☉山東沂南縣教育局 李樹(shù)臣

突出核心內(nèi)容，注重實(shí)質(zhì)聯(lián)系
——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫(xiě)的原則之三

☉山東沂南縣教育局 李樹(shù)臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2011年版）》）在“教材編寫(xiě)建議”中提出了六條具體的“建議”，其中之一是“整體性”建議.這些“建議”是教材編寫(xiě)必須遵循的原則.針對(duì)這一原則，《課標(biāo)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)指出“教材編寫(xiě)應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性”.

我們?cè)诰帉?xiě)青島版數(shù)學(xué)教材時(shí)，是從以下三大方面落實(shí)“整體性”原則的.

一、整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心

《課標(biāo)（2011年版）》在“課程設(shè)計(jì)思路”中指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想.為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).”這十大核心詞是構(gòu)成課程內(nèi)容的主線，教材的編寫(xiě)應(yīng)以這些核心內(nèi)容為主線進(jìn)行設(shè)計(jì)和編排.

“推理能力”是《課標(biāo)（2011年版）》）提出的十個(gè)核心詞之一.推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展，歷來(lái)都是課程改革最為關(guān)注的焦點(diǎn)之一，當(dāng)然也是編寫(xiě)教材的重點(diǎn)和難點(diǎn).我們?cè)诰帉?xiě)青島版教材時(shí)，按照《課標(biāo)（2011年版）》提出的具體要求，即無(wú)論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”還是“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容編排，都盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類(lèi)比、猜想、證明的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的推理能力.自始至終，努力把培養(yǎng)合情推理與邏輯推理作為貫穿教材的一條主線，用以連接各冊(cè)、各章、各節(jié)的教材.

例如，在“數(shù)與代數(shù)”部分，有關(guān)運(yùn)算法則、性質(zhì)的建立，注意采用合情推理（如歸納、圖示的方法）進(jìn)行探索，對(duì)于運(yùn)用已學(xué)知識(shí)能夠采用邏輯推理的方法加以證明的（如整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)等）則給出一般性的推導(dǎo)過(guò)程.在具體計(jì)算過(guò)程中，無(wú)論是有理數(shù)和實(shí)數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的化簡(jiǎn)和變形，還是方程和方程組的解法，都把明確算理作為數(shù)學(xué)活動(dòng)和學(xué)生練習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，要求學(xué)生必須按照運(yùn)算的定義、法則、性質(zhì)和順序（這事實(shí)上是邏輯推理的法則）進(jìn)行計(jì)算.

案例1：平面幾何內(nèi)容中推理能力的設(shè)計(jì)編排分析.

平面幾何內(nèi)容歷來(lái)被認(rèn)為是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體，我們?cè)谠O(shè)計(jì)教材中“圖形與幾何”部分的內(nèi)容時(shí)，注意把合情推理和邏輯推理兩種方式相互交融，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為貫穿這部分內(nèi)容的主線之一，遵循“合情推理—演繹推理—合情推理與演繹推理相結(jié)合”的原則，采取“由淺入深”“循序漸進(jìn)”的方式展開(kāi)，從發(fā)展學(xué)生推理能力的角度看，這部分內(nèi)容可分為以下三個(gè)階段：

1.以發(fā)展合情推理為主，逐步培養(yǎng)學(xué)生的說(shuō)理能力.

這一階段主要包括6章內(nèi)容：七年級(jí)上冊(cè)第1章“基本的幾何圖形”，七年級(jí)下冊(cè)第8章“角”、第9章“平行線”、第13章“平面圖形的認(rèn)識(shí)”，八年級(jí)上冊(cè)第1章“全等三角形”、第2章“圖形的軸對(duì)稱(chēng)”.

這些內(nèi)容都具有一個(gè)基本特點(diǎn)——?jiǎng)邮謱?shí)驗(yàn)，表現(xiàn)為研究圖形的方法是以直觀觀察、測(cè)量、展開(kāi)、折疊、畫(huà)圖、度量、計(jì)算為主.

這樣設(shè)計(jì)的主要意圖：一是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力；二是為學(xué)習(xí)論證推理打好基礎(chǔ).

2.以演繹推理為主，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力.

這一階段主要指八年級(jí)上冊(cè)第5章“幾何證明初步”.教材首先引入定義、命題等概念，其次通過(guò)多個(gè)實(shí)例讓學(xué)生明確意識(shí)到，以前通過(guò)探究得到的一些結(jié)論只有通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明才能確認(rèn)其“真實(shí)性”，然后引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)探究到的結(jié)論中選取8個(gè)作為“基本事實(shí)”（《課標(biāo)（2011年版）》共給出9個(gè)基本事實(shí)，其中第9個(gè)安排在九年級(jí)上冊(cè)），利用它們對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行證明.

