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        常量變量對(duì)應(yīng)靜動(dòng),數(shù)形互動(dòng)促進(jìn)理解
        ——以?xún)傻馈昂瑓ⅰ倍魏瘮?shù)綜合題為例

        2017-06-26 11:00:08江蘇張家港市第一中學(xué)姚楚舒
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年12期
        關(guān)鍵詞:綜合題考題拋物線(xiàn)

        ☉江蘇張家港市第一中學(xué) 姚楚舒

        常量變量對(duì)應(yīng)靜動(dòng),數(shù)形互動(dòng)促進(jìn)理解
        ——以?xún)傻馈昂瑓ⅰ倍魏瘮?shù)綜合題為例

        ☉江蘇張家港市第一中學(xué) 姚楚舒

        含參數(shù)的二次函數(shù)綜合題是近年來(lái)不少地區(qū)中考必考題型,正逐漸取代曾經(jīng)流行一時(shí)的“偽拋物線(xiàn)幾何題”(以坐標(biāo)系、函數(shù)圖像為載體,本質(zhì)上是考查平面幾何構(gòu)造與證明).本文選取兩道近期收集到的含參數(shù)的二次函數(shù)綜合題,利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題,并跟進(jìn)教學(xué)思考,供研討.

        一、兩道含參數(shù)二次函數(shù)綜合題的思路突破

        考題1:已知拋物線(xiàn)C:y1=a(x-h)2-1,直線(xiàn)l:y2=kxkh-1.

        (1)求證:直線(xiàn)l恒過(guò)拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn);

        (2)當(dāng)a=-1,m≤x≤2時(shí),y1≥x-3恒成立,求m的最小值;

        (3)當(dāng)0<a≤2,k>0時(shí),若在直線(xiàn)l下方的拋物線(xiàn)C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn),求k的取值范圍.

        思路講解:(1)拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,-1).當(dāng)x=h時(shí),y2=kh-kh-1=-1,則直線(xiàn)l恒過(guò)拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn).

        (2)當(dāng)a=-1時(shí),重新寫(xiě)出拋物線(xiàn)C的解析式:y1=-(xh)2-1.設(shè)直線(xiàn)的解析式為y3=x-3,接下來(lái)畫(huà)出圖像,數(shù)形結(jié)合,如圖1,拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=-1上移動(dòng).

        圖1

        圖2

        由于當(dāng)m≤x≤2時(shí),y1≥x-3恒成立,則可確認(rèn)拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為(2,-1),為了突破這個(gè)難點(diǎn),我們可以畫(huà)出一個(gè)反例,比如該拋物線(xiàn)頂點(diǎn)不在直線(xiàn)x=2上時(shí),就會(huì)出現(xiàn)圖2的反例情形.回到圖1,設(shè)拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)y3=x-3除頂點(diǎn)外的另一交點(diǎn)為M,此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即為m的最小值.聯(lián)立兩個(gè)圖像的解析式得到方程組解得x1=1,x2=2,所以m的最小值為1.

        另解展示:由y1≥x-3出發(fā),把y1=-(x-h)2-1代入不等式,得到-(x-h)2-1≥x-3,整理得x2-(2h-1)x+h2-2≤0,結(jié)合條件“當(dāng)m≤x≤2時(shí),y1≥x-3恒成立”,可把x=2代入不等式,整理得h2-4h+4≤0,從而確認(rèn)h=2.于是不等式明確為x2-3x+2≤0,再把m代入該不等式也是成立的,則m2-3m+2≤0,解得1≤m≤2.所以m的最小值應(yīng)該是1.

        (3)如圖3.

        由(1)可知:拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)l都過(guò)點(diǎn)A(h,-1).

        當(dāng)0<a≤2,k>0時(shí),在直線(xiàn)l下方的拋物線(xiàn)C上至少存在兩個(gè)橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn),即當(dāng)x=h+2時(shí),y2>y1恒成立.

        所以k(h+2)-kh-1>a(h+2-h)2-1,整理得:k>2a.因?yàn)?<a≤2,所以0<2a≤4,所以k>4.

        圖3

        如圖3,A、B為拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)l的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BC垂直直線(xiàn)y=-1于點(diǎn)C.

        考題2:已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與直線(xiàn)y=mx+n相交于兩點(diǎn),其中a、b、c、m、n為實(shí)數(shù),且a、m不為0.當(dāng)-1≤x≤1時(shí),求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上到x軸距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo).

