☉江蘇如東縣袁莊鎮(zhèn)袁莊初級(jí)中學(xué) 戴昌龍

“變換思想”在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的應(yīng)用研究

☉江蘇如東縣袁莊鎮(zhèn)袁莊初級(jí)中學(xué) 戴昌龍

變換思想在我國歷史長河中源遠(yuǎn)流長，很多傳統(tǒng)文化中都包含著變換的思想.隨著社會(huì)的發(fā)展，這種變換的思想也被當(dāng)成了一種研究工具應(yīng)用到了更多的領(lǐng)域當(dāng)中，例如，在物理學(xué)中的P-V圖和V-T圖、P-T圖的變換，在化學(xué)中的傅里葉變化成像光譜技術(shù)的應(yīng)用，在生物醫(yī)學(xué)中的連續(xù)小波在醫(yī)學(xué)信號(hào)處理中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)學(xué)科中代數(shù)部分的正交變換和相似變換等.在新課程改革的實(shí)施過程中，就對初中生對幾何變換思想的掌握提出了明確的要求：要求學(xué)生能夠靈活掌握圖形軸對稱、圖形平移、圖形旋轉(zhuǎn)、圖形相似等幾何圖形的變換.

一、變換思想概述

變換思想就是利用相似的事物代替原有事物，通過這種迂回變換的方式達(dá)到解決問題的目的.通過對原有問題的轉(zhuǎn)換，能夠使原有未得到解決的問題向能夠解決的問題轉(zhuǎn)變，例如，數(shù)學(xué)教學(xué)中的分割變換法.在目前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)變換思想得到了很多人的重視，在教學(xué)中我們不僅要將變換思想作為一種具體的解題思路來教育學(xué)生，還要將它當(dāng)作一種數(shù)學(xué)思想來幫助學(xué)生開拓自己的思維.

二、變換思想在初中數(shù)學(xué)幾何教學(xué)中的應(yīng)用

1.變換思想能夠輔助學(xué)生的解題.

變換思想不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想，還是一個(gè)有效的解題工具，利用變換思想能夠幫助學(xué)生在解決幾何問題時(shí)，發(fā)揮出奇制勝的作用.

例1 在四邊形ABCD中，AB平行于CD，其中E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE和CE，其中BE和CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，求證BC=AB+CD.

圖1

圖2

圖3

這一問題涉及的AB和CD兩條邊的關(guān)系并不在學(xué)生熟悉范圍之內(nèi)，想要求證BC、AB和CD三條邊的關(guān)系就需要將它們盡量安排在相同的圖形當(dāng)中.利用變換思想中的軸對稱變換思想，通過添加輔助線能夠?qū)崿F(xiàn)快速解題.

證明：在四邊形ABCD的邊BC上找一點(diǎn)F，使BF=AB，連接EF，通過邊角邊定理，就可以得出三角形EBA和三角形EBF是全等三角形，該圖形就構(gòu)成了以BE為對稱軸的兩個(gè)對稱圖形，由此就可以得出∠A=∠BFE.又因?yàn)椤螦+∠D=180°，∠BFE+∠CFE= 180°，所以∠CFE=∠D.根據(jù)角角邊定理，就可以得出三角形FCE和三角形DCE是全等三角形，進(jìn)而得出CF=CD.這樣就可以將AB和CD轉(zhuǎn)化到同一條線段當(dāng)中：BC=BF+CF= AB+CD.

對于這一問題，我們還可以通過旋轉(zhuǎn)變換的思想來完成證明.由于E點(diǎn)是線段AD的中點(diǎn)，AB∥CD，那么圍繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°就可以得到另一個(gè)圖形，就可以將線段AB和線段CD轉(zhuǎn)化到同一個(gè)圖形當(dāng)中，從而幫助學(xué)生完成證明.