這樣設(shè)計(jì)的主要意圖：一是使學(xué)生掌握基本的證明方法，體會(huì)通過(guò)合情推理探索的某些結(jié)果，會(huì)用演繹推理加以證明，從而完成獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，二是逐步積累探尋分析證明思路的經(jīng)驗(yàn).

3.合情推理和論證推理相輔相成，提升學(xué)生的推理能力.

在八年級(jí)上冊(cè)第5章“幾何證明初步”之前的各章，以合情推理為主，逐步滲透邏輯推理（說(shuō)理），同時(shí)為以后正式學(xué)習(xí)幾何證明作好知識(shí)和思想方法的鋪墊.該章之后，則以合情推理和邏輯推理相輔相成的方式，利用合情推理探索命題，再通過(guò)邏輯推理證明結(jié)論，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，以不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和推理論證能力.

這一階段大致包括4章內(nèi)容：八年級(jí)下冊(cè)第6章“平行四邊形”、第11章“圖形的平移和旋轉(zhuǎn)”，九年級(jí)上冊(cè)第1章“圖形的相似”、第3章“對(duì)圓的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)”.這個(gè)階段綜合運(yùn)用合情推理和演繹推理研究圖形，采用“邊探索，邊證明”的方式學(xué)習(xí)了大量的性質(zhì)定理和判定定理.

主要設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用合情推理探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論.讓學(xué)生搞清定理的來(lái)源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過(guò)程.體現(xiàn)《課標(biāo)（2011年版）》提出的“體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過(guò)程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力與演繹推理能力”的要求.

二、注重?cái)?shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，突出內(nèi)容之間的相互關(guān)聯(lián)

《課標(biāo)（2011年版）》指出：“教材的整體設(shè)計(jì)要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián).一些數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在邏輯順序，教材編寫(xiě)應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序.一些知識(shí)之間存在著實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域.”

為了落實(shí)上述要求，讓學(xué)生“感悟”到這種順序，我們采取了兩個(gè)措施：

1.在同一內(nèi)容領(lǐng)域，按照知識(shí)出現(xiàn)的邏輯順序設(shè)計(jì)編排.

例如，教材七（上）第1章“基本的幾何圖形”是本套教材的起始章.該章所選擇的內(nèi)容重視與小學(xué)已學(xué)過(guò)的“圖形與幾何”內(nèi)容的銜接，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)體、面、線、點(diǎn)，隨后安排線段、射線和直線及線段的度量和比較兩節(jié)內(nèi)容.這種設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生從三維到二維再到一維認(rèn)識(shí)一些基本的幾何圖形，感受抽象是數(shù)學(xué)研究的重要思想，還為學(xué)生在后繼的兩章中學(xué)習(xí)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值及有理數(shù)的加法、乘法法則的建立等內(nèi)容奠定必要的基礎(chǔ).

再如，在整套教材中，關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”部分的呈現(xiàn)順序是：

有理數(shù)—代數(shù)式（函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)）—整式的加減—一元一次方程—一次方程組—整式的乘除—乘法公式—因式分解—分式—實(shí)數(shù)—不等式—二次根式—一次函數(shù)—一元二次方程—函數(shù)（二次函數(shù)、反比例函數(shù)）.

關(guān)于“圖形與幾何”部分的呈現(xiàn)順序是：

空間圖形—平面圖形—線段、射線、直線—角—平行線—平面圖形的認(rèn)識(shí)—位置與坐標(biāo)—三角形—幾何證明—四邊形—圖形平移和旋轉(zhuǎn)—相似圖形—圓—空間圖形（投影與視圖）.

2.在不同的領(lǐng)域中相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)性關(guān)聯(lián).

本套教材采用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”混編的形式，這就為我們揭示“不同領(lǐng)域知識(shí)之間存在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系”提供了較大的空間，便于突出知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系，還原數(shù)學(xué)的本來(lái)面貌，為學(xué)生獲得一個(gè)優(yōu)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)提供了方便.

案例2：設(shè)計(jì)“實(shí)數(shù)”一章的根據(jù)分析.

從《課標(biāo)（2011年版）》可知：“勾股定理”和“數(shù)的開(kāi)方”分別是“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”兩個(gè)方面的核心內(nèi)容，它們分別代表著“形”和“數(shù)”，從科學(xué)發(fā)展史來(lái)看，二者有著密切的關(guān)聯(lián)，是并存發(fā)展的.如等無(wú)理數(shù)是伴隨著勾股定理的發(fā)現(xiàn)而誕生的，我們說(shuō)無(wú)理數(shù)是保證勾股定理對(duì)于邊長(zhǎng)是任意正數(shù)的直角三角形都成立的必要條件，而勾股定理使得平方根有了明確、直觀的幾何解釋.

