☉蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 汪曉玲

深刻理解考題立意，并列問題遞進(jìn)求解
——以中考綜合題解題教學(xué)為例

☉蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 汪曉玲

中考復(fù)習(xí)期間，學(xué)生會(huì)練習(xí)大量的習(xí)題，教師也會(huì)講評(píng)大量的習(xí)題，一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象是習(xí)題與習(xí)題之間缺少必要的聯(lián)系，講評(píng)時(shí)也常常是就題講題，核實(shí)答案、一題多解，學(xué)生學(xué)得苦、教師教得累.本文提供一種解題教學(xué)的視角，希望將具有同類解題策略的習(xí)題歸類講評(píng)，讓學(xué)生和老師在這類問題的研討過程中感悟、提煉出解題策略：“并列問題遞進(jìn)求解”.

一、考題及思路講解

考題1：如圖1，點(diǎn)P（t，0）為x軸正半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交拋物線y= -x2+4x和于點(diǎn)A、B，且點(diǎn)

A在點(diǎn)B的上方.

（1）求兩條拋物線的交點(diǎn)

坐標(biāo)；

（2）當(dāng)線段OP、PB、AB中恰有兩條線段相等時(shí)，求t的值.

考題2：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（c≠4a），其圖像L經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0）.

（1）求證：b2-4ac＞0；

思路簡述：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，得4a-2b+c=0，則.這里運(yùn)算、配方是難點(diǎn).接下來就是分析這個(gè)完全平方式一定為正數(shù)，由題干中的條件c≠4a，得2a-c≠0，所以，故b2-4ac＞0.

結(jié)合在（1）中已得的關(guān)系式4a-2b+c=0，代入①式，可得b+3=0，解得b=-3.

另解思考：由題干信息“點(diǎn)A（-2，0）”可確認(rèn)方程ax2+bx+c=0有一個(gè)根必為x1=-2，于是設(shè)另一個(gè)根為x2，則有，即，也就確認(rèn)了點(diǎn)B即為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)！于是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)b+3=0，解得b=-3.

考題3：已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（h，k）（h≠0）.

（1）若h=-1，k=1，求拋物線的解析式；

（2）若拋物線y=mx（2m≠0）也經(jīng)過點(diǎn)A，求的值；

圖1

（3）若點(diǎn)A在拋物線y=x2-x上，且h≥2，求a的取值范圍.

思路簡述：根據(jù)題意，拋物線的解析式還可以表示成“頂點(diǎn)式”：y=a（x-h）2+k（a≠0）.

（1）比較簡單，把h=-1、k=1代入頂點(diǎn)式，得y=a（x+ 1）2+1.由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可得a=-1.即y=-（x+1）2+1，或y=-x2-2x.

（2）由拋物線y=mx2（m≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（h，k），可得k= mh2.①

由y=a（x-h）2+k（a≠0），得y=ax2-2ahx+ah2+k.由該拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，知ah2+k=0，則k=-ah2.②

將①代入②，消去k，得ah2+mh2=0.結(jié)合條件h≠0，所以a=-m.即

（3）由點(diǎn)A（h，k）在拋物線y=x2-x上，可得k=h2-h.代入拋物線的頂點(diǎn)式，得y=a（x-h）2+h2-h.結(jié)合拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，可得ah2+h2-h=0.由條件h≠0，兩邊同時(shí)除以h2，得.接下來討論的范圍.當(dāng)h≥2時(shí)，則-1＜a≤-

另解思考：第（3）問中的等式ah2+h2-h=0，也可變形為（a+1）h2-h=0，則（a+1）h=1，故.把h看成關(guān)于a的一個(gè)函數(shù)，可以視曲線向左平移1個(gè)單位得到h=，這樣結(jié)合函數(shù)值h≥2，可分析出自變量a的取值范圍：-1＜a≤-

二、教學(xué)思考

1.深刻理解考題命題立意，挖掘隱藏信息、思考一題多解.

