☉山東沂南縣教育局 李樹臣

突出核心內(nèi)容，注重實質(zhì)聯(lián)系
——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫的原則之三

☉山東沂南縣教育局 李樹臣

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）在“教材編寫建議”中提出了六條具體的“建議”，其中之一是“整體性”建議.這些“建議”是教材編寫必須遵循的原則.針對這一原則，《課標（2011年版）》強調(diào)指出“教材編寫應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的整體性”.

我們在編寫青島版數(shù)學(xué)教材時，是從以下三大方面落實“整體性”原則的.

一、整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心

《課標（2011年版）》在“課程設(shè)計思路”中指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想.為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.”這十大核心詞是構(gòu)成課程內(nèi)容的主線，教材的編寫應(yīng)以這些核心內(nèi)容為主線進行設(shè)計和編排.

“推理能力”是《課標（2011年版）》）提出的十個核心詞之一.推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展，歷來都是課程改革最為關(guān)注的焦點之一，當(dāng)然也是編寫教材的重點和難點.我們在編寫青島版教材時，按照《課標（2011年版）》提出的具體要求，即無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”還是“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容編排，都盡可能地為學(xué)生提供觀察、操作、歸納、類比、猜想、證明的機會，發(fā)展學(xué)生的推理能力.自始至終，努力把培養(yǎng)合情推理與邏輯推理作為貫穿教材的一條主線，用以連接各冊、各章、各節(jié)的教材.

例如，在“數(shù)與代數(shù)”部分，有關(guān)運算法則、性質(zhì)的建立，注意采用合情推理（如歸納、圖示的方法）進行探索，對于運用已學(xué)知識能夠采用邏輯推理的方法加以證明的（如整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)等）則給出一般性的推導(dǎo)過程.在具體計算過程中，無論是有理數(shù)和實數(shù)的運算、代數(shù)式的化簡和變形，還是方程和方程組的解法，都把明確算理作為數(shù)學(xué)活動和學(xué)生練習(xí)過程中的一個重要環(huán)節(jié)，要求學(xué)生必須按照運算的定義、法則、性質(zhì)和順序（這事實上是邏輯推理的法則）進行計算.

案例1：平面幾何內(nèi)容中推理能力的設(shè)計編排分析.

平面幾何內(nèi)容歷來被認為是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要載體，我們在設(shè)計教材中“圖形與幾何”部分的內(nèi)容時，注意把合情推理和邏輯推理兩種方式相互交融，以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力作為貫穿這部分內(nèi)容的主線之一，遵循“合情推理—演繹推理—合情推理與演繹推理相結(jié)合”的原則，采取“由淺入深”“循序漸進”的方式展開，從發(fā)展學(xué)生推理能力的角度看，這部分內(nèi)容可分為以下三個階段：

1.以發(fā)展合情推理為主，逐步培養(yǎng)學(xué)生的說理能力.

這一階段主要包括6章內(nèi)容：七年級上冊第1章“基本的幾何圖形”，七年級下冊第8章“角”、第9章“平行線”、第13章“平面圖形的認識”，八年級上冊第1章“全等三角形”、第2章“圖形的軸對稱”.

這些內(nèi)容都具有一個基本特點——動手實驗，表現(xiàn)為研究圖形的方法是以直觀觀察、測量、展開、折疊、畫圖、度量、計算為主.

這樣設(shè)計的主要意圖：一是培養(yǎng)學(xué)生的各種數(shù)學(xué)能力；二是為學(xué)習(xí)論證推理打好基礎(chǔ).

2.以演繹推理為主，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力.

這一階段主要指八年級上冊第5章“幾何證明初步”.教材首先引入定義、命題等概念，其次通過多個實例讓學(xué)生明確意識到，以前通過探究得到的一些結(jié)論只有通過嚴格的數(shù)學(xué)證明才能確認其“真實性”，然后引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)探究到的結(jié)論中選取8個作為“基本事實”（《課標（2011年版）》共給出9個基本事實，其中第9個安排在九年級上冊），利用它們對某些結(jié)論進行證明.

這樣設(shè)計的主要意圖：一是使學(xué)生掌握基本的證明方法，體會通過合情推理探索的某些結(jié)果，會用演繹推理加以證明，從而完成獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，二是逐步積累探尋分析證明思路的經(jīng)驗.

3.合情推理和論證推理相輔相成，提升學(xué)生的推理能力.

