☉廣東惠州市惠陽(yáng)區(qū)崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李志平

一道課后習(xí)題的解答與變式探究

☉廣東惠州市惠陽(yáng)區(qū)崇雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校 李志平

新人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)（上）P130有這樣一道習(xí)題：兩條直線相交，有一個(gè)交點(diǎn)，三條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？四條直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

本題是習(xí)題4.2的一道拓廣探索題，也是一道探索規(guī)律型問(wèn)題，這種題型對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)屬于難度較大的題目，能較好地考查學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的技能水平，特別注重對(duì)學(xué)生探索性思維能力和創(chuàng)新性思維能力的考查.以下筆者從題目的解答和變式兩方面做些探究，與廣大同仁交流.

一、解法探究

解法1：設(shè)平面內(nèi)有n條直線相交，如圖1，當(dāng)n=2時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)n=3時(shí)，最多有1+2=3（個(gè)）交點(diǎn)；當(dāng)n=4時(shí)，最多有1+2+3=6（個(gè)）交點(diǎn)；當(dāng)n=5時(shí)，最多有1+2+3+4= 10（個(gè)）交點(diǎn)……當(dāng)取n時(shí)，最多有1+2+3+…+（n-1）=（個(gè)）交點(diǎn).

圖1

點(diǎn)評(píng)：由解法1得到的結(jié)論發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)n（n>1）條直線相交，最多有（

個(gè)）交點(diǎn).從而可猜想交點(diǎn)數(shù)可看成直線條數(shù)n的二次函數(shù)，由此得到解法2.

解法2：建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系：把交點(diǎn)個(gè)數(shù)y看成直線條數(shù)n的函數(shù)，通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)出圖像，猜想y是關(guān)于n的二次函數(shù).設(shè)y=an2+bn+c（a≠0），從解法1中抽取三組數(shù)據(jù)代入，解得，由此得到.再代入其余的一些數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，均成立.

解法3：設(shè)平面內(nèi)有n條直線相交，由題意可知：當(dāng)這n條直線兩兩相交且任意3條直線不過(guò)同一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)最多，因?yàn)槊織l直線都與其余的（n-1）條直線相交，即有（n-1）個(gè)交點(diǎn)，所以n條直線共有n（n-1）個(gè)交點(diǎn)，由于任一個(gè)交點(diǎn)都計(jì)算了兩次（如直線a與直線b相交，直線b與直線a相交，它們所產(chǎn)生的交點(diǎn)是同一個(gè)交點(diǎn)），所以平面內(nèi)n（n>1）條直線相交，最多有個(gè)交點(diǎn).分別將n取不同的值即可得到相應(yīng)的答案.

點(diǎn)評(píng)：解法1與解法2都屬于歸納性猜想，因?yàn)樵诔踔须A段還沒(méi)有學(xué)數(shù)學(xué)歸納法，故無(wú)法在理論上嚴(yán)密地加以論證.而解法3從根本上解決了這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)方法運(yùn)用了組合數(shù)學(xué)的分析方法（其實(shí)質(zhì)是組合數(shù)學(xué)中的C2n模型）.筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這種方法學(xué)生還是能夠很好地掌握的，不失為解決這類問(wèn)題的好方法.

二、變式探究

本著“解一道題，會(huì)一類題”的教學(xué)思想，教師應(yīng)引導(dǎo)以一個(gè)題目為起點(diǎn)，運(yùn)用聯(lián)想，展開(kāi)想象，發(fā)散思維，由一題而涉及一類題.這樣既能收到由例及類、觸類旁通的效果，而且有利于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)獨(dú)立探索解決問(wèn)題的能力.

下面筆者就試著對(duì)這道題作如下的變式探究.

變式1：數(shù)線段問(wèn)題.

例1 如圖2，同一條直線上有n個(gè)不同的點(diǎn)，則這n個(gè)不同的點(diǎn)能確定幾條線段？

圖2

解：因?yàn)槊總€(gè)點(diǎn)都可以和其他（n-1）個(gè)點(diǎn)各構(gòu)成一條線段，即共確定（n-1）條線段，所以n個(gè)點(diǎn)共能確定n（n-1）條線段.由于每條線段都重復(fù)計(jì)算了兩次（比如，線段AB，在計(jì)算過(guò)A點(diǎn)和過(guò)B點(diǎn)的線段時(shí)各計(jì)算了一次），所以線段的總條數(shù)是

變式2：數(shù)角問(wèn)題.

例2 數(shù)一數(shù)圖3中角的個(gè)數(shù)，圖①中共有______個(gè)角，圖②中共有_____個(gè)角，圖③中共有______個(gè)角，圖④中共有______角.