教師備課時(shí)，不但要貫通思路、獲取答案，而且要深入思考考題的命題立意，挖掘題目中的隱藏信息.比如，考題1第（1）問“求兩條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)”，貌似與下一問無甚關(guān)聯(lián)，不少學(xué)生因?yàn)槿鄙偎伎迹雎粤藅的取值范圍，導(dǎo)致取舍不當(dāng)影響了最終答案的確認(rèn)；考題2第（2）問雖然使用代入運(yùn)算也能獲得問題解決，但繁雜的運(yùn)算讓部分學(xué)生望而卻步，因?yàn)榭床坏竭\(yùn)算的目標(biāo)和方向，少數(shù)學(xué)生選擇放棄解題，這時(shí)如果引導(dǎo)學(xué)生善于挖掘隱藏信息，讀出根與系數(shù)關(guān)系所帶來的性質(zhì)，則可柳暗花明，確認(rèn)點(diǎn)B位置的特殊性（拋物線與x軸的另一交點(diǎn)），從而實(shí)現(xiàn)問題解決.

2.引導(dǎo)學(xué)生回到基本概念獲得解題念頭，并安排回顧反思.

中考每份考卷都有一定比例的陌生題、原創(chuàng)題，或?qū)W生沒有見過的新題，這類試題保證了考試的公平性，需要學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)理解題意、貫通思路、書寫解題步驟.考前輔導(dǎo)需要引導(dǎo)學(xué)生回到基本概念去解題，自然而然就會(huì)有思路現(xiàn)，比如，考題3需要引導(dǎo)學(xué)生重視二次函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式，并能在這些不同形式之間切換.此外，講評(píng)這類習(xí)題時(shí)，要注意安排回顧反思環(huán)節(jié)，在這個(gè)環(huán)節(jié)，要引導(dǎo)學(xué)生本著“求簡”思維，思考更為簡潔、深刻的解法.比如，考題2，我們?cè)凇傲斫馑伎肌敝谐尸F(xiàn)的根與系數(shù)關(guān)系解法，就是一種簡潔、高效、深刻的解法，需要付出更多的思維參與，符合數(shù)學(xué)較難習(xí)題的解法特點(diǎn)：算法簡單的思路，往往要付出邏輯思維的代價(jià).

3.重視從函數(shù)視角解決問題，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合直觀思考.

函數(shù)是初中核心概念，到高中還會(huì)深入、系統(tǒng)研究，每份中考試卷都十分重視對(duì)函數(shù)的考查，然而由于初中學(xué)段的特點(diǎn)，不少考題既可以走數(shù)式、方程、不等式解法思路，也可以從函數(shù)視角處理，滿足不同思維風(fēng)格學(xué)生的特點(diǎn).我們?cè)谥v評(píng)試題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)視角解決問題，函數(shù)視角往往站得更高、視野更全面、更有全局性.如考題3，在另解思考中，我們針對(duì)變量a的取值范圍，從兩種不同的函數(shù)視角，數(shù)形結(jié)合，直觀思考，可以獲得深刻理解.

三、寫在后面

中考綜合題的講評(píng)是中考復(fù)習(xí)期間幾乎每天都要開展的解題教學(xué)話題，怎樣把一些看似沒有關(guān)聯(lián)的綜合題結(jié)合在一起，歸類講評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生在獲得思路或答案之后，發(fā)現(xiàn)、感悟解題策略，洞察同類問題的深層結(jié)構(gòu)，追求解一題、會(huì)一類、通一片的效果，我們的努力還很初步，需要進(jìn)一步積累案例、加深認(rèn)識(shí).

1.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

2.王成.同類鏈接促進(jìn)感悟，?？贾v評(píng)提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

3.劉東升.并列式問題與遞進(jìn)式求解——由一則解題教學(xué)案例說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.

4.付小飛.明辨并列與遞進(jìn)，引導(dǎo)分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學(xué)思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.