趙明華，何瑋茜，劉 猛

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

基于圓孔擴張理論的碎石樁承載力計算方法

趙明華，何瑋茜，劉 猛

(湖南大學(xué)巖土工程研究所，湖南 長沙 410082)

本文深入研究碎石樁復(fù)合地基的受力變形機理，利用摩爾庫倫彈塑性材料的剪脹特性，同時引入應(yīng)力跌落三折線模型，視筋箍碎石樁承受上部荷載時的徑向鼓脹為圓孔擴張，將產(chǎn)生變形的樁周土體分為彈性區(qū)和塑性區(qū)兩部分，運用Vesic圓孔擴張理論分別建立了彈性區(qū)和塑性區(qū)樁周土體的應(yīng)力場和位移場表達式，進而利用樁體影響半徑處土壓力為靜止土壓力的假設(shè)，求出了樁周土對碎石樁的徑向圍限力，再結(jié)合被動土壓力公式導(dǎo)得了碎石樁的單樁承載力計算式。為驗證該方法的可行性，本文結(jié)合實際工程數(shù)據(jù)對所推導(dǎo)的承載力計算式進行了驗證分析，結(jié)果表明計算值與實測值吻合。

碎石樁；圓孔擴張理論；單樁承載力

隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展，建設(shè)用地的需求量不斷增加，規(guī)劃用地時軟弱土地基處理成為一個不可回避的問題。在現(xiàn)有的軟土地基處理方式中，碎石樁復(fù)合地基在取材方便、造價低廉且施工簡單的基礎(chǔ)上仍然保持了良好的處置效果，因而在各類軟土工程中得到了大量的應(yīng)用，碎石樁承載力的計算方法也成為大家關(guān)注的重點。

目前計算碎石樁承載力的方法主要有經(jīng)驗類比法、荷載試驗法和理論計算法等。蔣歡等[1]詳細介紹了振沖碎石樁的設(shè)計、施工和檢測方法，簡要提及了復(fù)合地基承載力特征值計算式；王劍平等[2]通過對比試驗，得到了估算振沖碎石樁單樁承載力的經(jīng)驗公式，但該法建立在大量工程試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，在實際使用中不具普適性；Brauns等[3]基于極限平衡理論提出了碎石樁承載力計算公式；趙明華等[4]在該基礎(chǔ)上綜合考慮筋材及土體圍限力，推導(dǎo)出筋箍碎石樁極限承載力計算式；Ranjan等[5]基于被動土壓力理論提出了碎石樁承載力計算方法，該法結(jié)合Vesic圓孔擴張理論后，能較好地考慮樁與土的相互作用，由此得到了散體材料樁承載力的被動土壓力計算法；趙明華等[6～7]在此方面做了深入研究，提出了不同布樁形式下的極限承載力計算試。然而大量數(shù)據(jù)表明，實際工程中碎石樁復(fù)合地基的失效主要由碎石樁體的鼓脹破壞導(dǎo)致，且鼓脹區(qū)呈現(xiàn)兩頭小中間大的紡錘形，該區(qū)域徑向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比并非定值[8]，在此假設(shè)下得到的承載力計算值勢必存在偏差。曹文貴等[9]也認為碎石樁體徑向鼓脹具有不可忽視的特征，需要充分考慮鼓脹對樁體受力變形的影響。鑒于此，碎石樁承載力計算方法還有待進一步探討。在與其他幾類方法進行對比分析后，結(jié)合Vesic圓孔擴張理論的被動土壓力計算法在完善后具有更好的應(yīng)用前景，本文即以此為基點進行分析。

用被動土壓力理論求解碎石樁承載力時， 解算出碎石樁體極限擴孔壓力或樁體所受極限圍限力均能求出樁體承載力。而作為散體材料，碎石樁的極限擴孔壓力難以求解，故本文從樁周土體出發(fā)，利用相互作用力相等原理，通過求解土體極限圍限力來間接求解樁體極限擴孔壓力，即利用Vesic圓孔擴張理論，將樁體鼓脹破壞視為碎石樁復(fù)合地基失效的主要控制條件，取鼓脹位移最大處土體所提供的圍限力為極限值，將該值代入被動土壓力公式，即可計算出碎石樁體的極限承載力。