證明：延長BE和CD，相交于點(diǎn)G，通過角邊角定理，我們可以得出三角形AEB和三角形DEG是全等三角形，那么AB=DG.因?yàn)锽E是∠CBA的角平分線，那么∠ABG=∠CBG.又因?yàn)椤螦BG=∠G，那么∠CBG=∠G.利用角角邊定理就可以得出三角形CBE和三角形CEG全等，進(jìn)而得出BC=CG.所以BC=CG=DG+CD=AB+CD.

為幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握該部分知識(shí)，教師還可以通過變換思想，利用變式將原有問題進(jìn)行變換，從而加深學(xué)生對該類問題的理解.例如，在四邊形ABCD中，AB平行于CD，其中E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE和CE，其中BE是∠ABC的角平分線，并且滿足BC=AB+CD，求證：BC= AB+CD.

數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，利用變換思想能夠幫助學(xué)生掌握一類問題的解決方法，能夠引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面思考問題，從而幫助學(xué)生快速完成解題.

2.變換思想能夠促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

在幾何教學(xué)中，變換思想的關(guān)鍵就在于使變換前后的圖形保持不變，利用軸對稱變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換等方法，構(gòu)造新的數(shù)量關(guān)系，從而完成問題的求解.這種方法能夠幫助學(xué)生從其他角度去思考問題，開闊他們的思維，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展.

例2 在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB= AC，其中P是等腰直角三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，BP=3，AP=2，CP=1，求∠APC的度數(shù).

圖4

圖5

學(xué)生拿到這題目后的第一感覺就是：這個(gè)題目的已知條件與所求的問題之間并沒有直接的聯(lián)系，難以找到解題的突破口，他們不得不轉(zhuǎn)化思維，向更深處思考.是否可以另外構(gòu)造圖形，將已知條件都用上？因?yàn)樵陬}目給出的已知條件中說明了AC=AB，BP=3，AP=2，CP=1，我們就可以試圖通過構(gòu)造全等圖形的方式，將要求的問題轉(zhuǎn)化到相似的圖形中.通常情況下，對于具有等邊特性的圖形來說，我們可以使用旋轉(zhuǎn)的思想來輔助問題的解決.在含有直角的三角形中，我們經(jīng)常以直角三角形的頂點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，將題目中包含的已知條件盡可能匯總到一個(gè)圖形中，進(jìn)而求出最終答案.

詳細(xì)解題過程如下：以等腰直角三角形的頂點(diǎn)A為圓心，旋轉(zhuǎn)90°，使得邊AC與邊AB重合，即可以得到與三角形APC全等的三角形AMB.由此可以看出∠MAP=90°，AP=.又因?yàn)锽M=PC=1，BP=3，根據(jù)勾股定理的逆定理就可以得出三角形BMP是直角三角形，∠BMP=90°.因?yàn)樵谥苯侨切蜯AP中，∠AMP=45°，所以∠BMA=∠BMP+AMP=135°.又因?yàn)槿切蜛MB是三角形APC旋轉(zhuǎn)90°得來的，那么∠APC=∠AMB=135°.

這個(gè)問題對學(xué)生思維的要求較高，學(xué)生剛一接觸難免會(huì)出現(xiàn)不知所措的情況，依靠傳統(tǒng)的思維方式很難找到突破口，通過旋轉(zhuǎn)變換的思想，巧妙地解決了看似無從下手的問題，開拓了學(xué)生的思維.通過變換思想改變了學(xué)生傳統(tǒng)模式下機(jī)械做題的習(xí)慣，使他們的發(fā)散思維得到了發(fā)展，使他們養(yǎng)成了從多角度思考問題的習(xí)慣.

3.變換思想能夠體現(xiàn)出數(shù)學(xué)中的美學(xué).

學(xué)生是具有情感的高等動(dòng)物，他們具有豐富的情感，通過體會(huì)數(shù)學(xué)中的美學(xué)，能夠幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力.數(shù)學(xué)中的變換思想體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中的美學(xué)，同樣的問題，通過不同形式的變換，能夠展現(xiàn)出不同的結(jié)果，從而體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的魅力.

1.涂榮豹.談提高對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（1/2）.

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