然而在傳統(tǒng)的教材及與《課標(biāo)（2011年版）》相配的一些教材中，二者卻被人為地割裂開(kāi)來(lái)：有的將勾股定理放到幾何中，將實(shí)數(shù)放到代數(shù)中，有的將二者各自獨(dú)立成章，這樣的設(shè)計(jì)安排既切斷了它們之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系（不符合數(shù)學(xué)事實(shí)，不能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)），又造成了數(shù)學(xué)上的不銜接（造成教學(xué)不好處理），勢(shì)必導(dǎo)致學(xué)生學(xué)到的只能是片面的、零散的、孤立的知識(shí)，難以從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)知識(shí)，不能形成優(yōu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

為避免以上問(wèn)題，我們?cè)诰帉?xiě)青島版教材時(shí)，將勾股定理和數(shù)的開(kāi)方的有關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了大膽整合，作為一章，取名為“實(shí)數(shù)”，放在八年級(jí)下冊(cè).主要內(nèi)容包括兩個(gè)方面：一是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)研究平方、立方運(yùn)算的逆運(yùn)算及由已知一邊的平方求這邊邊長(zhǎng)的需要，引入新的運(yùn)算——開(kāi)平方和開(kāi)立方運(yùn)算，以及開(kāi)方運(yùn)算產(chǎn)生的新數(shù)——無(wú)理數(shù)，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；二是在給定圖形的基礎(chǔ)上，通過(guò)探索得到勾股定理及判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法.

這種處理方式，表面上看只是解決了傳統(tǒng)教材中將二者分設(shè)后，究竟先安排勾股定理再安排實(shí)數(shù)，還是先安排實(shí)數(shù)再安排勾股定理的矛盾，徹底克服了代數(shù)與幾何分科教學(xué)所帶來(lái)的弊端；實(shí)質(zhì)上只有把二者合為一體，才能把實(shí)數(shù)（勾股定理）“還原”到其應(yīng)在的“位置”之中，才能尊重?cái)?shù)學(xué)史實(shí)，回歸到人類(lèi)發(fā)現(xiàn)勾股定理和實(shí)數(shù)的歷史，并揭示它們?cè)竟逃械倪@種相互“交融”的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和文化價(jià)值，突出數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，

本章之后將在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論一元一次不等式、二次根式、一次函數(shù).這種統(tǒng)籌安排、整體設(shè)計(jì)的方式有利于學(xué)生逐步掌握當(dāng)數(shù)域擴(kuò)充后數(shù)學(xué)研究的規(guī)律和方法，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與感受.同時(shí)，這種設(shè)計(jì)更加印證了人類(lèi)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)是在生產(chǎn)、生活和數(shù)學(xué)自身矛盾的發(fā)展過(guò)程中不斷加深和完善的事實(shí).

再如，在采取分科教學(xué)時(shí)，“比和比例”過(guò)去一直安排在幾何“相似形”一章中，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)比和比例在“代數(shù)”教材中用處不多，僅在學(xué)習(xí)比例線段時(shí)發(fā)揮較大作用.而今，隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用要求的加強(qiáng)，“比和比例”在數(shù)與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)中都被廣泛應(yīng)用.因此，在編寫(xiě)“分式”一章時(shí)，我們把比看作特殊的分式，順?biāo)浦墼黾恿恕氨群捅壤币还?jié)，從而能夠揭示這部分知識(shí)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).

三、重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想遵循螺旋式上升的編排方案

《課標(biāo)（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握的”“教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想方法時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級(jí)推進(jìn)、螺旋上升的原則”.對(duì)于數(shù)學(xué)中一些重要內(nèi)容、思想和方法的認(rèn)識(shí)、理解和應(yīng)用，需要學(xué)生用較長(zhǎng)的時(shí)間，經(jīng)過(guò)反復(fù)的學(xué)習(xí)才能做到.這樣的知識(shí)在教材中應(yīng)分多次呈現(xiàn).例如，函數(shù)概念的形成與發(fā)展就體現(xiàn)了這樣的“螺旋上升”的過(guò)程.

案例3：函數(shù)的整體設(shè)計(jì)安排掃描.