        思路講解:先解出a的值,限于篇幅,這里簡(jiǎn)要呈現(xiàn)思路,先確定.由點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c上,得.整理、分解成(a-1)(m-b)2=0.所以a=1.明確拋物線(xiàn)解析式為,它的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn),最小值為.接下來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論,為了形象化描述思路,我們給出相關(guān)的草圖分析:

        在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是(1,y1),則b.在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是(-1,y2),則由,得與x軸距離最大的點(diǎn)是

        圖4

        圖5

        在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是(1,y1),則b.在x軸下方與x軸距離最大點(diǎn)的是,則,則與x軸距離最大的點(diǎn)是

        在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是(-1,y1),則-b.在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是,則,即與x軸距離最大的點(diǎn)是

        圖6

        圖7

        在x軸上方與x軸距離最大的點(diǎn)是(-1,y1),則|y1|=.在x軸下方與x軸距離最大的點(diǎn)是(1,y),則|y|=

        22,即與x軸距離最大的點(diǎn)是

        回顧反思:對(duì)4種情形分散著進(jìn)行研究,最后有必要將4種情形“并排”(如圖8),讓學(xué)生整體感知拋物線(xiàn)在平移過(guò)程中與定區(qū)間(-1≤x≤1)的交點(diǎn)與最值情況.

        圖8

        二、進(jìn)一步的教學(xué)思考

        1.深刻理解“含參”二次函數(shù)綜合題,追求從數(shù)、形不同角度貫通思路.

        含參二次函數(shù)綜合題比較抽象,一般都不給圖像,需要考生理解題意,構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D像進(jìn)行分析,并且需要不斷調(diào)整,有時(shí)還需要根據(jù)問(wèn)題理解構(gòu)思反例(像上面例1的第(2)問(wèn)).通常情況下,這類(lèi)考題的參考答案也不附圖像,只是抽象的符號(hào)演算、推理語(yǔ)句,如果只是看答案也較難理解,這里教師在備課時(shí),就不能滿(mǎn)足于貫通思路,而要追求從數(shù)、形的不同角度貫通思路,以便在課堂上從兩個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生理解、感受.這樣才能滿(mǎn)足不同思維風(fēng)格的學(xué)生對(duì)該題的理解和研習(xí)需求.因?yàn)?,?shù)學(xué)教師不僅是解題者,更是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生理解思路、獲得解題念頭的人,蘇格拉底“助產(chǎn)士”的教育觀(guān)點(diǎn)也在于此.

        2.引導(dǎo)學(xué)生明辨“定”與“動(dòng)”,并對(duì)應(yīng)“常量”與“變量”.

        含參二次函數(shù)綜合題的解題關(guān)鍵是明辨常量與變量,并與圖形中的定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)作好對(duì)應(yīng)理解,有時(shí)還需要與定圖形、平移的拋物線(xiàn)相對(duì)應(yīng),特別是拋物線(xiàn)在平移過(guò)程中哪些是不變的、哪些是變化的也需要辨明.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),考題1中拋物線(xiàn)y1=a(x-h)2-1雖然會(huì)“動(dòng)”,但是它的頂點(diǎn)卻一直在直線(xiàn)y=-1上,然而有些學(xué)生理解不夠深刻,沒(méi)有注意到解析式的特點(diǎn),出現(xiàn)了在平移過(guò)程中,把拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的位置發(fā)生了“偏移”,從而影響了思路獲取.再比如考題2中構(gòu)造的4種圖形,需要引導(dǎo)學(xué)生理解定區(qū)間(-1≤x≤1)與平移過(guò)程中拋物線(xiàn)的關(guān)系.

        3.講評(píng)之后安排學(xué)生認(rèn)真整理解題過(guò)程,力求數(shù)形結(jié)合、形象生動(dòng).

        講評(píng)之后,安排學(xué)生認(rèn)真整理解題過(guò)程,而不只是聽(tīng)課時(shí)的簡(jiǎn)要記錄,因?yàn)槁?tīng)懂與會(huì)做之間還有一定的距離.最近兩年,《中學(xué)數(shù)學(xué)(下)》不少習(xí)題課中都有變式再練的教學(xué)環(huán)節(jié),是很值得學(xué)習(xí)的.此外,對(duì)于較難試題,講評(píng)之后還需要學(xué)生完整地整理解題過(guò)程,并要求他們數(shù)形結(jié)合、形象生動(dòng)地整理步驟,這樣才能對(duì)問(wèn)題達(dá)到較深刻的理解.

        1.沈麗婧.聚焦微專(zhuān)題:中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2017(3).

        2.王成.同類(lèi)鏈接促進(jìn)感悟,??贾v評(píng)提升效益——以一次??碱}的鏈接講評(píng)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2017(2).

        3.王海燕.深刻理解習(xí)題結(jié)構(gòu),跟進(jìn)變式拓展追問(wèn)——以圓為背景的綜合題改編例說(shuō)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2017(1).

        4.章建躍.“題型+技巧”的危害[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2010(11).

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