圖3

解：如圖3④，這n條射線，每條射線都可以和其他（n-1）條射線構(gòu)成一個(gè)角，即可確定（n-1）個(gè)角，所以n條射線共可確定n（n-1）個(gè)角.由于每個(gè)角都重復(fù)計(jì)算了兩次，所以一共可構(gòu)成個(gè)角.當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，，當(dāng)n=5時(shí)，

變式3：凸多邊形對(duì)角線問(wèn)題.

例3 如圖4，正四邊形有2條對(duì)角線，正五邊形有5條對(duì)角線，正六邊形有9條對(duì)角線，正n邊形有多少條對(duì)角線？

圖4

解：因?yàn)檎齨邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，都可以與與其不相鄰的（n-3）個(gè)頂點(diǎn)連成一條對(duì)角線，即可連成（n-3）條對(duì)角線.所以n個(gè)頂點(diǎn)共可連成n（n-3）條對(duì)角線.由于每條對(duì)角線都重復(fù)計(jì)算了兩次，所以正n邊形共有條對(duì)角線.

變式4：握手問(wèn)題.

例4 有28位賓客參加一場(chǎng)宴會(huì)，任兩人之間都要握一次手，問(wèn)：參加宴會(huì)的賓客共握了多少次手？

解：每個(gè)人都與其他27位賓客各握一次手，即握手27次，共28位賓客，共握手28×27次.由于每?jī)扇酥g握手重復(fù)計(jì)算了兩次，所以28位賓客共握手378（次）.

點(diǎn)評(píng)：此題一般化為：n（n>1）位賓客參加宴會(huì)，任兩人之間都要握一次手，問(wèn)：參加宴會(huì)的賓客共握了多少次手？解法完全類似.

變式5：?jiǎn)窝h(huán)賽制問(wèn)題.

例5 世界杯共有32支球隊(duì)入圍參加，分成8個(gè)小組，每組內(nèi)由單循環(huán)賽規(guī)則根據(jù)得分高低各產(chǎn)生2支晉級(jí)球隊(duì)，之后按淘汰賽規(guī)則分別產(chǎn)生8強(qiáng)、4強(qiáng)、冠軍、亞軍、季軍.問(wèn)：整個(gè)世界杯賽程的總場(chǎng)次是多少？

解：在小組賽中，每個(gè)小組共有32÷8=4（支）球隊(duì).每個(gè)球隊(duì)都與其余3支球隊(duì)分別打3場(chǎng)比賽，共打4×3= 12（場(chǎng)）比賽，由于每場(chǎng)比賽重復(fù)計(jì)算了兩次（如A隊(duì)和B隊(duì)，B隊(duì)和A隊(duì)，是同一場(chǎng)比賽，但計(jì)算了兩次），所以每個(gè)小組內(nèi)共比賽了（場(chǎng)），8個(gè)小組共比了8×6= 48（場(chǎng)），之后晉級(jí)的16支球隊(duì)通過(guò)8（16÷2=8）場(chǎng)淘汰賽產(chǎn)生8強(qiáng)，再通過(guò)4（8÷2=4）場(chǎng)淘汰賽產(chǎn)生4強(qiáng)，再通過(guò)2場(chǎng)淘汰賽產(chǎn)生前2名和后2名，最后通過(guò)2場(chǎng)淘汰賽產(chǎn)生冠、亞、季軍.

綜上可知，整個(gè)世界杯賽程的總場(chǎng)次為：48+8+4+2+ 2=64.

點(diǎn)評(píng)：此題解題的關(guān)鍵是算出單循環(huán)賽的總場(chǎng)次，而計(jì)算單循環(huán)賽的總場(chǎng)次問(wèn)題本質(zhì)上和前面的課本習(xí)題是一致的.計(jì)算公式為：（n>1，n為比賽球隊(duì)數(shù)）.

例6 （2016·臺(tái)州）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽一場(chǎng)（單循環(huán)賽制），則下列方程中符合題意的是（ ）.

點(diǎn)評(píng)：此題是由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，在歷年中考中較常見(jiàn)，其解決的辦法與課本原習(xí)題類似.

三、小結(jié)

從這道課后習(xí)題的解答到后面的一些例題的演變，我們不難發(fā)現(xiàn)，雖然表面看起來(lái)這些問(wèn)題的背景不同，但其本質(zhì)和解決的思路是一致的.作為教師，我們應(yīng)充分挖掘每一道習(xí)題，通過(guò)有效的一題多解和一題多變的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探索性和創(chuàng)新性的思維能力，充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.