朱陵鳳，李 超，韓春好，劉 利，陳劉成

(北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

多項式模型在導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究

朱陵鳳，李 超，韓春好，劉 利，陳劉成

(北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京 100094)

為了解決導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報精度隨時間不斷衰減問題，提出了基于多項式的衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型優(yōu)化方法。該方法通過優(yōu)化預(yù)報采用的數(shù)據(jù)資料長度和多項式模型階次，實現(xiàn)了高精度的衛(wèi)星鐘差短/中/長期預(yù)報。為驗證該方法的可行性和有效性，利用實測的COMPASS導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行鐘差預(yù)報精度分析。結(jié)果表明，當多項式模型滿足資料長度和模型階次的最佳配置時，可有效解決導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報精度隨時間不斷衰減的問題。

北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)；衛(wèi)星鐘差預(yù)報；多項式模型；模型階次；資料長度

0 引言

區(qū)域?qū)Ш较到y(tǒng)地面段部分采用區(qū)域監(jiān)測網(wǎng)，非地球同步軌道的導(dǎo)航衛(wèi)星一旦運行到所有區(qū)域監(jiān)測網(wǎng)點都監(jiān)測不到的弧段內(nèi)，其星載原子鐘與系統(tǒng)時間之間的同步只能由衛(wèi)星鐘自己維持，因此，必須對該導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差進行預(yù)報[1]。

近年來，部分學者將灰色系統(tǒng)、Kalman濾波器、ARIMA模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、泛函網(wǎng)絡(luò)、小波變換和線性組合模型等用于導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報，取得了一些進展?；疑到y(tǒng)只需少量的原始數(shù)據(jù)就可通過生成變換來建立灰色模型，大大提高了建模速度和計算速度[2]。然而，模型預(yù)報精度受少量數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響很大。文獻[3]討論了原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)處理和模型優(yōu)化方法，給出了一種通過參數(shù)優(yōu)化模型的方法，一定程度上提高了灰色模型用于衛(wèi)星鐘差預(yù)報的精度。GPS運用Kalman濾波模型推求原子鐘的運行參數(shù)，文獻[4]為了保證Kalman濾波模型的性能，利用小波分析對觀測序列進行降噪，剔除粗差的同時，減弱了函數(shù)模型和隨機模型誤差對濾波參數(shù)的影響，有效提高了Kalman濾波求解精度。文獻[5-6]在對原始鐘差數(shù)據(jù)進行二次差分使之成為平穩(wěn)的時間序列后，建立了衛(wèi)星鐘差的ARIMA預(yù)報模型，得到了理想的衛(wèi)星鐘差預(yù)報結(jié)果。文獻[7-8]考慮到RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有曲線擬合平滑度好、學習訓練速度快、收斂速度快和殘差波動小的優(yōu)點，將RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報，取得了良好的預(yù)報效果。文獻[9-10]利用多項式模型進行原子鐘趨勢項的提取，再利用泛函網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)剩余殘差部分的周期性和隨機性預(yù)測，提高導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報精度。文獻[11]通過小波變換把鐘差時間序列分解成具有不同頻率特征的分量，然后根據(jù)各分量的特點構(gòu)建不同的最小二乘支持向量機模型進行預(yù)報，最后將各分量的預(yù)報結(jié)果進行疊加得到最終的鐘差預(yù)報值，預(yù)報效果優(yōu)于單一的最小二乘支持向量機模型。文獻[12]對灰色模型與二次多項式模型進行了線性組合，在保證預(yù)報結(jié)果可靠性的基礎(chǔ)上，提高了結(jié)果的穩(wěn)定性和準確性。

鑒于星載原子鐘物理特性[13]與多項式模型的吻合性，2階多項式模型在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)鐘差預(yù)報中，仍然具有不可替代的優(yōu)勢作用，然而，隨著預(yù)報時間的增長，2階多項式模型累積預(yù)報誤差不斷增加，不能滿足實際應(yīng)用中的精度要求。

