☉江蘇東臺市實驗中學教育集團南校區(qū) 崔恒劉

杜絕“拿來主義”，改編推進發(fā)展

☉江蘇東臺市實驗中學教育集團南校區(qū) 崔恒劉

一、話題起因

備課是每個老師必做的課前準備工作，布置給學生練習的題，習慣上也喜歡自己先計時做一遍，學生考試時只要有可能必與學生同考，我的感覺是只有自己親自做了，才能知曉試題，明確教學目標，講解時才會有針對性，打造高效的課堂.最近在做我市《2017中考說明與訓練》的綜合訓練三時，對于填空壓軸題，做后感悟頗多，在此與大家交流，原題是：

如圖1，在平面直角坐標系中，直線l平行于x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連接OB，動點P在直線OB上運動且滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C.點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，則PA∶PC=_______.

圖1

二、苦苦探索

解這題整整用了25分鐘，首先遇到的是審題上的困難，題目中有條件“動點P在直線OB上運動”，而題目配的圖形中“動點P不在直線OB上”，是提供的圖沒有用，還是另有玄機？再三讀題，確信我們必須重新畫圖，如何畫出大致準確的示意圖是我遇到的又一難關.做題積累的經驗告訴我準確的幾何圖形能提供幾何直觀，發(fā)現(xiàn)幾何關系，有利于觀察、分析、探索思路，專家說“先有直覺感知，后有邏輯推理！”但畫出滿足題目條件的準確圖并非一件順其自然的事，難度很大.因為經過原點的直線有無數(shù)條，因此直線OB的位置沒法確定，從而點P的位置也難以確定，動中取靜，先大體估一個位置，按要求畫出直線OB、在直線OB上取點P，連AP，畫出∠APQ=90°，交X軸于點C，如圖2，但這樣的圖形難以滿足條件“直線CP與y軸交于點E，且∠ACE=∠AEC”，因此調整畫圖順序，分析條件“∠APQ=90°、∠ACE=∠AEC”，這實質上告訴我們AP垂直平分線段CE，因此理順題目的語句，先畫直線CE交x軸于點C，交y軸于點E，再作線段CE的垂直平分線交y軸于點A，再過點A畫直線l平行于x軸（其實直線l是一條無用的直線，點B也是無用的點，讀到此我們必須排除這些干擾因素），連AC、OP交于點D，畫出圖3，滿足題目條件的圖形大致畫出了（問題是不一定正好滿足最后的條件PD=2OD，這是后面改編試題的思維起點）.圖有了，解題的思路也出來了，由于點P是Rt△COE的斜邊CE的中點，由中點聯(lián)想中線的有關性質，因此取OC邊的中點M，連PM交AC于點F，則線段PM是Rt△COE的中位線，所以，且PM∥OE.根據平行線分線段成比例定理，F(xiàn)也是線段AC的中點，所以FM是△COA的中位線.設FM=x，則AO=2x.由PM∥OB，得△OAD∽△PFD.由于PD=2OD，所以PF=2AO=4x.又PF是△CAE的中位線，所以AE=2PF=8x.由于∠ACE=∠AEC，所以AC=AE=8x.

圖2

圖3

在Rt△COA中，AO=2x，AC=8x，根據勾股定理得：

圖4

由于題目條件是動點P在直線OB上運動，因此還要考慮點P在線段OB的反向延長線上.類比思考分析，同樣的困難仍然是“圖”，橫仿第一種情況畫出草圖，如圖4所示.由于點P是Rt△COE的斜邊CE的中點，因此取OC邊的中點M，連PM交AC于點F，則線段PM是 Rt△COE的中位線，所以，且PM∥OE.根據平行線分線段成比例定理，F(xiàn)也是線段AC的中點，所以有FM是△COA的中位線.設FM=x，則AO=2x.由PM∥OE，得△OAD∽△PFD.由于PD=2OD，所以PF=2AO=4x，PF又是△CAE的中位線，所以AE=2PF=8x.由于∠ACE=∠AEC，所以AC=AE=8x.

在Rt△COA中，AO=2x，AC=8x.

三、兩點思考

中考說明在老師心目中占據極其重要的地位，大市的中考說明是指導全市中考復習的綱要，老師必然會認真研究學習中考說明，了解中考命題的指導思想，掌握中考復習的考試范圍與能力要求，研究中考說明提供的綜合訓練，掌握考試的形式及試卷結構，根據研究中考說明的心得體會制訂中考復習的目標方向，指導中考復習.綜合訓練三的第16題是填空壓軸題，試題來源于何處？考查目標是什么？對我們復習教學有什么啟示？

1.命題切勿“拿來主義”.

