn)轭}目的本意是考查分類思想、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，以及如何運(yùn)用其解決比值問題，因此不必在示意圖上再去“刁難”“學(xué)生”.

2.改編推進(jìn)發(fā)展.

這是一道改編的偽坐標(biāo)系題，它是先平面幾何思構(gòu)，再放在平面直坐標(biāo)系中定相關(guān)位置，題目好像賦予動(dòng)態(tài)變化背景而成命題，其實(shí)沒有動(dòng)態(tài)變化.我結(jié)合自己做這道紹興市2014年中考?jí)狠S題的思考，也嘗試以此題為母題改編幾題：

（1）試題改編.

題1：如圖5，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交直角邊BC于E，連AE、CD交于點(diǎn)G，若DG=2CG，∠CDE= α，則cosα=_______.

圖5

圖6

題2：如圖6，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥ AB交直角邊BC的延長線于E，直線AE、CD交于點(diǎn)G，若DG=2CG，∠CDE=α，則tanα=_______.

題3：在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交直角邊BC所在直線于E，設(shè)直線AE、CD交于點(diǎn)G，若DG= 2CG，則tan∠BAE=_______.

題4：如圖7，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AB交直角邊BC于E，連AE、CD交于點(diǎn)G.

①若DG=CG，求∠CDE的度數(shù)；②若DG=2CG，求sin∠CDE的值；③若DG=nCG，則sin∠CDE的值是_______.

（2）改編意圖說明.

改編試題1、2，直奔主題，為學(xué)生畫好圖形，考查學(xué)生的幾何推理能力，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的三角形的中位線、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓等知識(shí)，嘗試作出一條輔助線解決.改編試題3實(shí)質(zhì)上是本文話題起因中的原題，但語言敘述簡(jiǎn)潔，學(xué)生沒有閱讀障礙，題目沒有提供圖形和條件中的“直線”都指明學(xué)生要分類討論問題.改編試題4，條件從“DG=CG”到“DG=nCG”，由特殊到一般，體驗(yàn)課題探究的條件.以這樣的方式給出的改編題目，敘述簡(jiǎn)潔，同時(shí)在示意圖的幫助下，理解上沒有任何困難.下面只要“專心致志”研究如何解答.

圖7

其實(shí)改編試題，如何取材選題，如何添加、生成，如何整合、創(chuàng)新，如何為學(xué)生設(shè)計(jì)思維臺(tái)階，如何體現(xiàn)新課改理念下考核的評(píng)價(jià)功能、導(dǎo)向功能及選拔功能，都值得思考.改編試題必須在對(duì)原題深入研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行問題的重新整合或創(chuàng)新，改編試題必須要利于學(xué)生的發(fā)展，老師要多做做題，多思考思考題的來源、本質(zhì)，嘗試改編題.

（3）改編試題答案.

題1：

題2：

題3：或

題4：①∠CDE=30°.

②sin∠CDE= .

③sin∠CDE=.