本文提出了基于多項式的衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型優(yōu)化方法，通過合理設(shè)置預(yù)報資料長度和多項式模型階次，實現(xiàn)高精度的導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報。實測數(shù)據(jù)表明，只要預(yù)報資料長度與模型階次達到最佳的適應(yīng)狀態(tài)，導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差短/中/長期預(yù)報精度均能實現(xiàn)大幅提高。

1 多項式通用模型

(1)

式中，a0,a1,…,am為擬合系數(shù)；m為多項式階次；ei為模型誤差。

式(1)可表示為矩陣形式[14]：

X=Ha+e。

(2)

(3)

(4)

2 模型階次的選取

原子鐘的變化包括系統(tǒng)性變化和隨機性變化兩部分，系統(tǒng)變化部分可用一個確定性函數(shù)模型來描述，而隨機變化部分是一個隨機量，只能從統(tǒng)計意義上來分析。

理想條件下，原子鐘系統(tǒng)性變化部分主要包括時間偏差、頻率偏差和線性頻漂3部分。當原子鐘的線性頻漂不明顯時，一般用1階多項式模型擬合時差和頻差，并進行鐘差預(yù)報；當原子鐘受頻率老化率影響較大時，存在明顯的頻率漂移，用1階多項式模型擬合預(yù)報不能取得好的效果，此種情況下，若預(yù)報時間不是很長時，可以認為其頻率漂移是一常量，用2階多項式模型[16]估計時差、頻差和線性漂移這3個參數(shù)，再進行鐘差擬合預(yù)報，通常情況下預(yù)報精度不會太低；若預(yù)報時間較長時，頻率漂移并不是常量，傳統(tǒng)的2階多項式模型不能高精度地實現(xiàn)鐘差擬合預(yù)報[17]。

對于在軌運行的原子鐘而言，不僅受到自身生命周期內(nèi)頻率老化的影響，而且受到復(fù)雜多變的太空環(huán)境的影響，二者的共同影響必然導(dǎo)致其隨機性變化規(guī)律很難預(yù)測。若考慮更高階次的多項式模型，與真值更好地逼近效果能夠達到原子鐘系統(tǒng)性變化和隨機性變化兼顧的高精度擬合效果，但是，太高階次的多項式模型在預(yù)報過程中會出現(xiàn)發(fā)散的“龍格”現(xiàn)象[18]，導(dǎo)致預(yù)報精度衰減快。因此，本文選取了1階、2階、3階、4階和5階共5種多項式模型階次，進行衛(wèi)星鐘差擬合預(yù)報。

3 實測數(shù)據(jù)試驗分析

采用COMPASS系統(tǒng)GEO-01衛(wèi)星星載銣原子鐘2016年1月8～13日、GEO-03衛(wèi)星星載銣原子鐘2016年2月10～15日、GEO-04衛(wèi)星星載銣原子鐘2016年3月24～29日共3組連續(xù)6天的實測衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)進行多項式模型優(yōu)化試驗。采用72種不同資料長度(1/2/3/4/…/71/72h)模式下的5種不同階次(1/2/3/4/5)多項式預(yù)報模型，取第4天0點為預(yù)報起始點，以1h為滑動窗口，分別進行1h、2h、12h、24h和72h的鐘差預(yù)報，采用連續(xù)多組的均方根誤差RMS(RootMeanSquareError)來衡量不同資料長度不同模型的預(yù)報精度，其公式為：

(5)

表1 導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差最優(yōu)預(yù)報模型與預(yù)報精度統(tǒng)計表

