王旭升，董巖巖

(中國地質(zhì)大學(北京)水資源與環(huán)境學院, 北京 100083)

論“單位涌水量就是導水系數(shù)”成立的特殊條件

王旭升，董巖巖

(中國地質(zhì)大學(北京)水資源與環(huán)境學院, 北京 100083)

針對截取側向徑流的抽水井，蘭太權提出一個解釋單位涌水量的公式，認為“單位涌水量就是導水系數(shù)”(q=T)，并以砂箱試驗的結果作為證據(jù)。然而，這個等式的推導過程缺少嚴謹?shù)乃畡恿W基礎。砂箱試驗的邊界條件等價于含有1個或2個定水頭邊界的矩形承壓含水層，單井抽水的穩(wěn)定流場可以用鏡像井點疊加法求解，從理論上表明單位涌水量與導水系數(shù)成正比，而比例系數(shù)取決于含水層的形狀和抽水井的半徑。在特定條件下，含水層和抽水井的尺寸可以造成單位涌水量與導水系數(shù)相等的情況，蘭太權發(fā)表于文獻中的2組砂箱試驗恰好符合這種條件，但并不能證明q=T具有普適性。新的砂箱試驗避免了幾何尺寸的這種特殊組合，得到了顯著偏離q=T的結果。

抽水試驗；單位涌水量；地下水動力學；導水系數(shù)

單井涌水量是目前水文地質(zhì)勘探的基本成果，用于編制水文地質(zhì)圖，作為含水層“富水性”的一個指標。單井涌水量與抽水井水位降深的比值，又被稱為單位涌水量，可用于粗略評估允許降深條件下的可開采量。由于抽水井的流量-水位關系涉及到比較復雜的井孔-含水層水動力學機理，對于單位涌水量如何取決于含水層的滲透系數(shù)和補給條件這個問題，尚無普遍適用而又簡單的公式可以說明?，F(xiàn)有關于單位涌水量的解釋，多基于影響半徑理想模型，適用范圍很窄，對一些水文地質(zhì)工作者產(chǎn)生了誤導。

最近，蘭太權[1]撰文認為傳統(tǒng)徑向穩(wěn)定流理論對井孔抽水的動力學解釋不合理，并重申他以往提出的“單位涌水量就是導水系數(shù)”這一觀點。早在2004年，蘭太權等[2]就發(fā)表文章討論單位涌水量與含水層滲透系數(shù)的關系，介紹了1998年和1999年完成的2個砂箱試驗，發(fā)現(xiàn)單位涌水量與含水層厚度的比值等于滲透系數(shù)。2007年，蘭太權[3]仍然以該砂箱試驗為證據(jù)，直接提出了“單位涌水量就是導水系數(shù)”的觀點。

蘭太權先生的論述有一個核心思想，即認為抽水井的動力學模型應該考慮普遍存在的天然側向徑流，而穩(wěn)定狀態(tài)的抽水流量等于抽水井截取的某個范圍的徑流量。通過引入“補給半徑”及其定量假設[1, 3]，蘭先生得到一個公式：

(1)

式中：q——抽水井的單位涌水量/(m2·d-1)；Qw——抽水井的流量/(m3·d-1)；sw——降深/m；T——導水系數(shù)/(m2·d-1)；K——含水層的滲透系數(shù)/(m·d-1)；M——含水層的厚度/m。

蘭先生勇于提出問題挑戰(zhàn)傳統(tǒng)理論、主動進行試驗探究的精神是值得稱贊的。然而，式(1)并不具有普適意義，盡管蘭先生自己做的砂箱試驗似乎證明公式是正確的。這一點可以用已有的地下水動力學理論進行辨析。

本文的目的，是對蘭先生提出的問題做出符合地下水動力學基本原理的解釋，評論q=T成立的特殊條件，特別指出為什么某些砂箱試驗似乎證明q=T是對的。井孔抽水的動力學理論已經(jīng)是水文地質(zhì)領域很成熟的基礎科學，但是由于歷史的原因，不少像蘭先生這樣的水文地質(zhì)工作者仍然糾結于單井涌水量、單位涌水量這些概念與含水層參數(shù)的關系。實際上，從地下水動力學的角度來看，單位涌水量具有多解性[4]。筆者希望借助于對這個問題的評論，引發(fā)同行重視地下水動力學概念的科學理解和應用。