在八年級上冊第5章“幾何證明初步”之前的各章，以合情推理為主，逐步滲透邏輯推理（說理），同時為以后正式學(xué)習(xí)幾何證明作好知識和思想方法的鋪墊.該章之后，則以合情推理和邏輯推理相輔相成的方式，利用合情推理探索命題，再通過邏輯推理證明結(jié)論，使學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，以不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力和推理論證能力.

這一階段大致包括4章內(nèi)容：八年級下冊第6章“平行四邊形”、第11章“圖形的平移和旋轉(zhuǎn)”，九年級上冊第1章“圖形的相似”、第3章“對圓的進一步認識”.這個階段綜合運用合情推理和演繹推理研究圖形，采用“邊探索，邊證明”的方式學(xué)習(xí)了大量的性質(zhì)定理和判定定理.

主要設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生用合情推理探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理證明結(jié)論.讓學(xué)生搞清定理的來源，分清它們的條件和結(jié)論，弄清抽象、概括或證明的過程.體現(xiàn)《課標（2011年版）》提出的“體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展合情推理能力與演繹推理能力”的要求.

二、注重數(shù)學(xué)實質(zhì)，突出內(nèi)容之間的相互關(guān)聯(lián)

《課標（2011年版）》指出：“教材的整體設(shè)計要呈現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián).一些數(shù)學(xué)知識之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學(xué)生感悟這種順序.一些知識之間存在著實質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域.”

為了落實上述要求，讓學(xué)生“感悟”到這種順序，我們采取了兩個措施：

1.在同一內(nèi)容領(lǐng)域，按照知識出現(xiàn)的邏輯順序設(shè)計編排.

例如，教材七（上）第1章“基本的幾何圖形”是本套教材的起始章.該章所選擇的內(nèi)容重視與小學(xué)已學(xué)過的“圖形與幾何”內(nèi)容的銜接，讓學(xué)生認識體、面、線、點，隨后安排線段、射線和直線及線段的度量和比較兩節(jié)內(nèi)容.這種設(shè)計不僅讓學(xué)生從三維到二維再到一維認識一些基本的幾何圖形，感受抽象是數(shù)學(xué)研究的重要思想，還為學(xué)生在后繼的兩章中學(xué)習(xí)數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值及有理數(shù)的加法、乘法法則的建立等內(nèi)容奠定必要的基礎(chǔ).

再如，在整套教材中，關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”部分的呈現(xiàn)順序是：

有理數(shù)—代數(shù)式（函數(shù)的初步認識）—整式的加減—一元一次方程—一次方程組—整式的乘除—乘法公式—因式分解—分式—實數(shù)—不等式—二次根式—一次函數(shù)—一元二次方程—函數(shù)（二次函數(shù)、反比例函數(shù)）.

關(guān)于“圖形與幾何”部分的呈現(xiàn)順序是：

空間圖形—平面圖形—線段、射線、直線—角—平行線—平面圖形的認識—位置與坐標—三角形—幾何證明—四邊形—圖形平移和旋轉(zhuǎn)—相似圖形—圓—空間圖形（投影與視圖）.

2.在不同的領(lǐng)域中相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，要注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì)性關(guān)聯(lián).

本套教材采用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”混編的形式，這就為我們揭示“不同領(lǐng)域知識之間存在的實質(zhì)性聯(lián)系”提供了較大的空間，便于突出知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，還原數(shù)學(xué)的本來面貌，為學(xué)生獲得一個優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)提供了方便.

案例2：設(shè)計“實數(shù)”一章的根據(jù)分析.

從《課標（2011年版）》可知：“勾股定理”和“數(shù)的開方”分別是“圖形與幾何”和“數(shù)與代數(shù)”兩個方面的核心內(nèi)容，它們分別代表著“形”和“數(shù)”，從科學(xué)發(fā)展史來看，二者有著密切的關(guān)聯(lián)，是并存發(fā)展的.如等無理數(shù)是伴隨著勾股定理的發(fā)現(xiàn)而誕生的，我們說無理數(shù)是保證勾股定理對于邊長是任意正數(shù)的直角三角形都成立的必要條件，而勾股定理使得平方根有了明確、直觀的幾何解釋.

