☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

形散神聚“關(guān)聯(lián)題”，洞察結(jié)構(gòu)練眼力
——再談中考二輪復(fù)習(xí)

☉江蘇蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 沈麗婧

拙文《聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實踐與思考》（詳見文1）記敘了筆者在中考復(fù)習(xí)期間對一組關(guān)聯(lián)試題的歸類整理與共性挖掘，發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》之后，不少同行紛紛點贊、給予鼓勵，這又促進我深入思考這一話題，即中考二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該怎樣組織教學(xué)內(nèi)容，如何引導(dǎo)學(xué)生把同類習(xí)題梳理歸納、發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，有效提升解題能力和解題速度.本文還將從文1中的一道例題出發(fā)，同類鏈接，跟進思考關(guān)聯(lián)試題，供研討.

一、考題與同類鏈接

題1：（2013年江蘇南通中考題，第28題）如圖1，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線相交于A（x，y）、B（x，y）

1122兩點，與x軸的正半軸相交于點D，與y軸相交于點C.設(shè)△OCD的面積為S，且kS+32=0.

（1）求b的值；

（2）求證點（y1，y2）在反比例函數(shù)的圖像上；

（3）求證x1·OB+y2·OA=0.

圖1

圖2

思路簡述：限于篇幅，（1）和（2）的解答略去；（3）如圖2，構(gòu)造并證出△AEO∽△OFB.可得，即.從而變形得x·OB+y·OA=0.12

結(jié)構(gòu)反思：如圖1，直線y=kx+b（b＞0）與拋物線y=ax2相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點，與x軸的正半軸相交于點D，與y軸相交于點C.當(dāng)a·b=1時，△AOB一定是直角三角形.

考題2：（同類鏈接題）如圖3，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A（-1，0）、B（-3，0），與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸與x軸的交點為E.

（1）求拋物線的解析式及E點的坐標；

（2）設(shè)點P是拋物線對稱軸上一點，且∠BPD=∠BCA，求點P的坐標；

（3）若過點E的直線與拋物線交于點M、N，連接DM、DN，判斷DM與DN的位置關(guān)系并說明理由.

圖3

圖4

思路簡述：限于篇幅，直接給出前兩問的答案，y= -x2-4x-3，E（-2，0）、P1（-2，-2）、P2（-2，2）.

（3）如圖4，受到“一線三直角”基本圖形的啟示，我們過點D作x軸的平行線l，分別過點M、N作MG⊥l，NH⊥l.設(shè)過點E（-2，0）的直線的解析式為y=kx+b，則-2k+b= 0，即b=2k，所以y=kx+2k.設(shè)M（m，-m2-4m-3）、N（n，-n2-4n-3），則MG=1+m2+4m+3=（m+2）2，GD=-2-m，DH=n+2， HN=1+n2+4n+3=（n+2）2.再寫出它們的比例式MG= GD.接下來的難點就是：這兩個比例式能否相等？關(guān)鍵就是證明下面就突破這個難點：

于是難點得到突破.結(jié)合∠G=∠H=90°，可證△MGD∽△DHN，從而證得DM⊥DN.

解后反思，結(jié)構(gòu)認識：現(xiàn)在讓我們把問題重新梳理，我們知道平移圖形并不會改變對應(yīng)線段前后的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，所以我們可以考慮將拋物線適當(dāng)平移，使得點D恰為坐標原點，點E為（0，-1），這樣就可以認識到此時拋物線的解析式為y=-x2，直線方程為y=kx-1.這是滿足我們在考題1的結(jié)構(gòu)反思中提出的規(guī)律的：當(dāng)a·b= -1×（-1）=1時，△DMN一定是直角三角形.

圖5

教學(xué)手記：在給學(xué)生講評考題2的第（3）問原解法時，不少學(xué)生對思路都能理解，但表示運算量太大，不能順利算出結(jié)果.后來補充了圖5這樣的變換坐標系的解法之后，大家都表示能理解這種解法，因為這樣做“回”到了考題1的思路，使得繁雜的運算變得較為簡潔.

二、關(guān)聯(lián)試題的收集與整理

羅增儒教授在《解題學(xué)引論》一書中曾提出模式識別策略，認為首先要積累模式，然后注意收集模型的可能變式，并在再次碰到相關(guān)模式時，能精準識別、迅速確認模式，并提取與該模式相關(guān)的解題經(jīng)驗實現(xiàn)問題的解決.我們在本文提及的所謂關(guān)聯(lián)試題，也是倡導(dǎo)教師在備課、上課、課后研習(xí)試題時要注意對關(guān)聯(lián)試題進行收集和歸類整理，以便于通過長期的教學(xué)實踐，積累大量的關(guān)聯(lián)試題，從而在解題教學(xué)時能靈活選用甚至信手拈來.以下是一些相關(guān)的建議.

1.從教材例、習(xí)題出發(fā)，收集典型中考變式問題.