1 如何解釋截取側向徑流的抽水井

蘭先生認為傳統(tǒng)的抽水井理論包含不符合實際的假設：假設存在以抽水井為中心的徑向流；假設地下水的天然水位面是水平的。地下水普遍存在天然的水力坡度，具有傾斜水位面，抽水井對側向徑流產(chǎn)生截取作用，并不符合徑向流特征。蘭先生從上述角度對Dupuit模型等井流公式提出批判，出發(fā)點是合理的。從美國水文地質(zhì)學家溫策爾(Wenzer)報告的抽水試驗結果(見文獻[5])得到啟發(fā)，他提出了考慮側向徑流的單井涌水量公式，即

Qw=2TCRbI

(2)

式(2)改寫自文獻[3]，其中I為地下水的天然水力坡度，而Rb和C都是他提出的新概念，分別被定義為“補給半徑”及其控制范圍內(nèi)進入抽水井流量與總徑流量的比例。進一步，蘭先生假設Rb=sw/I以及C=1/2，從而推導出q=T，即式(1)。該式的前提條件是承壓含水層完整井穩(wěn)定流，也不考慮井損和井周擾動效應。為保持一致性，本文的討論分析也基于這些限定。

只要仔細推敲蘭先生的論述[1, 3]，可以判斷其關于Rb和C的推測都是比較牽強的，并不具備可靠的動力學基礎。然而，蘭先生1998—1999年期間所做的砂箱試驗數(shù)據(jù)[2～3]，似乎又表明式(1)沒有錯。那么，對于這種截取側向徑流的抽水井，經(jīng)典地下水動力學能不能解釋？會不會得到與蘭太權公式一樣的結論？針對這個問題，筆者在此提供2個嚴格的地下水動力學解析模型。

圖1 承壓含水層抽水井截取側向徑流的2種平面邊界條件Fig.1 Two kinds of boundary conditions in the plan view for a pumping well capturing horizontal flow in a confined aquifer

如圖1所示，有2種由定水頭邊界和隔水邊界組成的矩形承壓含水層可以采用砂箱試驗進行模擬，在含水層內(nèi)設置抽水井即可產(chǎn)生截取側向徑流的情況。圖1(a)中有2條平行的定水頭邊界(一側高一側低)形成天然的側向徑流。圖1(b)屬于單個定水頭邊界的情況，抽水時間足夠長就能夠形成抽水井驅(qū)動的穩(wěn)定流場。本文給出這2種情況是因為蘭先生的論證涉及這些邊界狀態(tài)下的砂箱試驗。如果是無限大的承壓含水層或者四周只有隔水邊界，則不可能形成穩(wěn)定流。這一點前人早已證明[6～7]，而且也不可能用q=T來解釋。因此，以下的分析都基于圖1中所示的有限含水層。

首先解決圖1(a)所示的模型。建立如圖1(a)所示的坐標系，并且考慮抽水井在矩形含水層的形心位置這一特殊情況(蘭先生的砂箱試驗把放水孔至于形心位置)，則應用平面滲流理論的鏡像對稱井點疊加法[8]，可以得到任意坐標位置降深的解析解為：

(3)

式中：x,y——平面位置坐標；L——定水頭邊界之間的距離；D——隔水邊界之間的距離；i——疊加的虛井序號。

把(x=0,y=rw)代入式(3)，則得到抽水井本身的理論降深為：

(4)

因此，單位涌水量與導水系數(shù)的關系可以表示為：

(5)

其中W1是圖1(a)模型的井函數(shù)，由式(4)改寫為：

(6)

同樣采用平面滲流理論的鏡像對稱井點疊加法[8]，可以得到圖1(b)所示模型的降深解析解為：

(7)

