☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

形散神聚“關(guān)聯(lián)題”，洞察結(jié)構(gòu)練眼力
——再談中考二輪復(fù)習(xí)

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

拙文《聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考》（詳見文1）記敘了筆者在中考復(fù)習(xí)期間對一組關(guān)聯(lián)試題的歸類整理與共性挖掘，發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》之后，不少同行紛紛點(diǎn)贊、給予鼓勵(lì)，這又促進(jìn)我深入思考這一話題，即中考二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該怎樣組織教學(xué)內(nèi)容，如何引導(dǎo)學(xué)生把同類習(xí)題梳理歸納、發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，有效提升解題能力和解題速度.本文還將從文1中的一道例題出發(fā)，同類鏈接，跟進(jìn)思考關(guān)聯(lián)試題，供研討.

一、考題與同類鏈接

題1：（2013年江蘇南通中考題，第28題）如圖1，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線相交于A（x，y）、B（x，y）

1122兩點(diǎn)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C.設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0.

（1）求b的值；

（2）求證點(diǎn)（y1，y2）在反比例函數(shù)的圖像上；

（3）求證x1·OB+y2·OA=0.

圖1

圖2

思路簡述：限于篇幅，（1）和（2）的解答略去；（3）如圖2，構(gòu)造并證出△AEO∽△OFB.可得，即.從而變形得x·OB+y·OA=0.12

結(jié)構(gòu)反思：如圖1，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y=ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，與x軸的正半軸相交于點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)C.當(dāng)a·b=1時(shí)，△AOB一定是直角三角形.

考題2：（同類鏈接題）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（-3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.

（1）求拋物線的解析式及E點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且∠BPD=∠BCA，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若過點(diǎn)E的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，連接DM、DN，判斷DM與DN的位置關(guān)系并說明理由.

圖3

圖4

思路簡述：限于篇幅，直接給出前兩問的答案，y= -x2-4x-3，E（-2，0）、P1（-2，-2）、P2（-2，2）.

（3）如圖4，受到“一線三直角”基本圖形的啟示，我們過點(diǎn)D作x軸的平行線l，分別過點(diǎn)M、N作MG⊥l，NH⊥l.設(shè)過點(diǎn)E（-2，0）的直線的解析式為y=kx+b，則-2k+b= 0，即b=2k，所以y=kx+2k.設(shè)M（m，-m2-4m-3）、N（n，-n2-4n-3），則MG=1+m2+4m+3=（m+2）2，GD=-2-m，DH=n+2， HN=1+n2+4n+3=（n+2）2.再寫出它們的比例式MG= GD.接下來的難點(diǎn)就是：這兩個(gè)比例式能否相等？關(guān)鍵就是證明下面就突破這個(gè)難點(diǎn)：

于是難點(diǎn)得到突破.結(jié)合∠G=∠H=90°，可證△MGD∽△DHN，從而證得DM⊥DN.

解后反思，結(jié)構(gòu)認(rèn)識：現(xiàn)在讓我們把問題重新梳理，我們知道平移圖形并不會改變對應(yīng)線段前后的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，所以我們可以考慮將拋物線適當(dāng)平移，使得點(diǎn)D恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E為（0，-1），這樣就可以認(rèn)識到此時(shí)拋物線的解析式為y=-x2，直線方程為y=kx-1.這是滿足我們在考題1的結(jié)構(gòu)反思中提出的規(guī)律的：當(dāng)a·b= -1×（-1）=1時(shí)，△DMN一定是直角三角形.

圖5

教學(xué)手記：在給學(xué)生講評考題2的第（3）問原解法時(shí)，不少學(xué)生對思路都能理解，但表示運(yùn)算量太大，不能順利算出結(jié)果.后來補(bǔ)充了圖5這樣的變換坐標(biāo)系的解法之后，大家都表示能理解這種解法，因?yàn)檫@樣做“回”到了考題1的思路，使得繁雜的運(yùn)算變得較為簡潔.

二、關(guān)聯(lián)試題的收集與整理

羅增儒教授在《解題學(xué)引論》一書中曾提出模式識別策略，認(rèn)為首先要積累模式，然后注意收集模型的可能變式，并在再次碰到相關(guān)模式時(shí)，能精準(zhǔn)識別、迅速確認(rèn)模式，并提取與該模式相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)問題的解決.我們在本文提及的所謂關(guān)聯(lián)試題，也是倡導(dǎo)教師在備課、上課、課后研習(xí)試題時(shí)要注意對關(guān)聯(lián)試題進(jìn)行收集和歸類整理，以便于通過長期的教學(xué)實(shí)踐，積累大量的關(guān)聯(lián)試題，從而在解題教學(xué)時(shí)能靈活選用甚至信手拈來.以下是一些相關(guān)的建議.

1.從教材例、習(xí)題出發(fā)，收集典型中考變式問題.

