☉重慶豐都第二中學(xué)校 陳曉東

一題多解再深入，多解歸一想關(guān)聯(lián)
——以平面幾何解題教學(xué)為例

☉重慶豐都第二中學(xué)校 陳曉東

平面幾何的解題教學(xué)常常是教研難點(diǎn)，學(xué)生學(xué)得難，教師教得也不輕松，特別是一些較為復(fù)雜的幾何題，需要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，才能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.具體到解題教學(xué)時(shí)，往往這條輔助線是“空中飛來(lái)”“顯然可作”之類(lèi)，讓本來(lái)不會(huì)的學(xué)生茫然無(wú)所適從.本文整理近期教學(xué)過(guò)程中收集的一些典型幾何題例，對(duì)比不同輔助線，并跟進(jìn)教學(xué)思考，供分享.

一、例題及思路突破

考題1：如圖1，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是弧AB上一點(diǎn)，將扇形AOB沿EF對(duì)折，使得折疊后的圓弧A′F恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，若OE=4，求點(diǎn)O到折痕EF的距離.

圖1

圖2

思路突破：如圖2所示，作出點(diǎn)O關(guān)于折痕EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′即為折疊后的圓弧A′F的圓心.連接O′G，由圓弧A′F恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，得O′G⊥OB于點(diǎn)G.由題意知O′G∥AO.接著可得△O′OG∽△OEH.可設(shè)OH= x，則OO′=2x.OE=4，O′G=OA=6.由△O′OG∽△OEH，得比例式，即，化簡(jiǎn)得x2=12，解得（負(fù)值舍去），問(wèn)題得解.

另解思考：如圖3，作出點(diǎn)O關(guān)于折痕EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′即為折疊后的圓弧A′F的圓心.

類(lèi)似上面的探究知O′G∥AO，O′G=OA=6，連接O′A，容易證明四邊形OAO′G為矩形，則△O′AE為直角三角形.由O、O′兩點(diǎn)關(guān)于折痕EF對(duì)稱(chēng)，容易想到連接EO′，則EO′=EO=4.

圖3

回顧反思：另解思考巧妙發(fā)現(xiàn)了圖形中蘊(yùn)含的特殊性，即O′G∥AO且O′G=AO，從而聯(lián)想到連接O′A后得到矩形OAO′G，再利用翻折問(wèn)題中的邊不變性，聯(lián)想到連接EO′，進(jìn)而確認(rèn)特殊直角三角形O′AE.

變式追問(wèn)：求折痕EF的長(zhǎng).

思路簡(jiǎn)述：如圖4，在Rt△OHE中，可求出EH=2；在Rt△OHF中，可求出.從而折痕EF=EH+FH=

圖4

圖5

考題2：以半圓中的一條弦BC（非直徑）為對(duì)稱(chēng)軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D，AD∶BD=1∶3，AB=8，求BC的長(zhǎng).

思路簡(jiǎn)述：如圖6，延長(zhǎng)AC、BD′交于A′，連接CD′，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性先確認(rèn)A′C=AC，A′D′=AD，再利用△A′CD′∽△A′BA，可得乘積式A′D′·A′B=A′C·A′A.設(shè)AC= x，則2x2=16，解得.再在Rt△ABC中利用勾股定理求得

圖6

圖7

另解思考：想清另一段弧BDC所在圓心O′，構(gòu)造圖7分析，連接O′E、O′C、O′B、O′D，作O′E⊥AB于E，作CF⊥AB于F.在等腰△O′BD中，BE=3，進(jìn)一步在Rt△O′BE中，確定O′E的長(zhǎng)為，于是CF與O′E的長(zhǎng)也為，CO與EF的長(zhǎng)為4，于是BF=7.最后在Rt△BCF中，可得

考題3：定義：有兩條邊之比為1∶2的直角三角形叫作潛力三角形.

如圖8，△ABC中，∠ABC=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，DF∥AE.

（1）設(shè)“潛力三角形”較短直角邊為a，斜邊長(zhǎng)為c，請(qǐng)直接寫(xiě)出c的值；a

圖8

圖9

（2）當(dāng)∠EDF=∠DCF時(shí)，求證△BDF是潛力三角形；

（3）若△BDF是潛力三角形，BF=1，求AC的長(zhǎng).

思路突破：如圖9，著眼于D為中點(diǎn)且DF∥AE這個(gè)雙重信息的啟示，添加恰當(dāng)輔助線，作EH∥DF交BC于H點(diǎn)，根據(jù)相似及三角形中位線性質(zhì)容易確定H、F為邊BC的三等分點(diǎn)，再由DF=CF，所以△BDF中，DF=2BF，問(wèn)題獲得解決.

回顧反思：在圖9中，還可過(guò)B作BG∥FD交CD的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，可以確定D、E為線段CG的三等分點(diǎn)，從而看出該題的深層結(jié)構(gòu)，感受到不同方法都能解決問(wèn)題.