而抽水井單位涌水量與導水系數(shù)的關系表示為：

(8)

其中W2是圖1(b)模型的井函數(shù)。把(x=0,y=rw)代入式(7)，單列i=0的級數(shù)項，合并i=0的級數(shù)項，對式(8)進行轉(zhuǎn)換，則井函數(shù)W2可以展開為：

(9)

式(5)和(8)是上述2種邊界條件的精確解，從水動力學上表明單位涌水量與導水系數(shù)成正比，但兩者并不一定相等，比例系數(shù)取決于矩形含水層的形狀尺寸和抽水井的半徑。

2 公式q=T只適用于特例

在式(5)或(8)中，如果rw/L和D/L滿足一些特定的組合，就會出現(xiàn)q=T的情況。蘭先生1998—1999年期間進行的砂箱試驗分為2步[3]。第1步將中間的放水孔關閉，保持一側水頭高(控制進水管)、另一側水頭低(控制排水管)，類似于圖1(a)，形成穩(wěn)定的側向徑流，把觀測孔水位數(shù)據(jù)和流量數(shù)據(jù)代入Darcy定律，計算出填砂的滲透系數(shù)。第2步，打開中間的放水孔(模擬抽水井)，關閉下游排水管，等待流場調(diào)整到穩(wěn)定狀態(tài)，轉(zhuǎn)變?yōu)閳D1(b)的情形，觀測計算單位涌水量。因此，單位涌水量與導水系數(shù)的關系可以用式(8)進行描述。只要在制作砂箱的過程中，使rw、D、L三個幾何參數(shù)滿足特定的比例，導致W2=1，從而出現(xiàn)符合q=T的情況。這種特定組合可以用如圖2所示的關系曲線來表示。

圖2 根據(jù)式(8)確定的q=T成立條件曲線圖Fig.2 The curve for conditions of q=T that determined with Eq. (8)

蘭先生1998年試驗砂箱的尺寸參數(shù)為：L=4.4 m，D=4.1 m，rw=3.81 cm(直徑3 吋鐵管)。蘭先生1999年試驗砂箱的尺寸參數(shù)為：L=1.4 m，D=0.98 m，rw=3.81 cm。這兩個砂箱的幾何參數(shù)恰好落在圖2所示曲線的附近，因此基本上符合蘭太權公式成立的條件。采用解析式(8)進行理論計算，可以證明：

q≈1.007T(1998年砂箱)

(10)

q≈1.044T(1999年砂箱)

(11)

也就是說，在蘭先生1998—1999年的試驗中由于砂箱尺寸和抽水孔半徑滿足上述特定條件，從而導致單位涌水量近似等于導水系數(shù)，理論誤差都小于5%。其實，只要抽水孔半徑在2.0～5.0 cm之間，這種“巧合”都會發(fā)生，因此蘭先生發(fā)現(xiàn)q=T并不屬于意外事件。

如果在砂箱試驗的第2步中，保持下游側的排水孔處于開放狀態(tài)并固定水位，同時打開抽水孔，則試驗條件將轉(zhuǎn)變?yōu)閳D1(a)所示的情形。在這種邊界條件下，要想讓q=T成立，砂箱的尺寸和抽水孔的半徑必須落在如圖3所示的曲線上。顯然，1998年砂箱和1999年砂箱都不能滿足這個條件。因此，只要蘭先生當初改變對下游排水孔的處理，就可以發(fā)現(xiàn)q>T的試驗結果。然而，蘭先生發(fā)表的文獻中沒有這種結果。

圖3 根據(jù)式(5)確定的q=T成立條件曲線圖Fig.3 The curve for conditions of q=T that determined with Eq. (5)

3 偏離q=T的砂箱試驗

式(1)僅適用于特定條件，在砂箱試驗中只要rw、D、L的數(shù)值不落在圖2或圖3的曲線附近，就不會產(chǎn)生q=T的結果。2015—2016年進行的2次砂箱試驗證明了這一點。

