江蘇興化市周莊中心小學(xué) 陸紅梅

透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)
——如何解決數(shù)學(xué)中典型問(wèn)題的變式

江蘇興化市周莊中心小學(xué) 陸紅梅

小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多經(jīng)典題型，如“工程問(wèn)題”“追及問(wèn)題”“相遇問(wèn)題”“雞兔同籠問(wèn)題”等，這些典型問(wèn)題不僅能考查學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，也能檢測(cè)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的靈活度和變通能力，所以在各級(jí)各類試卷中出現(xiàn)的頻率非常高。非但如此，此類題目總是以不同的“面貌”出現(xiàn)，雖然無(wú)非是“換湯不換藥”“新瓶裝舊酒”，但是，經(jīng)過(guò)一定的“易容術(shù)”后，極具迷惑性。因此，如何讓學(xué)生多長(zhǎng)個(gè)“心眼”，迅速辨識(shí)其本質(zhì)，顯得十分重要。

經(jīng)典題型 變式 本質(zhì) 規(guī)律 辨識(shí)

一次期末測(cè)驗(yàn)，有這樣一道題：

結(jié)果，學(xué)生中大部分對(duì)工程問(wèn)題很精通的“老司機(jī)”也栽在這道題目上，錯(cuò)誤率高達(dá)60%。細(xì)細(xì)捋一下這些錯(cuò)誤，兩種犯錯(cuò)情況占主流：

其實(shí)，這是一道難度系數(shù)不高的工程問(wèn)題，主要考查工作時(shí)間、工作效率、工作任務(wù)量三者之間的數(shù)量關(guān)系。只有搞清每一步所求的問(wèn)題與條件之間的關(guān)系，才能選擇正確的數(shù)量關(guān)系解答。

一、卸下“偽裝”條件，恰當(dāng)取舍信息

此題中“偽裝”的條件有：將甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)單獨(dú)打通隧道所需時(shí)間數(shù)由常態(tài)下的“整數(shù)”改為分子是“1”的“分?jǐn)?shù)”，然后把習(xí)慣性的“完工”改為“完成一半”。

卸下這些“偽裝”，我們?nèi)匀豢梢酝高^(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，死死抓住“工作任務(wù)÷工作效率=工作時(shí)間”這個(gè)“母公式”以及由此衍生出的一些“子公式”——“工作總?cè)蝿?wù)÷單干工作效率=單干工作時(shí)間；工作總?cè)蝿?wù)÷合作工作效率=合作工作時(shí)間；部分工作任務(wù)÷工作效率=部分工作時(shí)間”等求出正確解答。

仍然把抽象的工作總量設(shè)為單位“1”，先分別求出甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)施工時(shí)的工作效率，也即是甲、乙兩隊(duì)一天能完成的作業(yè)量，然后將兩隊(duì)工作效率進(jìn)行數(shù)據(jù)疊加，即可得出合作時(shí)的工作效率，最后求出還有一半隧道沒有打通時(shí)所用的時(shí)間。正確算式為

二、破解表象，認(rèn)識(shí)問(wèn)題本源

這類經(jīng)典問(wèn)題（工程問(wèn)題）的教學(xué)，常規(guī)方法是通過(guò)對(duì)課本上一些具有代表性的簡(jiǎn)單例題的分析，歸納出一個(gè)解題模式，形成初步印象，積累一些不成熟的經(jīng)驗(yàn)。然后學(xué)生依照模式解題，來(lái)應(yīng)對(duì)一切“工程問(wèn)題”，致使學(xué)生把非本質(zhì)的特征誤認(rèn)為本質(zhì)特征，甚至根本抓不住本質(zhì)屬性，無(wú)所適從。這次抽檢中，不少學(xué)生就把題目中提供的工作時(shí)間誤解為工作效率，將重要數(shù)據(jù)張冠李戴、顛三倒四，引發(fā)思維混亂。工作時(shí)間這個(gè)關(guān)鍵數(shù)量，在經(jīng)驗(yàn)題型的表述中，通常為整數(shù)“m”，然后除工作總量“1”得“”。如果在我們的日常教學(xué)中能向?qū)W生提供足夠多的變式題型，進(jìn)行充分的變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到多種變式的可能，就可以有效促使學(xué)生掌握本質(zhì)屬性。

仍以本題為例：甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)單獨(dú)打通隧道所需時(shí)間，可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)和小數(shù)，甚至可以是帶分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)。這樣可以讓學(xué)生明確工作效率中的m、n可以是不同的數(shù)據(jù)。解題時(shí)，欲求甲、乙兩隊(duì)的工作效率則必須將1分別除以m、n。大多數(shù)變式題與原型題大體一樣，只是題目中的個(gè)別條件發(fā)生了形式上的改變。關(guān)鍵時(shí)刻，我們一定要心細(xì)如塵，明察秋毫，看清每一句提示，可以做上記號(hào)，通過(guò)觀察、對(duì)比、分析、推理、綜合，審清題目給的條件和要求。

三、審視答案，發(fā)現(xiàn)可疑線索

解答完畢后，要養(yǎng)成認(rèn)真檢查的好習(xí)慣，確保解答的完整性和正確性。

檢查絕不是簡(jiǎn)單地復(fù)核答案，查驗(yàn)演算是否正確，步驟是否到位，對(duì)于變式題型，檢查更重要的是意味著，要從數(shù)據(jù)、事理、算理、常識(shí)等幾個(gè)方面來(lái)仔細(xì)核查答案的合理性。同時(shí)，也能從小培養(yǎng)學(xué)生的自主架構(gòu)能力。

因此，筆者認(rèn)為在以后的教學(xué)中，這些問(wèn)題應(yīng)該引起我們的足夠重視，如果能夠從以上三個(gè)方面指導(dǎo)教學(xué)，就可以收到預(yù)期的效果。教師要隨時(shí)觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)向，找準(zhǔn)不良癥狀，及時(shí)把脈問(wèn)診，特別是在面對(duì)經(jīng)典題型的變式問(wèn)題時(shí)，更應(yīng)該未雨綢繆，在遇到變式前，多提供變式訓(xùn)練，增強(qiáng)“免疫力”，打好“預(yù)防針”。