考題4：如圖10，在矩形ABCD中，E、F分別為AB、CD上兩點(diǎn)，且∠EBF=∠DEF=45°，試用等式表示AE、EF、CF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

圖10

圖11

圖12

思路突破：如圖11，延長(zhǎng)BA、BC交直線EF于G、H，可確認(rèn)△BGH是等腰直角三角形，再將△BEG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°到△BG′H的位置，再證出△BG′F≌△BEF，從而把GE、EF、FH集中到△FG′H中，而該三角形是直角三角形（引導(dǎo)學(xué)生注意說(shuō)清∠G′HB、∠FHB都是45°）.這樣根據(jù)勾股定理得GE2+FH2=EF2，再轉(zhuǎn)化為2AE2+2FC2=EF2.

結(jié)構(gòu)反思：如圖12，補(bǔ)成一個(gè)大的正方形BHKG后，容易確認(rèn)兩個(gè)經(jīng)典的性質(zhì)，一是MN=GM+HN，二是GE2+ FH2=EF2，或者2AE2+2FC2=EF2.

二、教學(xué)思考

1.教師備課需要追求一題多解，并深入思考“一題何以多解”.

對(duì)于一些經(jīng)典考題，教師擬選用例題重點(diǎn)講評(píng)時(shí)，就需要深入思考該題的不同解法，并比較不同解法之間的關(guān)系，特別是教師本人要深入思考：一題何以多解？這些多解之間的關(guān)聯(lián)何在？不同思路的輔助線是基于什么想法得到的？是基于哪一種基本圖形？（如考題4的結(jié)構(gòu)是一個(gè)正方形中的兩個(gè)經(jīng)典結(jié)構(gòu)，如圖12所示）是基于哪一個(gè)數(shù)學(xué)定理的基本圖形發(fā)展而來(lái)？是否體現(xiàn)了從標(biāo)準(zhǔn)圖形向非標(biāo)準(zhǔn)圖形的變式？教師備課前多思考上述問(wèn)題，則解題教學(xué)就有了深度，從就題講題追求一題多得、講一題會(huì)一類(lèi)的高效課堂.

2.不同解法需要經(jīng)過(guò)優(yōu)選，并引導(dǎo)學(xué)生思考“殊途何以同歸”.

備課時(shí)教師可能會(huì)對(duì)同一道習(xí)題獲得多樣化的解法，但并不代表這些解法都要進(jìn)入課堂，因?yàn)橛行┙?jīng)典問(wèn)題的不同解法可能多達(dá)10種，而且有些解法本質(zhì)上大同小異，無(wú)須在寶貴的課堂上一一展示，這時(shí)教師在備課時(shí)需要優(yōu)選不同解法，挑選一些典型解法，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考這些不同的解法“殊途何以同歸”.比如考題1，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同解法，而且還可以成果擴(kuò)大，給出變式追問(wèn)，讓學(xué)生繼續(xù)求解；再如考題2的兩種思路，不同的平行線添加都能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決，然而將這兩種輔助線都添加在同一圖形（如圖9）中時(shí)，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)一個(gè)平行線等分線段定理的基本圖形，這也是引導(dǎo)學(xué)生“回到概念去解題”.

3.追求最少的條件及最簡(jiǎn)的證明，并引導(dǎo)思辨解法的繁簡(jiǎn).

我國(guó)數(shù)學(xué)家中科院李大潛院士曾指出：“數(shù)學(xué)上追求最有用（廣泛）的結(jié)論、最少的條件（代價(jià)）及最簡(jiǎn)潔的證明，通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，會(huì)逐步形成精益求精、力求盡善盡美的習(xí)慣和風(fēng)格.”面對(duì)一些典型問(wèn)題的求解，我們也要引導(dǎo)學(xué)生有這樣的追求.常?？吹讲簧賹W(xué)生面對(duì)習(xí)題講評(píng)時(shí)，只是滿(mǎn)足于答案的獲得，不能深入思考不同解法，特別是對(duì)不同解法之間的關(guān)系缺少深入的思辨，比較它們的繁簡(jiǎn)，這時(shí)要通過(guò)一題多解、解后回顧，訓(xùn)練學(xué)生的求簡(jiǎn)思維，促進(jìn)他們形成盡善盡美的習(xí)慣和風(fēng)格.想來(lái)，這也是數(shù)學(xué)育人的追求吧.

1.王海燕.刪繁就簡(jiǎn)凸顯本質(zhì)，退回原點(diǎn)推導(dǎo)公式——以一道坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)難題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.賀清倫.解題研究再深入：以一道習(xí)題網(wǎng)絡(luò)研討為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

3.王成.同類(lèi)鏈接促進(jìn)感悟，?？贾v評(píng)提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.金弘鑫.解后反思看清結(jié)構(gòu)，變式改編成果擴(kuò)大——以一道八年級(jí)期末?？碱}為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（1）.