2015年11月28日，筆者邀請?zhí)m先生到華北水利水電大學聯(lián)合進行了一組砂箱試驗，試驗裝置為一套模擬傾斜承壓含水層的滲流槽，如圖4所示。9個測壓管均勻布置，與含水層頂板平行的間距為14.5 cm，依此可以計算各點間的水力梯度。放水孔直徑1.5 cm，位于砂箱中部，與5號測壓管連通。首先關閉放水孔進行了單向滲流試驗，利用Darcy定律獲得測壓管間的滲透系數(shù)如表1所示，說明填砂不均勻，放水孔附近的導水系數(shù)為T=35～68 m2/d。此后打開放水孔進行了2次模擬抽水試驗，結果見表1，獲得單位涌水量q≈20 m2/d。顯然，q相對T而言偏小40%以上，說明q=T并不成立。這次砂箱試驗的邊界條件類似于圖1(a)，但由于填砂不均勻，無法用式(5)進行理論計算。

圖4 華北水利電力大學砂箱試驗裝置示意圖(2015年)Fig.4 Schematic of the sand box experimental system in the North China University Of Water Resources And Electric Power (2015)

2016年4月11日，筆者受蘭先生邀請，到洛陽聯(lián)合進行了新的砂箱試驗。該砂箱由蘭先生設計制作，鐵皮封裝豎直放置，如圖5所示。填砂高度為L=0.94 m、寬度為D=0.60 m、等效含水層厚度M=0.40 m。為了考慮抽水井直徑的影響，設置了2個放水孔：孔A位于砂箱中部，濾管半徑rA=1.5 cm；孔B略偏離中部，濾管半徑rB=1.0 cm。共進行了2次試驗，每次首先進行Darcy滲流試驗獲得導水系數(shù)，然后分別進行孔A和B的放水試驗，而排水管一直處于打開狀態(tài)。

洛陽試驗的數(shù)據(jù)見表2，可以看出第2次加大流量獲取的導水系數(shù)比第1次大，可能是填砂受抽水試驗擾動所致。兩次試驗中孔A和孔B的單井涌水量都大于導水系數(shù)，孔A結果偏大16%以上，孔B結果偏大12%以上。這樣顯著的偏差證明q=T是不成立的。對比孔A和孔B的結果還表明抽水井半徑增大會導致單位涌水量也增大，這符合水動力學的理論判斷。

表1 華北水利電力大學砂箱試驗數(shù)據(jù)(2015年)Table 1 The data of sand box experiments in the North China University Of Water Resources And Electric Power (2015)

表2 洛陽砂箱試驗數(shù)據(jù)(2016年)Table 2 The data of sand box experiments in the Luo Yang city (2016)

圖5 洛陽砂箱試驗裝置照片和尺寸(2016年)Fig.5 The picture and size data of the sand box experimental system in the Luoyang city (2016)

洛陽砂箱試驗的邊界條件與圖1(a)一致，因此可以用式(5)進行理論分析。把rA/L和D/L的數(shù)值代入式(5)，可以得到q/T=1.24，與孔A的試驗結果(q/T=1.16～1.26)非常接近。如果假設孔B也位于中心處，把rB/L和D/L的數(shù)值代入式(5)得到q=1.15T，與孔B的試驗結果(q/T=1.13～1.25)也相差不大。這說明用式(5)解釋單位涌水量比用q=T更加準確。

需要進一步補充的是，以上砂箱試驗基本上都把放水孔置于含水層的中心位置，試驗結果具有特殊性。如果放水孔顯著偏離中心位置，將會得到更加違反q=T的結果。例如，抽水井無限接近定水頭邊界時，單位涌水量將趨于無限大，顯然不等于導水系數(shù)。這時式(5)和(8)也不再成立，需要使用更復雜的解析式，本文不予贅述。

