☉重慶豐都第二中學(xué)校 陳曉東

一題多解再深入，多解歸一想關(guān)聯(lián)
——以平面幾何解題教學(xué)為例

☉重慶豐都第二中學(xué)校 陳曉東

平面幾何的解題教學(xué)常常是教研難點，學(xué)生學(xué)得難，教師教得也不輕松，特別是一些較為復(fù)雜的幾何題，需要添加恰當?shù)妮o助線，才能實現(xiàn)問題的解決.具體到解題教學(xué)時，往往這條輔助線是“空中飛來”“顯然可作”之類，讓本來不會的學(xué)生茫然無所適從.本文整理近期教學(xué)過程中收集的一些典型幾何題例，對比不同輔助線，并跟進教學(xué)思考，供分享.

一、例題及思路突破

考題1：如圖1，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F(xiàn)是弧AB上一點，將扇形AOB沿EF對折，使得折疊后的圓弧A′F恰好與半徑OB相切于點G，若OE=4，求點O到折痕EF的距離.

圖1

圖2

思路突破：如圖2所示，作出點O關(guān)于折痕EF的對稱點O′，則點O′即為折疊后的圓弧A′F的圓心.連接O′G，由圓弧A′F恰好與半徑OB相切于點G，得O′G⊥OB于點G.由題意知O′G∥AO.接著可得△O′OG∽△OEH.可設(shè)OH= x，則OO′=2x.OE=4，O′G=OA=6.由△O′OG∽△OEH，得比例式，即，化簡得x2=12，解得（負值舍去），問題得解.

另解思考：如圖3，作出點O關(guān)于折痕EF的對稱點O′，則點O′即為折疊后的圓弧A′F的圓心.

類似上面的探究知O′G∥AO，O′G=OA=6，連接O′A，容易證明四邊形OAO′G為矩形，則△O′AE為直角三角形.由O、O′兩點關(guān)于折痕EF對稱，容易想到連接EO′，則EO′=EO=4.

圖3

回顧反思：另解思考巧妙發(fā)現(xiàn)了圖形中蘊含的特殊性，即O′G∥AO且O′G=AO，從而聯(lián)想到連接O′A后得到矩形OAO′G，再利用翻折問題中的邊不變性，聯(lián)想到連接EO′，進而確認特殊直角三角形O′AE.

變式追問：求折痕EF的長.

思路簡述：如圖4，在Rt△OHE中，可求出EH=2；在Rt△OHF中，可求出.從而折痕EF=EH+FH=

圖4

圖5

考題2：以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點D，AD∶BD=1∶3，AB=8，求BC的長.

思路簡述：如圖6，延長AC、BD′交于A′，連接CD′，根據(jù)對稱性先確認A′C=AC，A′D′=AD，再利用△A′CD′∽△A′BA，可得乘積式A′D′·A′B=A′C·A′A.設(shè)AC= x，則2x2=16，解得.再在Rt△ABC中利用勾股定理求得

圖6

圖7

另解思考：想清另一段弧BDC所在圓心O′，構(gòu)造圖7分析，連接O′E、O′C、O′B、O′D，作O′E⊥AB于E，作CF⊥AB于F.在等腰△O′BD中，BE=3，進一步在Rt△O′BE中，確定O′E的長為，于是CF與O′E的長也為，CO與EF的長為4，于是BF=7.最后在Rt△BCF中，可得

考題3：定義：有兩條邊之比為1∶2的直角三角形叫作潛力三角形.

如圖8，△ABC中，∠ABC=90°，D為AB邊的中點，E為CD的中點，DF∥AE.

（1）設(shè)“潛力三角形”較短直角邊為a，斜邊長為c，請直接寫出c的值；a

圖8

圖9

（2）當∠EDF=∠DCF時，求證△BDF是潛力三角形；

（3）若△BDF是潛力三角形，BF=1，求AC的長.

思路突破：如圖9，著眼于D為中點且DF∥AE這個雙重信息的啟示，添加恰當輔助線，作EH∥DF交BC于H點，根據(jù)相似及三角形中位線性質(zhì)容易確定H、F為邊BC的三等分點，再由DF=CF，所以△BDF中，DF=2BF，問題獲得解決.