然而在傳統(tǒng)的教材及與《課標（2011年版）》相配的一些教材中，二者卻被人為地割裂開來：有的將勾股定理放到幾何中，將實數(shù)放到代數(shù)中，有的將二者各自獨立成章，這樣的設(shè)計安排既切斷了它們之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系（不符合數(shù)學(xué)事實，不能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì)），又造成了數(shù)學(xué)上的不銜接（造成教學(xué)不好處理），勢必導(dǎo)致學(xué)生學(xué)到的只能是片面的、零散的、孤立的知識，難以從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)知識，不能形成優(yōu)化的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

為避免以上問題，我們在編寫青島版教材時，將勾股定理和數(shù)的開方的有關(guān)內(nèi)容進行了大膽整合，作為一章，取名為“實數(shù)”，放在八年級下冊.主要內(nèi)容包括兩個方面：一是在有理數(shù)的基礎(chǔ)上，通過研究平方、立方運算的逆運算及由已知一邊的平方求這邊邊長的需要，引入新的運算——開平方和開立方運算，以及開方運算產(chǎn)生的新數(shù)——無理數(shù)，將數(shù)的范圍擴充到實數(shù)；二是在給定圖形的基礎(chǔ)上，通過探索得到勾股定理及判定一個三角形是直角三角形的方法.

這種處理方式，表面上看只是解決了傳統(tǒng)教材中將二者分設(shè)后，究竟先安排勾股定理再安排實數(shù)，還是先安排實數(shù)再安排勾股定理的矛盾，徹底克服了代數(shù)與幾何分科教學(xué)所帶來的弊端；實質(zhì)上只有把二者合為一體，才能把實數(shù)（勾股定理）“還原”到其應(yīng)在的“位置”之中，才能尊重數(shù)學(xué)史實，回歸到人類發(fā)現(xiàn)勾股定理和實數(shù)的歷史，并揭示它們原本固有的這種相互“交融”的實質(zhì)性聯(lián)系，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和文化價值，突出數(shù)形結(jié)合思想的價值，

本章之后將在實數(shù)范圍內(nèi)討論一元一次不等式、二次根式、一次函數(shù).這種統(tǒng)籌安排、整體設(shè)計的方式有利于學(xué)生逐步掌握當(dāng)數(shù)域擴充后數(shù)學(xué)研究的規(guī)律和方法，加深了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與感受.同時，這種設(shè)計更加印證了人類對數(shù)的認識是在生產(chǎn)、生活和數(shù)學(xué)自身矛盾的發(fā)展過程中不斷加深和完善的事實.

再如，在采取分科教學(xué)時，“比和比例”過去一直安排在幾何“相似形”一章中，這是因為當(dāng)時比和比例在“代數(shù)”教材中用處不多，僅在學(xué)習(xí)比例線段時發(fā)揮較大作用.而今，隨著數(shù)學(xué)應(yīng)用要求的加強，“比和比例”在數(shù)與代數(shù)、概率與統(tǒng)計中都被廣泛應(yīng)用.因此，在編寫“分式”一章時，我們把比看作特殊的分式，順水推舟增加了“比和比例”一節(jié)，從而能夠揭示這部分知識的數(shù)學(xué)實質(zhì).

三、重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想遵循螺旋式上升的編排方案

《課標（2011年版）》指出“數(shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的”“教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級推進、螺旋上升的原則”.對于數(shù)學(xué)中一些重要內(nèi)容、思想和方法的認識、理解和應(yīng)用，需要學(xué)生用較長的時間，經(jīng)過反復(fù)的學(xué)習(xí)才能做到.這樣的知識在教材中應(yīng)分多次呈現(xiàn).例如，函數(shù)概念的形成與發(fā)展就體現(xiàn)了這樣的“螺旋上升”的過程.

案例3：函數(shù)的整體設(shè)計安排掃描.

函數(shù)是刻畫變量與變量之間依賴關(guān)系的模型，是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是中學(xué)教材中一個重要的核心內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一.在《課標（2011年版）》規(guī)定的第三學(xué)段，關(guān)于函數(shù)的主要內(nèi)容包括：常量與變量的意義，函數(shù)的圖像，一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的求法，及建立函數(shù)模型解答有關(guān)的實際問題等.

其總體教學(xué)要求是：能結(jié)合具體的問題情境確定函數(shù)關(guān)系，了解函數(shù)的概念和三種表示方法，會求函數(shù)解析式，會畫函數(shù)的圖像，在根據(jù)圖像解答有關(guān)問題的過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合思想的作用，能根據(jù)實際問題情境建立函數(shù)模型并進行解答.