4 結論

抽水井的單位涌水量與含水層的水文地質(zhì)邊界、水力學參數(shù)以及抽水井本身的特征都有關系。“單位涌水量等于導水系數(shù)”并不符合一般的地下水動力學條件。某些砂箱試驗的結果符合q=T，是因為砂箱的幾何形態(tài)和抽水孔的半徑具有特定的組合關系，恰好導致單位涌水量等于導水系數(shù)，并不代表普遍的情況。本文給出了矩形承壓含水層中心抽水穩(wěn)定流場的解析解，證明這種情況下單位涌水量與導水系數(shù)成正比，而比例系數(shù)取決于含水層和抽水井的幾何尺寸。只有在特定條件下，才會出現(xiàn)單位涌水量與導水系數(shù)相等的情況。實際的砂箱試驗也證明q=T不具有普遍性。

如何解釋單位涌水量與含水層參數(shù)的關系，的確是水文地質(zhì)調(diào)查工作中需要解決的問題，但目前并沒有普遍適用的簡單公式。Dupuit公式由于包含“影響半徑”這個模糊概念和忽略天然側向徑流，并不足以準確解釋單位涌水量的動力學含義。蘭太權先生認識到抽水井截取側向徑流的重要性，但關于單位涌水量等于導水系數(shù)的推論是不嚴謹?shù)?。采用符合實際條件的水動力學模型和非穩(wěn)定流理論，并充分考慮抽水井的結構和開采方式，才是科學解釋單位涌水量的必經(jīng)之路。

致謝：感謝華北水利水電大學水工實驗室提供2015年砂箱試驗場地和趙靜博士對試驗工作的協(xié)助！蘭太權先生在學術討論過程中披露了早期砂箱試驗的一些細節(jié)，陳崇希先生在水動力學分析上為筆者提出了寶貴的指導意見，在此表示感謝！

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責任編輯：張若琳

《水文地質(zhì)工程地質(zhì)》征稿簡則

《水文地質(zhì)工程地質(zhì)》1957年創(chuàng)刊，由國土資源部主管、中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院主辦，是水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)、地熱地質(zhì)專業(yè)領域綜合性學術刊物之一。入選全國中文核心期刊(地質(zhì)學)、中國科技核心期刊、中國科學引文數(shù)據(jù)庫核心期刊，加入中國學術期刊光盤版。在國外檢索系統(tǒng)中，被美國《化學文摘》(CAS)、美國《劍橋科學文摘》(CSA)、俄羅斯《文摘雜志》(AJ)等收錄。

一 征稿范圍

(1)水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)、地熱地質(zhì)專業(yè)領域前沿研究成果，優(yōu)先發(fā)表國家自然科學基金、國家重大基礎研究項目、省部級科技創(chuàng)新基金資助的研究成果。

(2)學科邊緣及學科交叉研究中的探索性成果。

(3)長期野外工作中取得的經(jīng)驗總結、建議。

二 征稿內(nèi)容

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工程地質(zhì)：刊登工程地質(zhì)學科基礎理論、重大工程場址穩(wěn)定性、地(壩)基工程處理、巖土體物理力學參數(shù)、道路工程地質(zhì)等方面的研究成果。

環(huán)境地質(zhì)：刊登城市/礦山/農(nóng)業(yè)環(huán)境地質(zhì)、固體廢物/廢液/CO2處置、地質(zhì)災害形成機理與防治、荒漠化形成機理與防治、海岸帶生態(tài)地質(zhì)環(huán)境、水土地質(zhì)環(huán)境等方面的研究成果。

地熱地質(zhì)：刊登地熱資源勘查評價、資源量計算及數(shù)值模擬、地熱資源利用及保護等方面的研究成果研究。三 稿件要求

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(3) 作者信息齊全：姓名(出生年-)，性別，職稱，從事工作或研究方向、E-mail。