教材是精心打磨的教學(xué)藍本，認真研習(xí)教材例、習(xí)題對于提高教師專業(yè)素養(yǎng)有很大的幫助.如章建躍博士所指出的當(dāng)前有些學(xué)校編制所謂的習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案，而讓教材旁落，甚至有些學(xué)校平時上課基本不使用教材，這種現(xiàn)象必須得到糾偏.一個值得開展的工作就是教師在認真研究教材例、習(xí)題的基礎(chǔ)上，結(jié)合手頭收集到的中考題或地區(qū)經(jīng)典考題，進行歸類存檔，把與教材例、習(xí)題高度相關(guān)的考題整理到一起，形成同類題庫，這樣有利于備課時隨時提取.

2.聚焦初中主干知識，跨不同年級收集關(guān)聯(lián)題.

在收集整理關(guān)聯(lián)試題時，要注意關(guān)注初中數(shù)學(xué)主干知識，以主干知識數(shù)軸為例，從初一到初二再到初三，可以將關(guān)聯(lián)題整理到一起，在初一數(shù)軸學(xué)習(xí)僅限于數(shù)與形的對應(yīng)，數(shù)軸上兩點間距離公式；到初二時與平面直角坐標系關(guān)聯(lián)起來，兩個點可以拓展到直線x=a、y=b上進行研究，對一些優(yōu)秀學(xué)生還可以提前讓他們探究任意兩點間距離公式.再比如，初一學(xué)習(xí)兩角互余時，可拓展到直角三角形中兩個銳角互余，到平行線性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)時，會遇到“兩直線平行，則它們的同旁內(nèi)角的平分線互相垂直”這樣的命題證明，本質(zhì)上也會與兩角互余有關(guān)聯(lián)；而初二全等三角形學(xué)習(xí)之后，兩個全等的直角三角形之間常常有互余關(guān)系的探究；到初三相似三角形中一個經(jīng)典模型“射影定理”（或雙垂直三角形），進行關(guān)聯(lián)收集，便于教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生對比體會.

三、關(guān)聯(lián)試題的教學(xué)建議

1.中考二輪復(fù)習(xí)要重視針對關(guān)聯(lián)試題的專題輔導(dǎo).

從目前中考二輪復(fù)習(xí)的很多復(fù)習(xí)資料或?qū)W校公開課、研討課來看，二輪復(fù)習(xí)關(guān)注的主題仍然是所謂的題型聚焦，即開放專題輔導(dǎo)、運動專題輔導(dǎo)、閱讀理解專題輔導(dǎo)、新定義專題輔導(dǎo)等，這樣的專題設(shè)置固然也有一定的合理性，然而根據(jù)我們的教學(xué)實踐，如果能在這些專題框架下，選題時加大關(guān)聯(lián)試題作為例題或題組的設(shè)計，則教學(xué)效益會大大提升.通過這些關(guān)聯(lián)試題集中呈現(xiàn)，促進學(xué)生從形散的試題走向神聚理解，并學(xué)會洞察問題結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練眼力，以便在惜時如金的考場上，迅速識別這些試題的結(jié)構(gòu)，為貫通思路獲得寶貴的時間.

2.引導(dǎo)學(xué)生整理關(guān)聯(lián)試題，隨時豐富充實相關(guān)專題.

鄭毓信教授倡導(dǎo)的開放式教學(xué)近年來得到有關(guān)老師的實踐，我們在《中學(xué)數(shù)學(xué)（下）》也零散見到一些案例研究的文獻.受到啟示，在引導(dǎo)學(xué)生整理關(guān)聯(lián)試題，或開展相關(guān)主題的關(guān)聯(lián)例、習(xí)題講評時，在課堂小結(jié)階段，應(yīng)該告知學(xué)生這個專題還沒有結(jié)束，關(guān)聯(lián)試題的講評只是開啟這一主題的一扇窗，在以后的解題學(xué)習(xí)時，再遇到同類結(jié)構(gòu)習(xí)題時，要隨時豐富充實到這個專題下，這事實上就是一種特色專題收集，也是錯題集的有效完善.

四、寫在后面

中考復(fù)習(xí)年年進行，歲歲年年花相似.如何上出新意，讓老歌新唱，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)期間也能培養(yǎng)創(chuàng)造性思維呢？筆者認為，如果我們能提供足夠的關(guān)聯(lián)試題，學(xué)生就會時時感受到數(shù)學(xué)是聯(lián)系的，是一個整體，而不是孤立的，這樣對數(shù)學(xué)整體觀、系統(tǒng)觀、廣泛聯(lián)系也就能深刻理解.這是筆者針對中考二輪復(fù)習(xí)案例思考的第二篇習(xí)作，仍然是初步的，希望得到批評和指導(dǎo)，也期待更多關(guān)聯(lián)題例，豐富這個研究課題.

1.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

2.劉才云.源于教材高于教材，辨識特征眺望遠方——對一份七上期末卷的賞析與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

3.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.王成.同類鏈接促進感悟，?？贾v評提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

5.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.