1 圓孔擴張計算模型

1.1 基本假定

如圖1所示，以單樁有效加固范圍的復(fù)合地基為分析對象，為了便于后續(xù)計算，需做出如下假定：

(1)樁周土體可視為均勻、各向同性的彈塑性材料，且服從Mohr-coulomb強度準(zhǔn)則；

(2)筋箍碎石樁的鼓脹變形視為平面應(yīng)變問題；

(3)分析單元之間互不影響。

圖1 分析單元示意圖Fig.1 Schematic diagram analysis unit

1.2 鼓脹區(qū)狀態(tài)分析

K.Dems和Z.Morz[10]認為彈塑性材料的變形符合三折線模型，如圖2所示，彈塑性材料受壓時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可用應(yīng)力跌落模型表示：在OA階段，材料處于承受壓應(yīng)力的初始階段，主要發(fā)生彈性變形，其應(yīng)變隨著應(yīng)力的增加而呈線性增加；在AB階段，材料所能承受的壓應(yīng)力達到峰值而發(fā)生應(yīng)變軟化，由彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)并開始產(chǎn)生塑性變形，材料所能承受的壓應(yīng)力反而變?。辉贐C階段，材料完全進入塑性狀態(tài)，無法繼續(xù)承受更大的壓力，且其應(yīng)變在殘余應(yīng)力作用下不斷增長。

圖2 應(yīng)力跌落模型Fig.2 Stress-dropping model

基于上述分析，當(dāng)碎石樁承受上部荷載而發(fā)生鼓脹時，在擴孔壓力的初步作用下，樁周土體處于OA階段，樁周筒形區(qū)域的土體主要發(fā)生彈性變形，其應(yīng)變隨擴孔壓力的增長呈線性增長；當(dāng)擴孔壓力增長到一定界限后樁周土體發(fā)生應(yīng)變軟化，進入AB階段，開始產(chǎn)生塑性變形，此時塑性區(qū)域較小且外圍土體依然保持彈性狀態(tài)；隨著樁頂荷載的持續(xù)施加，樁周土體進入BC階段，其塑性區(qū)半徑不斷發(fā)展，緊貼樁身的土體甚至發(fā)生塑性流動，最終達到極限，無法繼續(xù)給樁體提供足夠的側(cè)向約束，樁體發(fā)生鼓脹破壞。此時樁周土體可分為如圖3所示的3個區(qū)域：(1)塑性區(qū)：Ru≤r≤Rp的區(qū)域；(2)彈性區(qū)：Rp≤r≤Re的區(qū)域；(3)原土應(yīng)力區(qū)：Re≤r≤R∞的區(qū)域。

圖3 圓孔擴張理論計算模式示意圖Fig.3 Diagram showing the expansion theory calculation mode

可見，當(dāng)樁周土體處于從彈性狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄誀顟B(tài)的節(jié)點時，所提供給樁體的側(cè)向土壓力即為土體極限圍限力，此時取應(yīng)力跌落模型曲線中的峰值，根據(jù)Mohr-Coulomb屈服理論有：

(1)

式中：σr——土體徑向應(yīng)力；σθ——土體環(huán)向應(yīng)力；Cr——土體殘余抗剪強度；φr——土體殘余內(nèi)摩擦角。

此處認為土體殘余抗剪強度Cr的值與初始抗剪強度C相等，土體殘余內(nèi)摩擦角φr的值與初始內(nèi)摩擦角φ相等。

1.3 土體應(yīng)力、應(yīng)變分析

在運用Vesic圓孔擴張理論進行求解時，碎石樁徑向鼓脹可當(dāng)作一個平面應(yīng)變下的軸對稱問題來處理，假設(shè)最大鼓脹位移發(fā)生在深度z處，并取一個在該深度處的土體單元進行分析，如圖4所示。

圖4 單元體應(yīng)力分析Fig.4 Stress analysis

由圖4中所示受力平衡可知，該單元的平衡微分方程為：

(2)

式中：r——樁中心到土體單元的距離。

而在彈性力學(xué)平面應(yīng)變問題中，其本構(gòu)方程為：

(3)