我們充分借鑒國內(nèi)外相關(guān)研究的成果，遵循學(xué)生的心理特征，在函數(shù)模塊的課程設(shè)計中，采取了“提前滲透、分層推進、及時穿插、不斷深化”的安排方式，其整體呈現(xiàn)順序如圖1所示：

圖1

具體說來，青島版教材對于函數(shù)內(nèi)容的處理分為以下三個階段：

1.初步感受階段（七（上）第5章）.

這一階段的主要任務(wù)是：通過一些具體實例，讓學(xué)生感受數(shù)量的變化過程及變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，探索其中的變化規(guī)律及基本性質(zhì)，嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測，獲得對函數(shù)的感性認識.

在七（上）第5章“代數(shù)式與函數(shù)的初步認識”中，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了求代數(shù)式的值以后，通過一些具體實例，引導(dǎo)學(xué)生由兩個量的具體數(shù)量之間的關(guān)系，感受當(dāng)代數(shù)式中字母的取值發(fā)生變化時這個代數(shù)式的值也相應(yīng)發(fā)生變化.由此探索、發(fā)現(xiàn)兩個量之間的一般關(guān)系，并將其中的一個量y用含有另一個量x的代數(shù)式表示，從而概括出變量、常量的意義.在學(xué)生思考含有兩個量的實際問題的過程中，發(fā)現(xiàn)表示實際問題中兩個量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的方法有四種：（1）文字語言敘述；（2）列表；（3）代數(shù)式；（4）圖像.這為后面學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表示方法埋下伏筆.

教材為降低學(xué)習(xí)難度，對函數(shù)概念是分兩次提出的.在學(xué)生有了上述認識后，教材對函數(shù)給出了初步的、淺顯的描述：

在同一個變化過程中，有兩個變量x和y，如果對于變量x的每一個確定的值，都能隨之確定一個y值，我們就把y叫作x的函數(shù).其中x叫作自變量，如果自變量x取a時，y的值是b，就把b叫作當(dāng)x=a時的函數(shù)值.

結(jié)合代數(shù)式的學(xué)習(xí)，引出變量與函數(shù)的概念，由代數(shù)式的值引出函數(shù)值的概念，實現(xiàn)了代數(shù)式與函數(shù)知識的有機整合.這樣安排不僅使學(xué)生得以較早地用函數(shù)的觀點認識數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并且體現(xiàn)了代數(shù)與數(shù)學(xué)分析兩個領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系.為下面將要學(xué)習(xí)的一次方程與一次函數(shù)的整合提供了必要的前提.

2.理解與應(yīng)用階段（八（下）第10章）.

本階段的主要任務(wù)是：在第一階段感性認識函數(shù)的基礎(chǔ)上，歸納概括出圖像法的定義，并研究具體的函數(shù)及其性質(zhì)，了解研究函數(shù)的基本方法，積累研究函數(shù)的經(jīng)驗，了解一次函數(shù)與二元一次方程之間的聯(lián)系，利用一次函數(shù)的圖像解二元一次方程組，研究一次函數(shù)與一元一次不等式之間的聯(lián)系，借助函數(shù)的知識和方法解決問題等，使得學(xué)生能夠在操作層面上認識和理解函數(shù)，從整體上理解數(shù)學(xué).

主要內(nèi)容是函數(shù)的圖像，一次函數(shù)的概念、圖像及其性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組及一元一次不等式的關(guān)系，一次函數(shù)的應(yīng)用.在呈現(xiàn)課程內(nèi)容時突出數(shù)形結(jié)合思想的作用.函數(shù)圖像的作用有二：一是通過函數(shù)的自變量的值和函數(shù)值與直角坐標系內(nèi)的點建立聯(lián)系，用坐標平面內(nèi)的點的位置刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，通過點的位置的變化反映函數(shù)的某些特征；二是所有這些點的全體就構(gòu)成了這個函數(shù)的圖像.

教材的這種設(shè)計能充分體現(xiàn)“變化與對應(yīng)”的思想，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的函數(shù)圖像結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的眼光，以函數(shù)為工具，從“數(shù)”與“形”兩個方面動態(tài)地分析問題，從而全面地認識函數(shù)，幫助學(xué)生理解“數(shù)與代數(shù)”中核心內(nèi)容間的實質(zhì)性聯(lián)系，感悟轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)實質(zhì)的理解和對數(shù)學(xué)各部分知識之間的整體性的感悟.為下階段學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)及一般性地了解函數(shù)的概念打下基礎(chǔ).

