☉江蘇張家港市第一中學(xué) 姚楚舒

常量變量對應(yīng)靜動，數(shù)形互動促進理解
——以兩道“含參”二次函數(shù)綜合題為例

☉江蘇張家港市第一中學(xué) 姚楚舒

含參數(shù)的二次函數(shù)綜合題是近年來不少地區(qū)中考必考題型，正逐漸取代曾經(jīng)流行一時的“偽拋物線幾何題”（以坐標(biāo)系、函數(shù)圖像為載體，本質(zhì)上是考查平面幾何構(gòu)造與證明）.本文選取兩道近期收集到的含參數(shù)的二次函數(shù)綜合題，利用數(shù)形結(jié)合解決問題，并跟進教學(xué)思考，供研討.

一、兩道含參數(shù)二次函數(shù)綜合題的思路突破

考題1：已知拋物線C：y1=a（x-h）2-1，直線l：y2=kxkh-1.

（1）求證：直線l恒過拋物線C的頂點；

（2）當(dāng)a=-1，m≤x≤2時，y1≥x-3恒成立，求m的最小值；

（3）當(dāng)0＜a≤2，k＞0時，若在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，求k的取值范圍.

思路講解：（1）拋物線C的頂點坐標(biāo)為（h，-1）.當(dāng)x=h時，y2=kh-kh-1=-1，則直線l恒過拋物線C的頂點.

（2）當(dāng)a=-1時，重新寫出拋物線C的解析式：y1=-（xh）2-1.設(shè)直線的解析式為y3=x-3，接下來畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，如圖1，拋物線C的頂點在直線y=-1上移動.

圖1

圖2

由于當(dāng)m≤x≤2時，y1≥x-3恒成立，則可確認拋物線C的頂點為（2，-1），為了突破這個難點，我們可以畫出一個反例，比如該拋物線頂點不在直線x=2上時，就會出現(xiàn)圖2的反例情形.回到圖1，設(shè)拋物線C與直線y3=x-3除頂點外的另一交點為M，此時點M的橫坐標(biāo)即為m的最小值.聯(lián)立兩個圖像的解析式得到方程組解得x1=1，x2=2，所以m的最小值為1.

另解展示：由y1≥x-3出發(fā)，把y1=-（x-h）2-1代入不等式，得到-（x-h）2-1≥x-3，整理得x2-（2h-1）x+h2-2≤0，結(jié)合條件“當(dāng)m≤x≤2時，y1≥x-3恒成立”，可把x=2代入不等式，整理得h2-4h+4≤0，從而確認h=2.于是不等式明確為x2-3x+2≤0，再把m代入該不等式也是成立的，則m2-3m+2≤0，解得1≤m≤2.所以m的最小值應(yīng)該是1.

（3）如圖3.

由（1）可知：拋物線C與直線l都過點A（h，-1）.

當(dāng)0＜a≤2，k＞0時，在直線l下方的拋物線C上至少存在兩個橫坐標(biāo)為整數(shù)的點，即當(dāng)x=h+2時，y2＞y1恒成立.

所以k（h+2）-kh-1＞a（h+2-h）2-1，整理得：k＞2a.因為0＜a≤2，所以0＜2a≤4，所以k＞4.

圖3

如圖3，A、B為拋物線C與直線l的交點，過點B作BC垂直直線y=-1于點C.

考題2：已知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=mx+n相交于兩點，其中a、b、c、m、n為實數(shù)，且a、m不為0.當(dāng)-1≤x≤1時，求拋物線y=ax2+bx+c上到x軸距離最大的點的坐標(biāo).

思路講解：先解出a的值，限于篇幅，這里簡要呈現(xiàn)思路，先確定.由點在拋物線y=ax2+bx+c上，得.整理、分解成（a-1）（m-b）2=0.所以a=1.明確拋物線解析式為，它的對稱軸為直線，最小值為.接下來進行分類討論，為了形象化描述思路，我們給出相關(guān)的草圖分析：

在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y1），則b.在x軸下方與x軸距離最大的點是（-1，y2），則由，得與x軸距離最大的點是

圖4

圖5

在x軸上方與x軸距離最大的點是（1，y1），則b.在x軸下方與x軸距離最大點的是，則，則與x軸距離最大的點是

在x軸上方與x軸距離最大的點是（-1，y1），則-b.在x軸下方與x軸距離最大的點是，則，即與x軸距離最大的點是

圖6

圖7

在x軸上方與x軸距離最大的點是（-1，y1），則|y1|=.在x軸下方與x軸距離最大的點是（1，y），則|y|=

22，即與x軸距離最大的點是

回顧反思：對4種情形分散著進行研究，最后有必要將4種情形“并排”（如圖8），讓學(xué)生整體感知拋物線在平移過程中與定區(qū)間（-1≤x≤1）的交點與最值情況.

圖8

二、進一步的教學(xué)思考

1.深刻理解“含參”二次函數(shù)綜合題，追求從數(shù)、形不同角度貫通思路.

含參二次函數(shù)綜合題比較抽象，一般都不給圖像，需要考生理解題意，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膱D像進行分析，并且需要不斷調(diào)整，有時還需要根據(jù)問題理解構(gòu)思反例（像上面例1的第（2）問）.通常情況下，這類考題的參考答案也不附圖像，只是抽象的符號演算、推理語句，如果只是看答案也較難理解，這里教師在備課時，就不能滿足于貫通思路，而要追求從數(shù)、形的不同角度貫通思路，以便在課堂上從兩個角度引導(dǎo)學(xué)生理解、感受.這樣才能滿足不同思維風(fēng)格的學(xué)生對該題的理解和研習(xí)需求.因為，數(shù)學(xué)教師不僅是解題者，更是一個促進學(xué)生理解思路、獲得解題念頭的人，蘇格拉底“助產(chǎn)士”的教育觀點也在于此.

2.引導(dǎo)學(xué)生明辨“定”與“動”，并對應(yīng)“常量”與“變量”.

含參二次函數(shù)綜合題的解題關(guān)鍵是明辨常量與變量，并與圖形中的定點、動點作好對應(yīng)理解，有時還需要與定圖形、平移的拋物線相對應(yīng)，特別是拋物線在平移過程中哪些是不變的、哪些是變化的也需要辨明.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，考題1中拋物線y1=a（x-h）2-1雖然會“動”，但是它的頂點卻一直在直線y=-1上，然而有些學(xué)生理解不夠深刻，沒有注意到解析式的特點，出現(xiàn)了在平移過程中，把拋物線頂點的位置發(fā)生了“偏移”，從而影響了思路獲取.再比如考題2中構(gòu)造的4種圖形，需要引導(dǎo)學(xué)生理解定區(qū)間（-1≤x≤1）與平移過程中拋物線的關(guān)系.

3.講評之后安排學(xué)生認真整理解題過程，力求數(shù)形結(jié)合、形象生動.

講評之后，安排學(xué)生認真整理解題過程，而不只是聽課時的簡要記錄，因為聽懂與會做之間還有一定的距離.最近兩年，《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》不少習(xí)題課中都有變式再練的教學(xué)環(huán)節(jié)，是很值得學(xué)習(xí)的.此外，對于較難試題，講評之后還需要學(xué)生完整地整理解題過程，并要求他們數(shù)形結(jié)合、形象生動地整理步驟，這樣才能對問題達到較深刻的理解.

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