回顧反思：在圖9中，還可過B作BG∥FD交CD的延長線于G點，可以確定D、E為線段CG的三等分點，從而看出該題的深層結(jié)構(gòu)，感受到不同方法都能解決問題.

考題4：如圖10，在矩形ABCD中，E、F分別為AB、CD上兩點，且∠EBF=∠DEF=45°，試用等式表示AE、EF、CF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

圖10

圖11

圖12

思路突破：如圖11，延長BA、BC交直線EF于G、H，可確認△BGH是等腰直角三角形，再將△BEG繞點B旋轉(zhuǎn)90°到△BG′H的位置，再證出△BG′F≌△BEF，從而把GE、EF、FH集中到△FG′H中，而該三角形是直角三角形（引導(dǎo)學(xué)生注意說清∠G′HB、∠FHB都是45°）.這樣根據(jù)勾股定理得GE2+FH2=EF2，再轉(zhuǎn)化為2AE2+2FC2=EF2.

結(jié)構(gòu)反思：如圖12，補成一個大的正方形BHKG后，容易確認兩個經(jīng)典的性質(zhì)，一是MN=GM+HN，二是GE2+ FH2=EF2，或者2AE2+2FC2=EF2.

二、教學(xué)思考

1.教師備課需要追求一題多解，并深入思考“一題何以多解”.

對于一些經(jīng)典考題，教師擬選用例題重點講評時，就需要深入思考該題的不同解法，并比較不同解法之間的關(guān)系，特別是教師本人要深入思考：一題何以多解？這些多解之間的關(guān)聯(lián)何在？不同思路的輔助線是基于什么想法得到的？是基于哪一種基本圖形？（如考題4的結(jié)構(gòu)是一個正方形中的兩個經(jīng)典結(jié)構(gòu)，如圖12所示）是基于哪一個數(shù)學(xué)定理的基本圖形發(fā)展而來？是否體現(xiàn)了從標準圖形向非標準圖形的變式？教師備課前多思考上述問題，則解題教學(xué)就有了深度，從就題講題追求一題多得、講一題會一類的高效課堂.

2.不同解法需要經(jīng)過優(yōu)選，并引導(dǎo)學(xué)生思考“殊途何以同歸”.

備課時教師可能會對同一道習(xí)題獲得多樣化的解法，但并不代表這些解法都要進入課堂，因為有些經(jīng)典問題的不同解法可能多達10種，而且有些解法本質(zhì)上大同小異，無須在寶貴的課堂上一一展示，這時教師在備課時需要優(yōu)選不同解法，挑選一些典型解法，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考這些不同的解法“殊途何以同歸”.比如考題1，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生對比不同解法，而且還可以成果擴大，給出變式追問，讓學(xué)生繼續(xù)求解；再如考題2的兩種思路，不同的平行線添加都能實現(xiàn)問題的解決，然而將這兩種輔助線都添加在同一圖形（如圖9）中時，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)一個平行線等分線段定理的基本圖形，這也是引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”.

3.追求最少的條件及最簡的證明，并引導(dǎo)思辨解法的繁簡.

我國數(shù)學(xué)家中科院李大潛院士曾指出：“數(shù)學(xué)上追求最有用（廣泛）的結(jié)論、最少的條件（代價）及最簡潔的證明，通過嚴格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，會逐步形成精益求精、力求盡善盡美的習(xí)慣和風(fēng)格.”面對一些典型問題的求解，我們也要引導(dǎo)學(xué)生有這樣的追求.常?？吹讲簧賹W(xué)生面對習(xí)題講評時，只是滿足于答案的獲得，不能深入思考不同解法，特別是對不同解法之間的關(guān)系缺少深入的思辨，比較它們的繁簡，這時要通過一題多解、解后回顧，訓(xùn)練學(xué)生的求簡思維，促進他們形成盡善盡美的習(xí)慣和風(fēng)格.想來，這也是數(shù)學(xué)育人的追求吧.

1.王海燕.刪繁就簡凸顯本質(zhì)，退回原點推導(dǎo)公式——以一道坐標系中旋轉(zhuǎn)難題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.賀清倫.解題研究再深入：以一道習(xí)題網(wǎng)絡(luò)研討為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

3.王成.同類鏈接促進感悟，?？贾v評提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.金弘鑫.解后反思看清結(jié)構(gòu)，變式改編成果擴大——以一道八年級期末?？碱}為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（1）.