教材是精心打磨的教學(xué)藍(lán)本，認(rèn)真研習(xí)教材例、習(xí)題對于提高教師專業(yè)素養(yǎng)有很大的幫助.如章建躍博士所指出的當(dāng)前有些學(xué)校編制所謂的習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案，而讓教材旁落，甚至有些學(xué)校平時(shí)上課基本不使用教材，這種現(xiàn)象必須得到糾偏.一個(gè)值得開展的工作就是教師在認(rèn)真研究教材例、習(xí)題的基礎(chǔ)上，結(jié)合手頭收集到的中考題或地區(qū)經(jīng)典考題，進(jìn)行歸類存檔，把與教材例、習(xí)題高度相關(guān)的考題整理到一起，形成同類題庫，這樣有利于備課時(shí)隨時(shí)提取.

2.聚焦初中主干知識，跨不同年級收集關(guān)聯(lián)題.

在收集整理關(guān)聯(lián)試題時(shí)，要注意關(guān)注初中數(shù)學(xué)主干知識，以主干知識數(shù)軸為例，從初一到初二再到初三，可以將關(guān)聯(lián)題整理到一起，在初一數(shù)軸學(xué)習(xí)僅限于數(shù)與形的對應(yīng)，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式；到初二時(shí)與平面直角坐標(biāo)系關(guān)聯(lián)起來，兩個(gè)點(diǎn)可以拓展到直線x=a、y=b上進(jìn)行研究，對一些優(yōu)秀學(xué)生還可以提前讓他們探究任意兩點(diǎn)間距離公式.再比如，初一學(xué)習(xí)兩角互余時(shí)，可拓展到直角三角形中兩個(gè)銳角互余，到平行線性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)時(shí)，會遇到“兩直線平行，則它們的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直”這樣的命題證明，本質(zhì)上也會與兩角互余有關(guān)聯(lián)；而初二全等三角形學(xué)習(xí)之后，兩個(gè)全等的直角三角形之間常常有互余關(guān)系的探究；到初三相似三角形中一個(gè)經(jīng)典模型“射影定理”（或雙垂直三角形），進(jìn)行關(guān)聯(lián)收集，便于教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對比體會.

三、關(guān)聯(lián)試題的教學(xué)建議

1.中考二輪復(fù)習(xí)要重視針對關(guān)聯(lián)試題的專題輔導(dǎo).

從目前中考二輪復(fù)習(xí)的很多復(fù)習(xí)資料或?qū)W校公開課、研討課來看，二輪復(fù)習(xí)關(guān)注的主題仍然是所謂的題型聚焦，即開放專題輔導(dǎo)、運(yùn)動專題輔導(dǎo)、閱讀理解專題輔導(dǎo)、新定義專題輔導(dǎo)等，這樣的專題設(shè)置固然也有一定的合理性，然而根據(jù)我們的教學(xué)實(shí)踐，如果能在這些專題框架下，選題時(shí)加大關(guān)聯(lián)試題作為例題或題組的設(shè)計(jì)，則教學(xué)效益會大大提升.通過這些關(guān)聯(lián)試題集中呈現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生從形散的試題走向神聚理解，并學(xué)會洞察問題結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練眼力，以便在惜時(shí)如金的考場上，迅速識別這些試題的結(jié)構(gòu)，為貫通思路獲得寶貴的時(shí)間.

2.引導(dǎo)學(xué)生整理關(guān)聯(lián)試題，隨時(shí)豐富充實(shí)相關(guān)專題.

鄭毓信教授倡導(dǎo)的開放式教學(xué)近年來得到有關(guān)老師的實(shí)踐，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》也零散見到一些案例研究的文獻(xiàn).受到啟示，在引導(dǎo)學(xué)生整理關(guān)聯(lián)試題，或開展相關(guān)主題的關(guān)聯(lián)例、習(xí)題講評時(shí)，在課堂小結(jié)階段，應(yīng)該告知學(xué)生這個(gè)專題還沒有結(jié)束，關(guān)聯(lián)試題的講評只是開啟這一主題的一扇窗，在以后的解題學(xué)習(xí)時(shí)，再遇到同類結(jié)構(gòu)習(xí)題時(shí)，要隨時(shí)豐富充實(shí)到這個(gè)專題下，這事實(shí)上就是一種特色專題收集，也是錯(cuò)題集的有效完善.

四、寫在后面

中考復(fù)習(xí)年年進(jìn)行，歲歲年年花相似.如何上出新意，讓老歌新唱，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)期間也能培養(yǎng)創(chuàng)造性思維呢？筆者認(rèn)為，如果我們能提供足夠的關(guān)聯(lián)試題，學(xué)生就會時(shí)時(shí)感受到數(shù)學(xué)是聯(lián)系的，是一個(gè)整體，而不是孤立的，這樣對數(shù)學(xué)整體觀、系統(tǒng)觀、廣泛聯(lián)系也就能深刻理解.這是筆者針對中考二輪復(fù)習(xí)案例思考的第二篇習(xí)作，仍然是初步的，希望得到批評和指導(dǎo)，也期待更多關(guān)聯(lián)題例，豐富這個(gè)研究課題.

1.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.劉才云.源于教材高于教材，辨識特征眺望遠(yuǎn)方——對一份七上期末卷的賞析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

3.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.王成.同類鏈接促進(jìn)感悟，?？贾v評提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

5.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.