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《水文地質(zhì)工程地質(zhì)》由中華人民共和國國土資源部主管、中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院主辦，1957年創(chuàng)刊，是我國水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)專業(yè)領域創(chuàng)刊較早、發(fā)行較廣，并具有權威性、綜合性的學術理論與實踐刊物之一。本刊入選全國中文核心期刊(地質(zhì)學類)、中國科技核心期刊、中國科學引文數(shù)據(jù)庫核心期刊，同時被美國《劍橋科學文摘》(CSA)、美國《化學文摘》(CA)、俄羅斯《文摘雜志》(AJ)等收錄。主要欄目有水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)、地熱地質(zhì)等?？d水文地質(zhì)、工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)、地質(zhì)災害、礦山地質(zhì)環(huán)境、農(nóng)業(yè)地質(zhì)、城市地質(zhì)、地熱地質(zhì)等學科具有較高學術水平的研究成果及新理論、新技術、新方法的應用與推廣等。

《水文地質(zhì)工程地質(zhì)》為雙月刊(每單月15日出版)，國際標準大16開本，每冊定價30元，全年6期180元，合訂本220元(含郵費)。本刊刊號：CN11-2202/P，ISSN1000-3665；郵發(fā)代號：2-335。廣告許可證號：京海工商廣字0265號。

《中國地質(zhì)災害與防治學報》由中華人民共和國國土資源部主管，中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院、中國地質(zhì)災害防治工程行業(yè)協(xié)會主辦，1991年創(chuàng)刊。本刊為中國科學引文數(shù)據(jù)庫來源期刊、中國核心期刊(遴選)數(shù)據(jù)庫期刊，是我國工程地質(zhì)、環(huán)境地質(zhì)、地質(zhì)災害領域的綜合性學術理論與實踐的專業(yè)期刊，主要刊載由自然因素和人類經(jīng)濟活動誘發(fā)的崩塌、滑坡、泥石流、地面塌陷、地面沉降、地裂縫、礦井突水、巖爆、瓦斯爆炸、黃土濕陷、黏性土脹縮、凍土融陷、地下水污染、海水入侵、水土流失、土地沙漠化、鹽漬化等地質(zhì)災害的發(fā)生發(fā)展機制、規(guī)律、監(jiān)測、預報、防治新技術、新方法以及地質(zhì)環(huán)境保護等具有較高學術水平的研究成果。面向國內(nèi)工程地質(zhì)學科發(fā)展、地質(zhì)工程建設、技術方法創(chuàng)新、地質(zhì)環(huán)境保護與開發(fā)等方面的科技人員。

《中國地質(zhì)災害與防治學報》為季刊(季末25日出版)，國際標準大16開本，每冊定價30元，全年4期120元，合訂本160元(含郵費)。本刊刊號：CN11-2852/P，ISSN1003-8035；郵發(fā)代號： 82-362。廣告許可證號：京海工商廣字0265號。

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Discussions on the special conditions satisfying “the SpecificWell Yield is the Transmissivity”

WANG Xusheng, DONG Yanyan

(SchoolofWaterResources&Environment,ChinaUniversityofGeosciences,Beijing100083,China)

To interpret the meaning of the specific capacity of a pumping well capturing lateral groundwater flow, Lan (2007) proposed an equation where the specific capacity is equal to the transmissivity(q=T) and shown evidences from hydraulic tests in sand boxes. However, the derivation of this equation was not on the robust basis of groundwater hydraulics. The boundary conditions of the sand-box tests were equivalent to a rectangular confined aquifer with one or two constant head boundaries. The steady state flow driven by a pumping well in these conditions could be solved with the superposition method on imaging wells. It reveals that the specific capacity is proportional to the transmissivity and the coefficient is subject to the aquifer shape and the radius of the pumping well. In some conditions,q=Tcould be caused by the special geometric characteristics of the aquifer-well system. The hydraulic tests in sand boxes presented in Lan (2007) just satisfied such special conditions but did not indicate thatq=Tis generally applicable. New tests in sand boxes without these special geometric characteristics have shown significant different results from theq=Tequation.

pumping tests; specific capacity; groundwater hydraulics; transmissivity

2017-01-14;

2017-02-10

王旭升(1974-)，男，教授，博士生導師，主要從事水文地質(zhì)方面的教學和科研工作。E-mail: wxsh@cugb.edu.cn

10.16030/j.cnki.issn.1000-3665.2017.03.24

P641.2

A

1000-3665(2017)03-0165-06