圖1 衛(wèi)星鐘差1 h預(yù)報結(jié)果及局部放大

圖2 衛(wèi)星鐘差2 h預(yù)報結(jié)果及局部放大

圖3 衛(wèi)星鐘差12 h預(yù)報結(jié)果及局部放大

圖4 衛(wèi)星鐘差24 h預(yù)報結(jié)果及局部放大

由圖表可知：① 短期(1 h、2 h)預(yù)報選取1 h、2 h資料長度采用1階多項式模型預(yù)報精度最高，1 h預(yù)報精度優(yōu)于0.3 ns，2 h預(yù)報精度優(yōu)于0.5 ns，但是隨著資料長度的增長，1階多項式模型預(yù)報精度衰減很快；若采用2階、3階、4階和5階多項式模型預(yù)報，預(yù)報精度隨資料長度變化不大，72種不同資料長度的預(yù)報精度均可達2.5 ns。② 中長期(12 h、24 h和72 h)預(yù)報選取合適長度的資料采用2階、3階、4階和5階多項式模型預(yù)報精度可達最高，12 h預(yù)報精度優(yōu)于2 ns，24 h預(yù)報精度優(yōu)于2.5 ns，72 h預(yù)報精度優(yōu)于3 ns；不同星載鐘的最優(yōu)模型差異較大，2階和3階多項式模型居多；③ 短中長期預(yù)報過程中，1階多項式模型隨資料長度的增加衰減很快，2階和3階多項式模型預(yù)報結(jié)果基本一致且穩(wěn)定性高，4階和5階多項式模型預(yù)報結(jié)果基本一致，偶爾可達最優(yōu)模型精度，但是穩(wěn)定性稍差。

圖5 衛(wèi)星鐘差72 h預(yù)報結(jié)果及局部放大

4 結(jié)束語

本文通過優(yōu)化多項式模型階次和資料長度，使二者達到最佳適應(yīng)狀態(tài)，實現(xiàn)了多項式模型預(yù)報導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差的最高精度，成功解決了預(yù)報誤差隨預(yù)報時長迅速增大的問題。COMPASS導(dǎo)航衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)驗證結(jié)果表明：1階多項式模型適用于1 h、2 h的短期鐘差預(yù)報，但是資料長度不宜太長；2階和3階多項式模型選取合適的資料長度可以滿足高精度中長期預(yù)報；4階和5階多項式模型穩(wěn)定性較差，不考慮用作鐘差預(yù)報。因此，唯有合理配置預(yù)報資料長度和模型階次，多項式模型在導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報中才會呈現(xiàn)更好的應(yīng)用價值。

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Application of Polynomial Model in Satellite Clock Error Prediction

ZHU Ling-feng,LI Chao,HAN Chun-hao,LIU Li,CHEN Liu-cheng

(BeijingSatelliteNavigationCenter,Beijing100094,China)

In order to improve satellite clock error prediction precision,an optimum method based on polynomial model is proposed in this paper.By adjusting the amount of satellite clock data and the rank of polynomial model,different length predicting precision of satellite clock error are improved.To validate the feasibility and effectiveness of this method,this paper analyzes the predicting precision of satellite clock error through the statistics of COMPASS satellite clock error.The analysis shows the satellite clock error prediction precision can be improved,when the amount of satellite clock data and the rank of polynomial model are all optimized.

COMPASS;satellite clock error prediction;polynomial model;model rank;data length

10.3969/j.issn.1003-3106.2017.07.12

朱陵鳳,李超,韓春好,等.多項式模型在導(dǎo)航衛(wèi)星鐘差預(yù)報中的應(yīng)用研究[J].無線電工程,2017,47(7):51-54.[ZHU Lingfeng,LI Chao,HAN Chunhao,et al.Application of Polynomial Model in Satellite Clock Error Prediction[J].Radio Engineering,2017,47(7):51-54.]

2017-01-10

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(“863”計劃)基金資助項目(2014AA123102)。

P228.9

A

1003-3106(2017)07-0051-04

朱陵鳳 女，(1983—)，碩士，工程師。主要研究方向：衛(wèi)星導(dǎo)航與無線電時間比對技術(shù)。

李 超 男，(1981—)，碩士，工程師。主要研究方向：衛(wèi)星導(dǎo)航用戶終端算法研究。