3.深化學(xué)習(xí)階段（九（上）第2章及九（下）第5章）.

本階段的主要任務(wù)是：理解對應(yīng)與函數(shù)思想，深化對函數(shù)知識的理解和應(yīng)用，使得學(xué)生能夠一般性地了解函數(shù)的概念.教材是分兩次完成這個任務(wù)的：

第一次，認識函數(shù)的本質(zhì).函數(shù)的本質(zhì)是“對應(yīng)”，為了讓學(xué)生認識到這一點，教材在九（上）2.1“銳角三角比”中學(xué)習(xí)三角比（三角函數(shù)）時，抓住正弦進行了深刻的剖析：正弦涉及比的定義、角的大小、點的坐標、距離公式、相似三角形、函數(shù)概念等知識.正弦的值本質(zhì)上是一個“比”，這個“比”就是“函數(shù)”，∠α是自變量，這個“比”之所以叫作∠α的函數(shù)，就是因為對∠α的每一個確定的值，都有一個確定的比與之相對應(yīng).有了這樣的一些認識，學(xué)生對正弦的理解就比較容易了，同時對函數(shù)的本質(zhì)也有了深刻的認識.

第二次，從本質(zhì)上把握函數(shù)概念.教材九（下）第5章“對函數(shù)的再探索”主要研究了函數(shù)的概念及三種表示法、反比例函數(shù)、二次函數(shù).

教材首先在分析用圖像法、列表法及解析式中兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系實例的基礎(chǔ)上，第二次給出函數(shù)的定義：

在同一個變化過程中，有兩個變量x、y，如果對于變量x，在可以取值的范圍內(nèi)每取一個確定的值，變量y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù).

相比第一次給出的定義，這里突出了兩點：一是自變量“可以取值的范圍（定義域）”；二是對應(yīng)關(guān)系.從而使學(xué)生對函數(shù)概念的認識得到深化.函數(shù)的這個定義比七（上）給出的定義更加靠近函數(shù)的近代定義，使學(xué)生真正理解“函數(shù)概念是建立在兩個變量的依存關(guān)系之上”的.為加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的認識，進一步獲取用初等方法研究函數(shù)的體驗，教材以電費的收取為例介紹了“分段函數(shù)”的知識，這樣有利于開闊學(xué)生的視野，豐富對函數(shù)的認識，加深對函數(shù)的理解.

在給出函數(shù)的概念之后，教材用較長的（約15課時）篇幅借助于學(xué)習(xí)一次函數(shù)的經(jīng)驗依次研究了反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)，以及二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，最后用四個實例介紹了二次函數(shù)的應(yīng)用.

各種函數(shù)解析式的求法與圖像的應(yīng)用使得學(xué)生完成了初中階段對函數(shù)的學(xué)習(xí)任務(wù)，為高中階段繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)打下了必要的基礎(chǔ).

1.李樹臣.中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容選取的原則［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2010（3）.

2.李樹臣.注重整體設(shè)計，突出實質(zhì)聯(lián)系——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》八年級下冊第七章“實數(shù)”簡介［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（1/2）.

3.李樹臣，高耿海.整體把握函數(shù)內(nèi)容，宏觀設(shè)計教學(xué)策略——以青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》對“函數(shù)”的設(shè)計為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）.

4.李樹臣.重視圖形幾何教學(xué)，提高學(xué)生推理能力——青島版《義務(wù)教育教材·數(shù)學(xué)》中的幾何內(nèi)容分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2015（6）.

5.李樹臣.重視實驗幾何教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力——青島版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)》八年級上冊第一章“全等三角形”簡介［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（9）.

6.李樹臣.加強數(shù)學(xué)論證教學(xué)，提高學(xué)生推理能力——青島版《數(shù)學(xué)》八上第5章“幾何證明初步”簡介［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016（9）.

7.李樹臣.突出數(shù)學(xué)思想主線，優(yōu)化教材知識結(jié)構(gòu)——青島版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（七～九）編寫的原則之一［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

8.李樹臣.精心設(shè)計數(shù)學(xué)活動，促進學(xué)生自主發(fā)展——青島版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)（七～九）編寫的原則之二［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

9.中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

10.史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.