本題在求解時好象沒有用到條件“直線l平行于x軸”和“第一象限內的點B在l上”，為什么會出現(xiàn)這種情況呢？是我解錯了，還是題目條件多余？審查我的解答過程，步步有理有據，看看書后提供的答案：“或”，也沒有錯，因此我想條件“直線l平行于x軸”和“第一象限內的點B在l上”是多余的，放在此處會干擾學生的思維.我嘗試進鳳凰數(shù)學網02號VIP群交流，浙江紹興酈興江老師告訴我“這是他們浙江省紹興市2014年中考卷解答壓軸題的最后一問，命題老師如此設計題目配圖，意在加大對學生動態(tài)圖形作圖能力的考查，優(yōu)秀學生不化上一定的解答時間是得不出準確答案的.”酈老師提供原題如下：

如圖1，在平面直角坐標系中，直線l平行于x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連接OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C.

（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長.

（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA∶PC的值.

（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA∶PC的值.

原來我市中考說明上的這道填空題直接截取紹興市2014年中考題的第三問而得，圖是直接復制粘貼的.紹興的壓軸大題有第（1）和（2）問鋪路，多少給解題者（學生、教師）指明點方向，在輔助線及構圖上也有一定的鋪墊，包括審題、理解題意.直接截取其最后一問，圖也直接復制粘貼，用來作填空壓軸題，難度就放大了，等于你要學生上二樓，但抽掉了樓梯，看看學生上樓的非凡本領.解題時單把符合題意的圖形作出來就會把讓解題者搞暈，而現(xiàn)在的學生，畫圖能力普遍較差，（現(xiàn)在的作業(yè)用的是印刷精美的書，不用抄題，不用畫圖，最多就是在圖上作作輔助線而已，老師普遍不重視或不需要學生抄題），因此不少地市這幾年也加大對學生的動態(tài)作圖能力的考查力度，這可以理解.但命題老師希望不出現(xiàn)滿分（或說希望有高分的學生涌現(xiàn)出來，但不希望出現(xiàn)大量的滿分學生來）也可以理解，但不考慮學生的實際，任意加大難度，命題直接采用拿來主義，想通過此題抑制99%的人得分，基于這樣的目的，就不能理解了.另外，命題直接采用拿來主義也有失公平.考卷中所謂的難題能不能拉開差距，要看命題人的水平，最好的難題應該既不要是超級難題，又不要是陳題，要有思維含量，更要有一定的靈活性，有一定的探究梯度，這樣的考題可能才會真正考出學生的思維層次，能夠拉開差距，考試時才有區(qū)分度.像這樣的題目，應當給出示意圖，因為題目的本意是考查分類思想、思維的嚴謹性，以及如何運用其解決比值問題，因此不必在示意圖上再去“刁難”“學生”.

2.改編推進發(fā)展.

這是一道改編的偽坐標系題，它是先平面幾何思構，再放在平面直坐標系中定相關位置，題目好像賦予動態(tài)變化背景而成命題，其實沒有動態(tài)變化.我結合自己做這道紹興市2014年中考壓軸題的思考，也嘗試以此題為母題改編幾題：

（1）試題改編.

題1：如圖5，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，DE⊥AB交直角邊BC于E，連AE、CD交于點G，若DG=2CG，∠CDE= α，則cosα=_______.

圖5

圖6

題2：如圖6，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，DE⊥ AB交直角邊BC的延長線于E，直線AE、CD交于點G，若DG=2CG，∠CDE=α，則tanα=_______.

題3：在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，DE⊥AB交直角邊BC所在直線于E，設直線AE、CD交于點G，若DG= 2CG，則tan∠BAE=_______.

題4：如圖7，在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點，DE⊥AB交直角邊BC于E，連AE、CD交于點G.

①若DG=CG，求∠CDE的度數(shù)；②若DG=2CG，求sin∠CDE的值；③若DG=nCG，則sin∠CDE的值是_______.

（2）改編意圖說明.

改編試題1、2，直奔主題，為學生畫好圖形，考查學生的幾何推理能力，學生運用所學的三角形的中位線、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓等知識，嘗試作出一條輔助線解決.改編試題3實質上是本文話題起因中的原題，但語言敘述簡潔，學生沒有閱讀障礙，題目沒有提供圖形和條件中的“直線”都指明學生要分類討論問題.改編試題4，條件從“DG=CG”到“DG=nCG”，由特殊到一般，體驗課題探究的條件.以這樣的方式給出的改編題目，敘述簡潔，同時在示意圖的幫助下，理解上沒有任何困難.下面只要“專心致志”研究如何解答.

圖7

其實改編試題，如何取材選題，如何添加、生成，如何整合、創(chuàng)新，如何為學生設計思維臺階，如何體現(xiàn)新課改理念下考核的評價功能、導向功能及選拔功能，都值得思考.改編試題必須在對原題深入研究的基礎上進行問題的重新整合或創(chuàng)新，改編試題必須要利于學生的發(fā)展，老師要多做做題，多思考思考題的來源、本質，嘗試改編題.

（3）改編試題答案.

題1：

題2：

題3：或

題4：①∠CDE=30°.

②sin∠CDE= .

③sin∠CDE=.