式中：εr——土體徑向應(yīng)變；εθ——土體環(huán)向應(yīng)變；ν——土體泊松比；E——土體彈性模量。

幾何方程則為：

(4)

式中：ur——土體徑向位移。

在本文中以受壓為正，在此方程組基礎(chǔ)上可對樁周土體應(yīng)力、應(yīng)變情況進行劃區(qū)域分析，而對樁體鼓脹產(chǎn)生影響的主要是樁周土體的塑性區(qū)和彈性區(qū)，因而只需分別取出彈性區(qū)和塑性區(qū)的土體單元來求解樁周土體的應(yīng)力場和位移場。

1.3.1 彈性區(qū)(Rp≤r≤Re的區(qū)域)

當(dāng)樁周土體尚呈現(xiàn)彈性狀態(tài)時，可將其近似為內(nèi)半徑為R0而外半徑無限大的圓筒，該圓筒只受到均布內(nèi)壓力Pr的作用，因此根據(jù)拉梅解答可得彈性區(qū)的土體應(yīng)力場表達式為：

(5)

式中：Pr——樁體擴孔壓力。

結(jié)合式(3)和式(4)，積分可得位移場表達式為：

(6)

式中：R0——樁體初始半徑。

1.3.2 塑性區(qū)(Ru≤r≤Rp的區(qū)域)

根據(jù)三折線模型，當(dāng)擴孔壓力逐漸增大，到超過土體的峰值應(yīng)力時，樁周土體開始出現(xiàn)塑性區(qū)，此時可根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則對平衡微分方程(2)進行積分，從而導(dǎo)出塑性區(qū)應(yīng)力場表達式為：

(7)

式中：σru——土體極限圍限力； Ru——樁體極限擴孔半徑。

根據(jù)式(6)，可得塑性區(qū)位移場表達式為：

(8)

式中：C——土體抗剪強度； φ——土體內(nèi)摩擦角。

2 單樁極限承載力計算

2.1 極限擴孔壓力求解

根據(jù)上文推導(dǎo)可知，求解樁周土體所能提供的極限圍限力關(guān)鍵在于求解極限擴孔半徑。蔣明鏡等[11]、龔曉南[12]等運用圓孔擴張理論解決柱形孔擴張問題時，討論的是柱形孔從無到有的成樁過程，相對而言，初始孔半徑二階值為可約去的高階小量，據(jù)此推導(dǎo)出塑性區(qū)半徑與擴孔半徑之比(Rp/Ru)為一定值來求解。然而在實際工程中，碎石樁采用沉管成樁，初始孔不是極小孔，其二階值并非可忽略不計的高階小量。鑒于此，本文合理假定樁周土體在影響半徑r=Re處的土壓力為靜止土壓力，同時結(jié)合彈性力學(xué)中的拉梅公式，便可較好地解決該問題：

(9)

利用拉梅公式可先求解出彈塑性交界區(qū)半徑Rp，并進一步解算出碎石樁極限擴孔半徑Ru。

首先結(jié)合式(9)，可得到半徑Rp為：

(10)

再根據(jù)Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則有：

(11)

與此同時，碎石樁樁周土體體積公式有：

(12)

式中：urp——彈塑性交界區(qū)徑向位移；Δ——三折線模型峰值處所對應(yīng)的土體體積應(yīng)變。

因此可以求得極限擴孔半徑Ru的表達式為：

(13)

(14)

2.2 單樁承載力計算

被動土壓力Ppf的一般表達式為：

(15)

式中：Ppf——樁體被動土壓力；Kp——碎石樁被動土壓力系數(shù)。

(16)

式中：φp——碎石樁內(nèi)摩擦角。

將極限擴孔壓力表達式(14)代入式(15)中即可解出碎石樁單樁承載力Ppf為：

(17)

3 工程實例驗證

實例1[13]：株洲河西某商住樓采用碎石樁加固，樁徑dp為800 mm，樁長l為7.5 m，樁中心距s為1.5 m，梅花形布樁(de=1.05s)。由試驗測得：土體的黏聚力Cs為44.5 kPa，內(nèi)摩擦角φs為7.5°，彈性模量Es為6.26 MPa，天然重度γ為17 kN/m3；碎石料的黏聚力Cp為8.2 kPa，內(nèi)摩擦角φp為43°，彈性模量Ep為25.8 MPa；單樁承載力為687 kPa。