函數(shù)是刻畫(huà)變量與變量之間依賴(lài)關(guān)系的模型，是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是中學(xué)教材中一個(gè)重要的核心內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一.在《課標(biāo)（2011年版）》規(guī)定的第三學(xué)段，關(guān)于函數(shù)的主要內(nèi)容包括：常量與變量的意義，函數(shù)的圖像，一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法，及建立函數(shù)模型解答有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題等.

其總體教學(xué)要求是：能結(jié)合具體的問(wèn)題情境確定函數(shù)關(guān)系，了解函數(shù)的概念和三種表示方法，會(huì)求函數(shù)解析式，會(huì)畫(huà)函數(shù)的圖像，在根據(jù)圖像解答有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的作用，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境建立函數(shù)模型并進(jìn)行解答.

我們充分借鑒國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究的成果，遵循學(xué)生的心理特征，在函數(shù)模塊的課程設(shè)計(jì)中，采取了“提前滲透、分層推進(jìn)、及時(shí)穿插、不斷深化”的安排方式，其整體呈現(xiàn)順序如圖1所示：

圖1

具體說(shuō)來(lái)，青島版教材對(duì)于函數(shù)內(nèi)容的處理分為以下三個(gè)階段：

1.初步感受階段（七（上）第5章）.

這一階段的主要任務(wù)是：通過(guò)一些具體實(shí)例，讓學(xué)生感受數(shù)量的變化過(guò)程及變化過(guò)程中變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，探索其中的變化規(guī)律及基本性質(zhì)，嘗試根據(jù)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測(cè)，獲得對(duì)函數(shù)的感性認(rèn)識(shí).

在七（上）第5章“代數(shù)式與函數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了求代數(shù)式的值以后，通過(guò)一些具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生由兩個(gè)量的具體數(shù)量之間的關(guān)系，感受當(dāng)代數(shù)式中字母的取值發(fā)生變化時(shí)這個(gè)代數(shù)式的值也相應(yīng)發(fā)生變化.由此探索、發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量之間的一般關(guān)系，并將其中的一個(gè)量y用含有另一個(gè)量x的代數(shù)式表示，從而概括出變量、常量的意義.在學(xué)生思考含有兩個(gè)量的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)表示實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的方法有四種：（1）文字語(yǔ)言敘述；（2）列表；（3）代數(shù)式；（4）圖像.這為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示方法埋下伏筆.

教材為降低學(xué)習(xí)難度，對(duì)函數(shù)概念是分兩次提出的.在學(xué)生有了上述認(rèn)識(shí)后，教材對(duì)函數(shù)給出了初步的、淺顯的描述：

在同一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對(duì)于變量x的每一個(gè)確定的值，都能隨之確定一個(gè)y值，我們就把y叫作x的函數(shù).其中x叫作自變量，如果自變量x取a時(shí)，y的值是b，就把b叫作當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值.

結(jié)合代數(shù)式的學(xué)習(xí)，引出變量與函數(shù)的概念，由代數(shù)式的值引出函數(shù)值的概念，實(shí)現(xiàn)了代數(shù)式與函數(shù)知識(shí)的有機(jī)整合.這樣安排不僅使學(xué)生得以較早地用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并且體現(xiàn)了代數(shù)與數(shù)學(xué)分析兩個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系.為下面將要學(xué)習(xí)的一次方程與一次函數(shù)的整合提供了必要的前提.

2.理解與應(yīng)用階段（八（下）第10章）.

本階段的主要任務(wù)是：在第一階段感性認(rèn)識(shí)函數(shù)的基礎(chǔ)上，歸納概括出圖像法的定義，并研究具體的函數(shù)及其性質(zhì)，了解研究函數(shù)的基本方法，積累研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，了解一次函數(shù)與二元一次方程之間的聯(lián)系，利用一次函數(shù)的圖像解二元一次方程組，研究一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系，借助函數(shù)的知識(shí)和方法解決問(wèn)題等，使得學(xué)生能夠在操作層面上認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)，從整體上理解數(shù)學(xué).

主要內(nèi)容是函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的概念、圖像及其性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組及一元一次不等式的關(guān)系，一次函數(shù)的應(yīng)用.在呈現(xiàn)課程內(nèi)容時(shí)突出數(shù)形結(jié)合思想的作用.函數(shù)圖像的作用有二：一是通過(guò)函數(shù)的自變量的值和函數(shù)值與直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)建立聯(lián)系，用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的位置刻畫(huà)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)點(diǎn)的位置的變化反映函數(shù)的某些特征；二是所有這些點(diǎn)的全體就構(gòu)成了這個(gè)函數(shù)的圖像.