實例2[13]：某4層辦公樓采用碎石樁加固，置換率m為0.224，樁長l為8.0 m，樁中心距s為1.5 m，正方形滿堂布樁(de=1.13s)。由試驗測得：土體的黏聚力Cs為31.7 kPa，內(nèi)摩擦角φs為15°，彈性模量Es為5.1 MPa，天然重度γ為18.5 kN/m3；碎石料的黏聚力Cp為8.2 kPa，內(nèi)摩擦角φp為43°，彈性模量Ep為25.8 MPa；單樁承載力為658 kPa。

大量試驗數(shù)據(jù)表明，碎石樁在(1～3)dp深度范圍內(nèi)鼓脹量最大，因此取該深度范圍內(nèi)的幾個平面進行分析，將各參數(shù)值代入本文所得計算式進行計算，結(jié)果如表1所示。

表1 單樁承載力計算值與實測值對比Table 1 Comparison of the calculated and measured values of the bearing capacity of a single stone column

趙明華等[14]的室內(nèi)模型試驗實測值表明，碎石樁最大鼓脹量通常發(fā)生在1.5dp附近，從表1 可以看出，將各實例的參數(shù)值代入本文所推導(dǎo)出的承載力計算式進行計算時，1.5dp深度處所得的承載力計算值與實測值均吻合較好，從一定程度上證明了本文方法的合理性，對后續(xù)計算碎石樁復(fù)合地基具有一定的借鑒意義。

4 結(jié)論

(1)本文引入應(yīng)力跌落三折線模型，創(chuàng)新性假設(shè)樁體影響半徑處土壓力為靜止土壓力，運用Vesic圓孔擴張理論求出了樁周土對碎石樁的徑向圍限力后，結(jié)合被動土壓力公式導(dǎo)得了碎石樁的單樁承載力計算式。

(2)工程實例驗證表明，相較1dp和2dp深度處，假設(shè)1.5dp深度處為碎石樁最大鼓脹量發(fā)生點進行求解，所得單樁承載力計算值較為接近工程實測值。

(3)本文尚需依據(jù)工程和試驗經(jīng)驗取樁體1.5dp深度處為最大鼓脹點，具有一定的局限性。在考慮荷載傳遞的基礎(chǔ)上，找到求解樁體最大鼓脹點的方法，從而更準(zhǔn)確地計算樁體承載力，是后續(xù)研究中值得探討的課題。

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責(zé)任編輯：張明霞

Calculation method for the bearing capacity of stone columnsbased on the cavity expansion theory

ZHAO Minghua, HE Weixi, LIU Meng

(InstituteofGeotechnicalEngineering,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

In this article, the deformation mechanism of gravel pile composite foundation is thoroughly examined. The dilatancy of Mohr-Coulomb elastic-plastic materials and the three-fold line model are adopted to optimize this research. The radial bulging of the physique gravel pile which bears the upper loads is taken as the hole expansion. The elastic and plastic zones are divided into two parts and the stress field along with displacement field of the soil around the piles in the elastic and plastic zones is respectively established by suing the Vesic circular expansion theory. The influence of the earth pressure is assumed as the static earth pressure and the calculation formula of the bearing capacity of the single pile of gravel pile is obtained by combining the formula of passive earth pressure. In order to verify the feasibility of this method, this paper is combined with the actual engineering data on the derived bearing capacity calculation and good agreement is found between the results obtained with the proposed data. The results show that the calculated values are in good agreement with the measured values, indicating that the proposed method is reasonable.

stone columns; cavity expansion theory; ultimate bearing capacity of a single column

2016-09-30;

2016-11-24

國家自然科學(xué)基金項目資助(51478178； 51508180)

趙明華(1956-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事樁基礎(chǔ)和軟土地基處理等研究。E-mail: mhzhaohd@21cn.com

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.03.09

TU473.1+1

A

1000-3665(2017)03-0055-06