教材的這種設(shè)計(jì)能充分體現(xiàn)“變化與對(duì)應(yīng)”的思想，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的函數(shù)圖像結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的眼光，以函數(shù)為工具，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面動(dòng)態(tài)地分析問(wèn)題，從而全面地認(rèn)識(shí)函數(shù)，幫助學(xué)生理解“數(shù)與代數(shù)”中核心內(nèi)容間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，感悟轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)之間的整體性的感悟.為下階段學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)及一般性地了解函數(shù)的概念打下基礎(chǔ).

3.深化學(xué)習(xí)階段（九（上）第2章及九（下）第5章）.

本階段的主要任務(wù)是：理解對(duì)應(yīng)與函數(shù)思想，深化對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和應(yīng)用，使得學(xué)生能夠一般性地了解函數(shù)的概念.教材是分兩次完成這個(gè)任務(wù)的：

第一次，認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì).函數(shù)的本質(zhì)是“對(duì)應(yīng)”，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，教材在九（上）2.1“銳角三角比”中學(xué)習(xí)三角比（三角函數(shù)）時(shí)，抓住正弦進(jìn)行了深刻的剖析：正弦涉及比的定義、角的大小、點(diǎn)的坐標(biāo)、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識(shí).正弦的值本質(zhì)上是一個(gè)“比”，這個(gè)“比”就是“函數(shù)”，∠α是自變量，這個(gè)“比”之所以叫作∠α的函數(shù)，就是因?yàn)閷?duì)∠α的每一個(gè)確定的值，都有一個(gè)確定的比與之相對(duì)應(yīng).有了這樣的一些認(rèn)識(shí)，學(xué)生對(duì)正弦的理解就比較容易了，同時(shí)對(duì)函數(shù)的本質(zhì)也有了深刻的認(rèn)識(shí).

第二次，從本質(zhì)上把握函數(shù)概念.教材九（下）第5章“對(duì)函數(shù)的再探索”主要研究了函數(shù)的概念及三種表示法、反比例函數(shù)、二次函數(shù).

教材首先在分析用圖像法、列表法及解析式中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系實(shí)例的基礎(chǔ)上，第二次給出函數(shù)的定義：

在同一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于變量x，在可以取值的范圍內(nèi)每取一個(gè)確定的值，變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù).

相比第一次給出的定義，這里突出了兩點(diǎn)：一是自變量“可以取值的范圍（定義域）”；二是對(duì)應(yīng)關(guān)系.從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)得到深化.函數(shù)的這個(gè)定義比七（上）給出的定義更加靠近函數(shù)的近代定義，使學(xué)生真正理解“函數(shù)概念是建立在兩個(gè)變量的依存關(guān)系之上”的.為加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步獲取用初等方法研究函數(shù)的體驗(yàn)，教材以電費(fèi)的收取為例介紹了“分段函數(shù)”的知識(shí)，這樣有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野，豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)函數(shù)的理解.

在給出函數(shù)的概念之后，教材用較長(zhǎng)的（約15課時(shí)）篇幅借助于學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)依次研究了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)，以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，最后用四個(gè)實(shí)例介紹了二次函數(shù)的應(yīng)用.

各種函數(shù)解析式的求法與圖像的應(yīng)用使得學(xué)生完成了初中階段對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)任務(wù)，為高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下了必要的基礎(chǔ).

1.李樹(shù)臣.中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容選取的原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2010（3）.

2.李樹(shù)臣.注重整體設(shè)計(jì)，突出實(shí)質(zhì)聯(lián)系——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第七章“實(shí)數(shù)”簡(jiǎn)介［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（1/2）.

3.李樹(shù)臣，高耿海.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設(shè)計(jì)教學(xué)策略——以青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》對(duì)“函數(shù)”的設(shè)計(jì)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

4.李樹(shù)臣.重視圖形幾何教學(xué)，提高學(xué)生推理能力——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》中的幾何內(nèi)容分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（6）.

5.李樹(shù)臣.重視實(shí)驗(yàn)幾何教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力——青島版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第一章“全等三角形”簡(jiǎn)介［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.

6.李樹(shù)臣.加強(qiáng)數(shù)學(xué)論證教學(xué)，提高學(xué)生推理能力——青島版《數(shù)學(xué)》八上第5章“幾何證明初步”簡(jiǎn)介［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（9）.

7.李樹(shù)臣.突出數(shù)學(xué)思想主線，優(yōu)化教材知識(shí)結(jié)構(gòu)——青島版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫(xiě)的原則之一［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

8.李樹(shù)臣.精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生自主發(fā)展——青島版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)（七～九）編寫(xiě)的原則之二［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

9.中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

10.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.